河南南阳市油田2025年秋期九年级上学期期末教学质量检测试卷数学（试卷+解析）

这是一份河南南阳市油田2025年秋期九年级上学期期末教学质量检测试卷数学（试卷+解析），共27页。
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 关于x的方程根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
4. 掷一枚质地均匀正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A. 出现点数为6的概率是
B. 出现点数为0是随机事件
C. 出现点数为偶数是必然事件
D. 出现点数为奇数是不可能事件
5. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A. 5B. C. 8D.
7. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 6
10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A. 当时，随的增大而减小B. 当时，有最大值
C. 当时，D. 当时，
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 要使代数式有意义，则x取值范围是__________．
12. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是_____．
13. 已知，，，…，则____________．
14. 如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为______．
15. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）用配方法解方程：．
17. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和．
（1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A对应点为，请在所给的网格图中画出．
19. 如图，已知中，的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：；
（2）若，求的值．
20. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
21. 数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为．
环节二：数学抽象
如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律．
22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
（1）若点为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段长度的最大值；
（2）若该二次函数与轴一个交点为，且，求的取值范围．
23. 综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与位置关系，并说明理由．2025年秋期南阳油田九年级期末教学质量检测试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误；
B．，运算正确；
C．，运算正确；
D．，运算正确；
故选：A．
2. 如图，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
3. 关于x的方程根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．
【详解】解：对于方程，其判别式为：
由于，则，因此．
故判别式恒为负数，方程无实数根，
故选：C．
4. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A. 出现点数为6的概率是
B. 出现点数为0是随机事件
C. 出现点数为偶数是必然事件
D. 出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意；
B．出现点数为0是不可能事件；
C．出现点数为偶数随机事件；
D．出现点数为奇数是随机事件；
故选A．
5. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．
【详解】解：，，
，
，
，
∵动力臂，阻力臂，
，
，
的长为．
故选：B．
6. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A. 5B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解．
【详解】解：由作图知，平分，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
故选：A．
7. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可．
【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即．
根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：．
故选B．
8. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可．
【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意；
B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意；
D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
故选：C．
9. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论．
【详解】解：在中，，
∴；
由旋转可知，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A. 当时，随的增大而减小B. 当时，有最大值
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．
【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意；
D．当时，由图象知，对应值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解．
【详解】解：依题意，且，
解得：且，
故答案为：且．
12. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查随机事件的概率，理解概率的定义与计算公式是关键．
每次抛掷硬币是独立事件，且硬币均匀，因此概率恒定．
【详解】解：掷一枚均匀的硬币，每次抛掷出现正面或反面都是独立事件，且概率均为 ，与抛掷次数无关，因此第999次出现正面向上的概率仍是 ．
故答案为 ：．
13. 已知，，，…，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．
仔细观察所给的式子，发现对于正整数，有，然后依据规律得到答案即可．
【详解】解：已知，，，…，
可知规律，
当时，，
则．
故答案为：．
14. 如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由，分别为，的中点，得，所以，然后根据菱形的面积为即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
15. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．
【答案】1或2
【解析】
【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设BP=x，则PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∴，
解得：x1=1，x2=2，
∴BP的长为1或2，
故答案为：1或2
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）用配方法解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
（2）解：，
移项，得，
配方，得，即，
直接开平方，得，
所以，．
17. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答．
（2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，
∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和．
（1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键．
（1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可；
（2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点D即为边中点，
∵，
∴点D的坐标为．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求作的三角形．
19. 如图，已知中，的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键：
（1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可；
（2）利用（1）中关系进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵中，的对边分别为a、b、c．
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知：，
∵
∴，
∴，
∴（负值已舍去）．
20. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽度为，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：小路的宽度为．
21. 数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为．
环节二：数学抽象
如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案.
【详解】解：数学抽象：如图，过作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
问题总结：∵，，
∴.
22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
（1）若点为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段长度的最大值；
（2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解；
（2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可．
【小问1详解】
解：∵为二次函数的顶点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为；
因为正比例函数经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数表达式为，
设，则，，
∴
，
∴当时，线段的长度取得最大值；
【小问2详解】
解：∵二次函数经过点，
∴，即，
令，
解得，，
∵二次函数与轴的一个交点为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴的取值范围是．
23. 综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得；
（2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得；
②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得．
【详解】解：（1）∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
∴．
（2）①如图，过点作，垂足为，
中，，
．
中，．
∴，
．
②，理由如下：
∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴．