湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一上学期期末数学试题（试卷+解析）

这是一份湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一上学期期末数学试题（试卷+解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知一个扇形的弧长为6，面积为9，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. D. 2
7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A B. C. D.
10. （多选）已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称D. 在区间上单调递增
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的值域为
B. 若为增函数，则的取值范围为
C. 若存在最值，则的取值范围为
D. 若有两个零点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合的真子集的个数为________.
13. 函数，的值域为_____.
14. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）求的单调区间及值域.
（注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.）
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17. 已知函数最小正周期为，且对于任意实数，都有成立.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）求使不等式成立的的取值集合.
18. 已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中.
（1）证明：为定值；
（2）求最小值；
（3）求的最小值.
19. 已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
（3）若关于的方程共有4个不同的实数解，求实数m的取值范围.
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式得出集合，再应用交集定义计算求解.
【详解】集合，，则.
故选：A.
2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分与两种情况讨论充分性，取说明必要性不成立即可得答案.
【详解】先讨论充分性：
当时，，故能推出；
当时，，由得，故，即能推出，
所以“”是“”充分条件成立；
再讨论必要性：
取，此时满足，但不满足，
所以必要性不成立.
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可.
【详解】设，因为幂函数的图象经过点
所以，即，解得，
所以，故要使函数有意义，则,
所以函数的定义域为
故选：C
5. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求的最小正周期为，再根据，的最小正周期相同即可得答案.
【详解】因为函数的最小正周期为，
又函数的最小正周期为，函数的最小正周期也为，
所以的最小正周期与的最小正周期相同，为
故选：C
6. 已知一个扇形的弧长为6，面积为9，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形的圆心角，半径，弧长，面积的关系列方程组求解即可.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，
因为扇形的弧长为6，面积为9，
所以，解得，
所以这个扇形圆心角的弧度数为
故选：D
7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助中间量比较大小，根据比较大小即可得答案.
【详解】因为，，，
所以， ，
所以.
故选：C
8. 阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，再代入数据得到，从而求出，，即可得到关系式，最后代入计算可得.
【详解】依题意可得，所以，
又，即，
所以，即，则，，
所以，
则，
即当时，该振子的位移.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断AB；根据作差法比较大小判断CD.
【详解】对于A，由得，又，故，故A选项正确；
对于B，由得，又，故，故B选项错误；
对于C，，
因为，，所以，，
所以，即，故C选项正确；
对于D，，
因为，，所以，
所以，即，故D选项正确.
故选：ACD
10. （多选）已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称D. 在区间上单调递增
【答案】AB
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质，依次讨论最小正周期，对称轴，对称中心，单调递增区间即可判断.
【详解】对于A，的最小正周期为，故正确；
对于B，令，解得，
即的对称轴为，当时，为，故正确；
对于C，令，解得，
即的对称中心为，不存在使得，故错误；
对于D，令，解得（），
即的单调递增区间为（），
当时，递增区间为，由于，
故在上单调递增，在上单调递减，故错误.
故选：AB
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的值域为
B. 若为增函数，则的取值范围为
C. 若存在最值，则的取值范围为
D. 若有两个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析各段函数的单调性，求出函数在各段的取值范围，即可求出函数的值域，即可判断A，根据断点左侧函数值不大于右侧函数值，即可判断B，分析最小值必在处取到，即可判断C，判断在上存在一个零点，即可判断D.
【详解】因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增；
对于A：当时，
则当时，当时，
综上可得的值域为，故A正确；
对于B：若为增函数，则，解得，即的取值范围为，故B正确；
对于C：因为在上单调递增，且，；
又在上单调递增，且；
要使存在最值，则必定为最小值且在处取到，所以，解得，
即的取值范围为，故C错误；
对于D：因为在上单调递增，，所以在上存在一个零点；
要使有两个零点，则在上存在一个零点，
又在上单调递增，且，所以，解得，
即的取值范围为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合的真子集的个数为________.
【答案】
【解析】
【分析】解法一: (列举法) 对集合的真子集一一列举即可得出个数;解法二:(公式法)算出集合中的元素个数,再用公式求出真子集个数.
【详解】解:解法一: (列举法)
集合的真子集为,,,共个.
故答案为:
解法二:(公式法)
集合中的元素有个,
则真子集个数为,个.
故答案为:
本题考查集合的子集个数问题,对于非空集合中有个元素,则集合的子集有个,真子集有,非空真子集有个.
13. 函数，值域为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由题知，，再结合二次函数性质求解即可.
【详解】，
因为，，
所以当时，取得最大值；
当或时，取得最小值；
所以函数，的值域为.
故答案为：
14. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题知，进而将不等式转化为，再结合的单调性解得对任意恒成立，最后根据一元二次不等式恒成立问题分类讨论求解即可.
【详解】因为，
所以
因为在上的单调递减，所以在上的单调递增，
又因为，在上的单调递增，
所以在上的单调递增
所以，
又，即
所以
所以，
所以，即对任意恒成立，
当时，恒成立，
当时，对任意恒成立等价于，解得.
所以，实数的取值范围为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）求的单调区间及值域.
（注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.）
【答案】（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为.值域为.
【解析】
【分析】（1）解不等式，可得的定义域；
（2）设，则.判断两个函数的单调性，由复合函数单调性同增异减的法则得到的单调区间，并得到其值域.
【小问1详解】
由题可得，即，.
解得.
所以函数的定义域为.
小问2详解】
设，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最大值，最大值为，所以.
因为是减函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且在，即处取得最小值，最小值为.
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
值域为.
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系化简整理得，再结合的范围解方程即可得答案;
（2）根据诱导公式化简得，再结合同角三角函数关系求解即可.
【小问1详解】
因为，，所以
所以，即，
解得或，当时，的分母为0，无意义，舍去，
所以.
【小问2详解】
因为，，
，
，
所以
因为，，所以，
所以，即.
17. 已知函数的最小正周期为，且对于任意实数，都有成立.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）求使不等式成立的的取值集合.
【答案】（1）
（2），.
（3）
【解析】
【分析】（1）由最小正周期得，由恒成立得是最小值，进而待定系数求解即可；
（2）根据正弦函数的单调递减区间整体代换求解即可；
（3）由题知，再结合正弦函数的性质解不等式即可.
【小问1详解】
解：因为函数的最小正周期为，
所以，解得
因为对于任意实数x，都有成立，即是最小值，
所以，即，
所以，即，
因，所以
所以
【小问2详解】
解：令，，解得，
所以的单调递减区间为，.
【小问3详解】
解：，即，
所以，
因为的解集为
所以，令，解得，
所以不等式解集为
18. 已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中.
（1）证明：为定值；
（2）求的最小值；
（3）求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与对应方程的根的关系得，，再整体代换即可证明；
（2）根据基本不等式“1”的用法求解即可；
（3）由题知，，进而代入化简整理得，再结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
解：因为实数的一元二次不等式的解集为，
所以，是方程的两个实数根，
所以，，即，
所以，且，即为定值
小问2详解】
由（1）知，且，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为
【小问3详解】
因为，所以，
因为，所以，即，，
所以
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为
19. 已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
（3）若关于的方程共有4个不同的实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）证明见详解； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据求出，然后验证满足题意即可；
（2）根据单调性定义，取值、作差、变形、定号、下结论即可得证；
（3）记，根据方程有2个不同的实数解确定，根据有2个不同的实数解确定的范围，然后可得m的取值范围.
【小问1详解】
因为函数为偶函数，且定义域为
所以，即，整理得，解得，
当时，，此时，
满足为偶函数，故.
【小问2详解】
，则
.
因为，所以，所以，
所以，即，所以在上单调递增.
【小问3详解】
因为为偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，
记，则，
因为关于的方程共有4个不同的实数解，
所以关于的方程有2个不同的实数解，所以，
记方程的两根分别为，由对称性可知，不妨设，
则和各有两个不相等的实数解，
即和各有两个不相等的实数解，
因为，所以 方程有两个不相等的实数解，
要使有两个不相等的实数解，需满足，即，
所以，即.
综上，实数m的取值范围为.