湖北省黄冈市黄梅县2025~2026学年度高二第一学期期末教学质量检测数学试题（试卷+解析）

这是一份湖北省黄冈市黄梅县2025~2026学年度高二第一学期期末教学质量检测数学试题（试卷+解析），共25页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1. 已知函数，则的值为（ ）
A. -1B. 3C. 8D. 16
2. 已知空间向量，，则在上投影向量的模为（ ）
A. B. 2C. 1D.
3. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）
A 2B. 4C. D.
6. 已知数列中，，若，则满足条件的整数的最大值为（ ）
A. 7B. 9C. 11D. 13
7. ，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）．
A. B. C. D.
8. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.若该椭圆离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为28，则椭圆的焦距为（ ）
A. 2B. C. D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（ ）
A. 1B. C. D.
10. 已知数列，下列结论正确的有（ ）
A. 若，，则
B 若，，则
C. 若，则数列是等比数列
D. 若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
11. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 当轴时，四边形的面积为
C. 原点到直线距离的最大值为
D. 的外接圆恒过两个定点
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若数列满足为常数)，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________.
13. 已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为______.
14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数经过点，且.
（1）求在的切线方程；
（2）求解析式.
16. 已知数列中，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和；
（3）令，求数列的最大项.
17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点.
（1）若弦的长度为，求直线的方程；
（2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
18. 如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长.
19. 已知抛物线.过点的动直线与交于两点（在第一象限），且（为坐标原点）.
（1）求的值；
（2）设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值；
（3）面积最小时，过作直线交抛物线于两点.轴且的中点在直线上，证明：直线过定点.
2024级高二第一学期期末教学质量检测
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1. 已知函数，则的值为（ ）
A. -1B. 3C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】根据题意，，则，
由导数的定义知，．
故选：C．
2. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的模的公式计算后可得正确的选项.
【详解】 在 上的投影向量的模为 ，
因为，，
所以 ，，
所以投影向量的模为 ，
故选：A.
3. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得.
【详解】若，则有，解得，
当时，，不重合，符合要求；
当时，，不重合，符合要求；
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程.
【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧，
所以 ，点关于轴的对称点为 .
因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .

反射光线所在的直线即直线 ，由 ，
得直线 的斜率为，
所以其方程为，即 .
故选：D.
5. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可.
【详解】设，，则，
将A，B的坐标代入椭圆方程得：，，
两式相减，得：，
变形为，
又直线的斜率为，所以，即，
因此椭圆的焦距为，
故选：B.
6. 已知数列中，，若，则满足条件的整数的最大值为（ ）
A. 7B. 9C. 11D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】通过递推式变形构造等比数列，求出的表达式，利用分组求和法得到，解不等式得到满足条件的最大整数.
【详解】，
因为，即，
故，
所以是首项，公比为的等比数列，
所以，
所以
，
，数列是单调递增数列，
时，，时，，
所以不等式解得.
故选：B
7. ，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案
【详解】
如图所示，为的中点，
则，
，
又，
，
，
，
点E到直线DF的距离为．
故选：C
8. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.若该椭圆离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为28，则椭圆的焦距为（ ）
A 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，从而得,故当为该圆的直径时，面积取最大值，即可得，所以蒙日圆半径为，即有，再结合椭圆离心率为，求得，即可得答案.
【详解】由题意可得，
所以,
所以,
由题意可得，
所以，
又因为是蒙日圆上的两个动点，
所以当为该圆的直径时，取最大值，
即蒙日圆的直径为，所以半径为，
由题意可得该蒙日圆的半径为，
所以，
所以，
又因为椭圆的离心率为，
所以，，
所以，
所以，
解得，
所以，
所以，
所以椭圆的焦距为.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值.
【详解】由题意可得，，
因为在直线l上，当为的切点时，
则，所以直线l的方程为，
又直线l与相切，
所以满足，得；
当不是的切点时，
设切点为，
则，
所以，得，
所以，所以直线的方程为.
由，得，
由题意得，所以.
综上得或.
故选:AB
10. 已知数列，下列结论正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则数列是等比数列
D. 若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造为等比数列，求通项公式，即可判断;C.利用公式，即可求解通项公式，判断选项；D.根据等差数列前项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项.
【详解】对于选项A，由，得，
则
，故A项正确；
对于选项B，由得，
所以为等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，
当时，，
当时，，
将代入，得，
所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前项和公式可得，
所以与n无关，
所以数列为等差数列，故D项正确.
故选：ABD
11. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 当轴时，四边形的面积为
C. 原点到直线距离的最大值为
D. 的外接圆恒过两个定点
【答案】AD
【解析】
【分析】直接证明切线长可判断A，举反例判断B，用求两圆公共弦所在直线方程法求出直线方程，然后求点到直线的距离可判断C，用参数表示求出的外接圆方程，利用恒等式知识求得两定点坐标后判断D．
【详解】A选项，由题意得，，则．
设，所以，故A正确；
B选项，由于满足条件，但此时，故B错误；
C选项，设点到的距离为，以为直径的圆的方程为，即，
两圆方程相减得的方程为，
所以，故C错误；
D选项，由可知，的外接圆是以为直径的圆，由C可知圆的方程为，即，
由，解得或，故该圆恒过和，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若数列满足为常数)，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数列新定义有为等差数列，再由等差数列前n项和公式及下标和的性质得，最后应用基本不等式求的最大值.
【详解】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列.
由，得，所以，
所以，故，故
由于，
此时，故的最大值为
故答案为：
13. 已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可.
【详解】
设的中点为，因为动点满足，所以，
即点在以为球心，以为半径的球面上.
因为，所以.
因为正四面体的棱长为4，所以，
在三角形中，，.
取的中点为，，
所以在上的投影向量的模为，所以.
设，夹角为，
所以.
因为，
所以，即的最大值为.
故答案为：
14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解．
【详解】，设切点为，
则切线方程为，
将点代入切线方程得，，化简得，
设，则，
令，解得，令，解得或，
在，上单调递减，在上单调递增，且，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可．
四、解答题：本题共5小题共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数经过点，且.
（1）求在的切线方程；
（2）求的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的定义运算可得，再利用点斜式可得在的切线方程
（2）根据、在切线上列式求解即可
【小问1详解】
又因为切点 ，故切线方程为，即
【小问2详解】
由（1）知且，
解得：
【点睛】本题主要考查了导数的定义运算与几何意义，属于基础题
16. 已知数列中，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和；
（3）令，求数列的最大项.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列定义即可得证；
（2）利用等比数列的前项和公式，分组求和即可求解；
（3）由（2）得，即，得，令，比较与1的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
【小问2详解】
由（1）得，
所以
，
化简得；
【小问3详解】
由（2）得，
所以，
令，
易得，又单调递减，当时，即，
又当时，，
所以数列最大项为.
17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点.
（1）若弦长度为，求直线的方程；
（2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或.
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）分斜率存在与否进行分析，结合弦长公式.列方程求解，可得答案；
（2）分斜率存在与否进行分析，联立方程，利用韦达定理，结合斜率与倾斜角的关系，可得答案.
【小问1详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不妨得，，则，与题意不符，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由弦长公式得圆心到直线的距离为，
所以，解得，
故直线的方程为或.
【小问2详解】
当直线轴时，直线的方程为，
不妨得，，此时x轴平分.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，.
联立，得，，
所以，.
若x轴平分，则，即，
即，则，即，
解得.
综上，当点Q时，能使得x轴平分恒成立.
18. 如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
（3）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解.
【小问1详解】
由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
又平面，所以.
【小问2详解】
由（1）知平面，平面，则，
而，，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
又，，，，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
因此，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
【小问3详解】
设，依题意，，
即，，，
即，则，
由平面，得是平面的一个法向量，于是，
即，解得，，
因此，所以.
19. 已知抛物线.过点的动直线与交于两点（在第一象限），且（为坐标原点）.
（1）求的值；
（2）设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值；
（3）面积最小时，过作直线交抛物线于两点.轴且的中点在直线上，证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）32. （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系结合，可求；
（2）求导可求得两点处的切线方程，联立方程可求得点的坐标，利用弦长公式与点到直线的距离公式可求得，可求最小值；
（3）由（2）得，设，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系可得，从而可得结论.
【小问1详解】
设，
联立方程①，
②，
.
【小问2详解】
由（1）知，故处切线方程为：，即.
同理，点处切线方程为：.联立解得.
由②及可得.
方程①中，.
点到直线的距离.
故，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为32.
【小问3详解】
由（2）知，此时，设，
联立方程，
，
，令，得，
，
又
，即，
所以三点共线，故直线过定点.