广东省广州市广州大学附属中学下学期八年级数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市广州大学附属中学下学期八年级数学期中考试卷（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了 下列命题中正确的是， 下列命题等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；）
1. 下列根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．，不最简二次根式；
B．=2，不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．，不是最简二次根式；
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为( )
A 1：2：3B. 2：1：3C. 3：2：1D. 3：1：2
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据题意可知，∠DCE=∠BEC=∠BCE，所以BE=BC=5，则AE=AB﹣BE=6﹣5=1，EF=AF﹣AE=3﹣1=2，所以FB=AF=3，所以AE：EF：FB=1：2：3．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=4，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=1，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=2，
∴AE：EF：FB=2：1：3，
故选B．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题.
3. 已知是整数，正整数n的最小值为( )
A. 0B. 1C. 6D. 36
【答案】C
【解析】
【详解】∵，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选C．
4. 若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A. 矩形B. 对角线相等的四边形
C. 正方形D. 对角线互相垂直的四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EH∥AC，EH＝AC，FG∥AC，FG＝AC，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
根据题意得：四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选B．
【点睛】本题考查的是中点四边形、菱形的判定，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
由数轴可知，，所以，化简即可解答．
【详解】解：由数轴可知，，
，
．
故选：A．
6. 下列命题中正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形
D. 对角线相等的菱形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线平分且相等的四边形是矩形；对角线平分且垂直的四边形是菱形，对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，逐个进行判断即可得出结果．
【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，
B、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，
C、对角线平分、垂直且相等的平行四边形是菱形，故本选项错误，
D、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的特点，比较简单．
7. 如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是( )
A. 2B. C. 2D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】此题最直接解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：底面周长为20cm，半圆弧长为10cm，
画展开图形如下：
由题意得：AD＝10cm，CD＝4cm，
根据勾股定理得：AB＝＝＝2（cm）．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．
8. 如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（ ）

A. 27°B. 32°C. 36°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形以及折叠的性质即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
又∠DAE=20°
∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=106°
根据折叠可得：
又∠AEF=180°-∠AED=74°
∴
故答案选择B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的综合，涉及到了折叠的性质、三角形的内角和以及平角的性质，难度适中．
9. 如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）

A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于，

四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10. 下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF＝BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③；④．其中正确的命题有（ ）
A. 只有①②B. 只有①②④C. 只有①④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】①可证△ABF≌△BEC，根据全等三角形的性质可得结果．
②由题意正方形中∠ABO＝∠BCO，在上面所证∠BCE＝∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON＝OM即得证．
③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM＝CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以③错误．
过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可证得三角形OGC与三角形OHB全等．
按照前述作辅助线之后，是等腰直角三角形，OH乘以之后等于HG，则在证明之后，CG＝BH，所以④式成立．
【详解】解：∵AF＝BE，AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BFA＝∠BEC，
,
,
∴∠BHE＝90°，
即BF⊥EC，①正确；
∵四边形是正方形，是的中点，
∴BO⊥AC，BO＝OC，
，
由①得∠BCE＝∠ABF，
∴∠ECO＝∠FBO，
,
∴△OBM≌△ONC，
∴ON＝OM，
即②正确；
③∵△OBM≌△ONC，
∴BM＝CN，
∵∠BOM＝90°，
∴当H为BM中点时，OH＝BM＝CN，
因此只有当H为BM的中点时，，故③错误；
④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，
,
,
在△OGC与△OHB中，
，
△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
，
则△OGC≌△OHB，
CG＝BH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及直角三角形斜边中线的性质，比较综合，有一定难度．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 已知+2＝b+8，则的值是_____．
【答案】5.
【解析】
【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值．
【详解】由题可得，
解得，
即a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及化简，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键．
12. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．
【答案】612
【解析】
【分析】先由勾股定理求出BC的长为12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案．
【详解】如图，∵∠C=90，AB=13m，AC=5m，
∴BC==12m，
∴（元）．
故填：612.
【点睛】此题考查勾股定理、平移的性质，题中求出地毯的总长度是解题的关键，地毯的长度由平移可等于楼梯的垂直高度和水平距离的和，进而求得地毯的面积．
13. 如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为_____．

【答案】（﹣1，5）
【解析】
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
【详解】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM+∠EOH=90°
∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣，），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键．
14. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查正方形、等边三角形和等腰三角形的性质，可求得，进而即可求得答案．
【详解】根据题意可得
，，，
∴．
∴．
同理可得，
∴．
故答案为：
15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形．

【答案】或
【解析】
【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到．
【详解】解：当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
在Rt△ABE中由勾股定理可得：即，
解得：；
当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H，

∵AH⊥，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在△ABE和△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
16. 如图所示，以的斜边为边，在的同侧作正方形，，交于点，连接．若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】在AC上截取CG=AB=4，连接OG，根据三角形内角和定理推出∠ABO=∠ACO，进而证出△BAO≌△CGO，推出OA=OG=，∠AOB=∠COG，得出△AOG是等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可得出答案．
【详解】在AC上截取CG=AB=4，连接OG
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°
∴∠ABO=∠ACO
∵BA=CG，∠ABO=∠ACO，OB=OC
∴△BAO≌△CGO
∴OA=OG=，∠AOB=∠COG
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，即△AOG是等腰直角三角形
∴，
∴AC=AG+CG=12，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质，熟练地运用这些性质进行推理和计算是解决此题的关键．
三．解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则是解题的关键，需注意要先化简再求值，不能直接代入求值．
括号内部先因式分解、通分，然后根据分式的乘除运算进行求解．化简得到最后的式子，再代入的值求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 仅利用已有的格点与无刻度直尺作图．(保留作图痕迹)
（1）在图中，作出面积最大的平行四边形．
（2）在图中，是中点，在边上找到点，连接，使．
（3）在图中，在边上找到点，连接，使平分．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）按照平行四边形的性质作图即可．
（2）按照平行四边形的性质和中位线的性质作图即可．
（3）构造等腰三角形，取的中点Q，连接，延长交一点E，线段即为所求．
【小问1详解】
以为底，平移到，令且，从而连接和，当平行线与之间的距离最大时，平行四边形的高最大，即面积最大，作图如下所示：
【小问2详解】
取点和点，连接，，，，
可得四边形为平行四边形，
∴和为对角线，
∴点是边上中点，
又∵是中点，
∴且，
作图如下所示：
【小问3详解】
作图如下所示：
【点睛】本题考查格点作图，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，能够将平行四边形的性质与作图相结合是解决本题的关键．
20. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
21. 超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
【答案】此车超过每小时80千米的限制速度．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论．
【详解】解：由题意知：米，，
在中，∵，，
∴米，
在中，∵，
∴，
∴米；
在中，由勾股定理得米，
∴(米)，
∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，
∴速度为，
∴此车超过的限制速度．
22. 如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB
外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【答案】（1）见解析；（2）OG=1.
【解析】
【分析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形．
（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8-x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．
【详解】解：（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB中点，∴DO="DA" ．
∴∠DAO=∠DOA ="30°," ∠EOA="90°" ．∴∠AEO ="60°" ．
又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO =60°．∴BC∥AE．
∵∠BAO=∠COA =90°，∴OC∥AB．
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）设OG=x，由折叠可知：AG=GC=8－x．
在Rt△ABO中，∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8，∴OA=OB·cs30°=8×=．
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，即，解得，．
∴OG=1．
23. 请仔细阅读材料，并解答相应问题
定义，（a、b、m均为正有理数）都是无理数，若满足①为有理数，②为有理数，则称A、B两数为姐妹数（如与，
，，
6，1为有理数，则、为姐妹数）
（1）已知是的两个根，求的值，并通过以上方法判断是否是一对姐妹数．
（2）在（1）条件下请继续判断、是否是一对姐妹数．
【答案】（1），，为姐妹数
（2），是一对姐妹数
【解析】
【分析】此题考查了新定义，熟练掌握配方法解一元二次方程和二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）解方程后求出，，再根据姐妹数的定义进行证明即可；
（2）根据姐妹数的定义进行计算证明即可．
【小问1详解】
解：
，
，
而4，都为有理数
∴为姐妹数；
【小问2详解】
，，
∵20，都为有理数，
∴，是一对姐妹数
24. 在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【答案】(1)见解析；(2)45°；(3)见解析
【解析】
【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可;
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得；
（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形,由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，
∵，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵ADGF，ABDF，
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，
∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF
△BHD与△GFD中，
∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
25. 如图1，在矩形中，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．

（1）当时．
①如图2．当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
②当点不落在上时，请直接写出是直角三角形时的值；
（2）若直线与直线相交于点，且当时，．问：当时，的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．
【答案】（1）①，②或或；（2）不变，见解析
【解析】
【分析】（1）①利用勾股定理求出AC，再根据折叠的性质以及勾股定理即可得出答案；②分三种情况进行讨论：①如图2-1中，当时，②如图2-2中，当时，③如图2-3中，当时，在中分别找出每条边的长度，再利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（2）首先证明ABCD是正方形，再利用全等三角形的性质以及折叠的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）①如图1中，∵四边形是矩形，
∴，∴
∵翻折
∴，，
∴，
∴在中，
∴
∴；
②如图2-1中，当，在上时，
∵四边形是矩形，∴，，，
∴
∴
在中，∵，
∴，
∴．
如图2-2中，当，在的延长线上时，
在中，，
∴
在中，则有：，
解得．
如图2-3中，当时，
易证四边形为正方形，则．
综上所述，满足条件的的值为或或；

（2）当时，如图，∵
∴，
∵翻折，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即四边形是正方形，
当时，如图，设
∴，
∴，
易证，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∴．