2025年广东省珠海市紫荆中学等五校联考中考一模数学试题（解析版）-A4

这是一份2025年广东省珠海市紫荆中学等五校联考中考一模数学试题（解析版）-A4，共3页。试卷主要包含了12×109B， 下列计算正确的是， 设是方程的一个实根，则， 对正整数，记，则的末尾数为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 地球距太阳约有120000000千米，数120000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.12×109B. 1.2×108C. 12×107D. 1.2×109
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：120000000＝1.2×108．
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 某几何体的三视图如下图，则该几何体是（ ）
A. 三棱柱B. 三棱锥C. 正方体D. 长方体
【答案】A
【解析】
【详解】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．
解：如图，俯视图为三角形，故可排除C、D．
主视图以及侧视图都是矩形，可排除B．
故选A ．
“点睛”本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解答．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了立方根、二次根式的性质、积的乘方、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
4. 某校篮球社团共有30名球员，下表是该社团成员的年龄分布统计表：
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 平均数、中位数B. 众数，中位数C. 众数、方差D. 平均数、方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查频数分布表及统计量选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法是解题的关键．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为，
则总人数为：，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；
故选：B．
5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
6. 如图,过点、，圆心在等腰的内部,，，，则的半径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AO并延长，交BC于D，连接OB，根据垂径定理得到BD=BC=3，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD=3，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接AO并延长，交BC于D，连接OB，

∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴BD=BC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∴OD=2，
∴OB=，
故选：A．
【点睛】本题考查的是垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
7. 如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根式的运算是解题的关键．
由题意得出大、小正方形的边长，再求出，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案．
【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为，
∴大正方形边长为，小正方形的边长为，
∴，
．
故选：C．
8. 设是方程的一个实根，则（ ）
A. 2025B. 2024C. 2023D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个实根，
∴，
∴，，
∴
，
故选：B．
9. 对正整数，记，则的末尾数为（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出，，，，且、…、的数中都含有2与5的积，则它们末尾数都是0，最后据此进一步求解即可.
【详解】由题意得：
，，，，
而、…、的数中都含有2与5的积，
∴它们末尾数都是0，
∴的末尾数为3，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了观察与归纳能力，根据题意正确找出相应的规律是解题关键.
10. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是____．
【答案】a＞3
【解析】
【分析】根据点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限和第四象限点的坐标的特点，可以得到关于a的不等式组，从而可以得到a的取值范围．
【详解】解：∵点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，
∴，
解得a＞3，
故答案为：a＞3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、点坐标，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是（＋，−），列出相应的不等式组．
12. 如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式，即可求解．
【详解】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：369、396、639、693、936、963，一共6中情况；
∴一次就能打开行李箱的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了两条直线的交点问题，以及一次函数与一元一次方程组的关系问题，求出点P的坐标是本题的关键．
根据交点在一次函数上，可以求出点P的坐标，结合图象能算出不等式的解集，再算出的解集，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：将代入得：，
解得，
∴，
∴不等式的解集为，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
14. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而


则


故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．
15. 如图，矩形的边长，，E为中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N．则________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长交的延长线于．根据，求出，，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交的延长线于．
四边形是矩形，
，，，，
∴∠H=∠ADH，
∵E是AB中点，
∴BE=AE，又∠BEH=∠AED，
（AAS），
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
三．解答题一（共3小题，每小题7分，共21分）
16. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可．
【详解】

．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 如图，在中，点为边上的中点，连接．
（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线与的延长线交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见详解 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可；
（2）证明，得到，再证明，从而得到四边形平行四边形．
本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问2详解】
证明：∵点是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
∴四边形为平行四边形
四．解答题二（共3小题，每小题9分，共27分）
19. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
【答案】（1）甲 29
（2）甲 （3）乙队员表现更好
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶
（1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可；
（2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可；
（3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可．
【小问1详解】
解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度，
∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
∴中位数为，
故答案为∶乙，29；
【小问2详解】
解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
【小问3详解】
解∶甲的综合得分为，
乙的综合得分为，
∵，
∴乙队员表现更好．
20. 如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为4，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）BG的长为4
【解析】
【分析】（1）先由菱形的性质得到，，，再用证明得到，，进一步证明，得到，再由即可得到结论；
（3）先证明是等边三角形．得到．连接交于，则，，由勾股定理得到，求出，则可求出，证明，推出．由（1）得，求出值，最后用计算即可．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，，，
又∵，
，
，，
∵，
，
，
，
，
，
∴；
；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
是等边三角形．
．
连接交于，则，，
∴，
，
∴，
．
．
，
∴，
∴
，
．
由（2）得，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似，利用相似三角形的性质进行求解．
21. 【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，．
【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）．
（1）当时，求的长度；
（2）如图3，当时，求的度数；
（3）取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______．
【答案】（1）2 （2）；
（3）的中点；1；
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，从而得到当时，点共线，点A，D，C共线，可证得是等边三角形，即可求解；
（2）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得到，，即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质可得，从而得到点O的运动轨迹为以为直径的圆，进而得到点P的位置是的中点，这个定值为，再由，可得点D在为直径的圆上，然后圆周角定理，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，
∵，，
∴，
∴当时，点共线，点A，D，C共线，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：2;
【小问2详解】
解：如图，过点A作于点H，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵点O是的中点，，
∴，即，
∴点O的运动轨迹为以为直径的圆，如图，
∵运动过程中的长是个定值，
∴点P位置是的中点，且这个定值为，
∵，
∴点D在为直径圆上，
∴，
故答案为：的中点；1，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，第（3）问得到点O的运动轨迹为以为直径的圆是解题的关键．
五．解答题三（共2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22. 定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，，则________°﹔
（2）如图2，锐角内接于，若边AB上存在一点D，使得，在OA上取点E，使得，连接DE并延长交AC于点F，．求证：四边形BCFD是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作于点H，交BC于点G，．
①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为_________；
②求的面积．
【答案】（1）120 （2）证明见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据半对角四边形的定义和四边形的内角和为360°求解即可；
（2）证明△BDE≌△BOE得出∠BDE=∠BOE，进而可证得∠BDE=2∠C，连接OC，设∠OAC=∠OCA=x，可证得∠AFE=2x，∠DFC=180°-2x，∠AOC=180°-2x=2∠ABC，即可证得结论；
（3）①设OB=BD=r，则BH=r-2，利用勾股定理可求得r，根据弧长公式和圆的周长公式即可求解；②由（1）（2）中结论可证得∠BAC=60°，则有∠BOC=120°，可求得∠OBC=30°，过O作OM⊥BC于M，根据垂径定理和直角三角形的性质可求得BC=2BM=OB=BD，易求得BD、HG、BH，证明△BDG∽△BCA，利用相似三角形的性质得出求解即可．
【小问1详解】
解：∵在半对角四边形ABCD中，，
∴∠D=2∠B，∠A=2∠C，
∵∠A+∠B+∠C+D=360°，
∴3∠B+3∠C=360°，
∴∠B+∠C=120°，
故答案为：120°；
【小问2详解】
证明：∵在△BDE和△BOE中，
∴△BDE≌△BOE（SSS）
∴∠BDE=∠BOE，又∠ACB=∠BOA，
∴∠ACB=∠BDE，
连接OC，∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
设∠OAC=∠OCA=x，
∵=∠EAF+∠AFE，
∴∠AFE=2x，则∠DFC=180°-2x，
∵∠AOC=180°-2x=2∠ABC
∴∠DFC=2∠ABC，即∠ABC=∠DFC，
∴四边形BCFD是半对角四边形；
【小问3详解】
解：①BO=BD=r，
∵DH⊥OB，OH=2，
∴在Rt△BHD中，DH=6，BH=r-2，
∴r2=62+（r-2）2，
解得：r=10，
∴弧BC的长为=，
则该圆锥的底面半径为，
故答案为：；
②∵四边形BCFD是半对角四边形，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°，
过O作OM⊥BC于M，则BC=2BM=2OB·cs30°=OB=BD，
∵BD=OB=10
∴BH=10-2=8，又DH⊥OB，∠OBC=30°，
∴HG=BH·tan30°= ，∠BGD=60°，
∴∠BGD=∠BAC=60°，又∠GBD=∠ABC，
∴BDG∽△BCA，
∴= ，
∴=3=3××（6+）×8=．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形的外角性质、垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、弧长公式、四边形的内角和、三角形的面积公式等知识，知识点较多，综合性强，理解新定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
23. 如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于A和B点，交y轴于C点，，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点A点横坐标是m，的面积是S，求S关于m的函数解析式；
（3）已知的面积是，判断过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1过点B作轴于点H，由，可得，可求得；设反比例函数的解析式为：，将代入即可求解；
（2）由题意得，可求出直线的解析式为：得出，根据即可求解；
（3）由题意得，设过A和B点的抛物线的解析式为：，可推出
；设抛物线与x轴的交点分别为，若过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度等于3，则，即；结合根与系数的关系可得，判断此一元二次方程有无实数根即可求解；
【小问1详解】
解：过点B作轴于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
设反比例函数的解析式为：
∴，
∴反比例函数的解析式为：
【小问2详解】
解：∵点A横坐标是m，且点在反比例函数的图象上，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴，
∴
【小问3详解】
解：由解得：，
∴，
∴，
解得：，
∵，即：，
∴，
∴，
设过A和B点的抛物线的解析式为：，
则，
解得：，
设抛物线与x轴的交点分别为，
若过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度等于3，则，
∴，即，
由得：，
∴，
整理得：，
∵，
∴过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度不能等于3
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
频数（单位：名）
8
12
x
队员
平均每场得分
平均每场篮板
平均每场失误
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3