2024年广东省珠海市紫荆中学中考一模数学试题含答案

这是一份2024年广东省珠海市紫荆中学中考一模数学试题含答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出卷人：杨诗鸣 林峰 审题人：罗冬长
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 下图是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图逐项分析即可．
【详解】解：由俯视图可知底层有3个小正方体，其中左侧一列有2个，右侧那一列里面有一个，
即几何体 符合题意，
故选：C．
【点睛】本题意在考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. 分解因式：D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，积的乘方，单项式乘以单项式，分解因式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、分解因式：，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 关于一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，
∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A
5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
6. 如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，即可判断．
【详解】解：显然中，，即是直角三角形，又，，因此．
A、三角形是钝角三角形，故本选项不符合题意；
B、直角三角形的两直角边的比是，故本选项不符合题意；
C、直角三角形的两直角边的比是，故本选项符合题意．
D、如图，，，，，因此不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
7. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．
在下列统计量，不受影响的是（ ）
A. 中位数，方差B. 众数，方差C. 平均数，中位数D. 中位数，众数
【答案】D
【解析】
【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案．
【详解】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为：岁，
故统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
【点睛】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
8. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 2B. C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先求出大、小正方形的边长，进而求出整个图形面积，最后根据阴影部分的面积=大矩形面积-两个正方形面积，本题得以解决．
【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
9. 如图，直线分别交轴、轴于是反比例函数图象上位于直线上方的一点，轴交于，交于，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，过点作轴于点过点作轴于点，然后求出与的长度，即可求出，再设，从而可表示出与的长度，根据，列出即可求出的值，解题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质．
【详解】过点作轴于点过点作轴于点，
令代入，得，
∴，
∴，
令代入，得，
∴ ，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
故选：．
10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据，可得出，解得，进而可确定的取值范围，函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 一元一次不等式组的解集为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法．
【详解】解：
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
故答案为：
12. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点的坐标为，则点A的坐标为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可．
【详解】解：由题意得：与是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
又∵，且原图形与位似图形是异侧，
∴点A的坐标是，即点A的坐标是．
故答案为：．
13. 化简分式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先通分，再利用分式减法计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是注意通分和约分．
14. 若关于一元二次方程的一个根是3，则另一个根是_________________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系．设另一个根为m，则，解答即可．
【详解】解：设另一个根为m，则，
解得，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，垂足为，．以点为圆心，长为半径画弧，与，，分别交于点，，．若用扇形与扇形合并围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】由，，，，，，得，，，，求解，，证明，可得，再分别计算圆锥的底面半径即可，
【详解】解：∵，，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设扇形与扇形合并围成一个圆锥的侧面，圆锥底面圆的半径为，
由上可知圆心角为，展开后的半径，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．
16. 如图，在正方形中，平分，交于点E，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．则有①；②连接，则；③连接、，则平分；④连接交于点M，；
则以上结论正确的有：______（填序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①由正方形性质得出，，根据直角三角形两锐角互余的关系可得，利用可证得，即可得出结论；
②首先得到点A，D，C，G四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等求解即可；
③由正方形性质与角平分线的定义得出，利用可证得得出，由直角三角形斜边中线的性质得出，根据角的和差关系可得，即可得出结论；
④连接，由正方形的性质得出，，，推出，根据角的和差关系可得，利用可证得，得出，推出，即可证得，即可得出结果．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②如图所示，连接
∵
∴点A，D，C，G四点共圆
∴，故②正确；
③∵四边形是正方形，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
④连接，如图3所示：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题是相似综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
17. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】根据绝对值的性质化简，根据负整数指数幂的定义及零指数幂的定义计算，代入特殊角的三角函数值，再计算加减法即可．
【详解】
=
=3．
【点睛】此题考查实数的混合运算，掌握绝对值的性质化简，负整数指数幂的定义及零指数幂的定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？
【答案】（1）鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元
（2）该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套，四大名著2套；②鲁迅文集9套，四大名著1套
【解析】
【分析】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，根据题意，列出分式方程，求解即可；
（2）设购买鲁迅文集a套，根据题意，列出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴，
答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；
【小问2详解】
解：设购买鲁迅文集a套，
由题意得：，
解得：，
∵且a为正整数，
∴或，
则该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套，四大名著2套；②鲁迅文集9套，四大名著1套．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式．
19. 为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽查了__________名学生，其中，喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为__________，喜欢“戏曲”活动项目的人数是__________人；
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率．
【答案】（1）50，24%，4（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由扇形统计图知声乐所占百分比为16%，由条形统计图知声乐的人数是8人，所以这次调查中一共抽查=；由条形统计图知舞蹈的人数是12人，那么喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为= ；喜欢“戏曲”活动项目的人数=50-12-16-8-10=4
（2）设舞蹈、乐器、声乐、戏曲的序号依次是①②③④，画树状图：
∵任选两项设立课外兴趣小组，共有12种等可能结果，恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的有2种情况，
∴P(恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动)．
考点：统计、概率
点评：本题考查统计、概率，解答本题需要掌握识别扇形统计图和条形统计图，从中读出有用的信息来，要求考生会画树状图
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
（参考数据：）．
（1）求点P到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点时，，求．
【答案】（1）点到地面的高度为；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案；
（2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案．
【小问1详解】
解：过点作于H，延长交于，
则四边形为矩形，
∴，，
则，
∴点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
【小问2详解】
解：由（1）可知，四边形为矩形，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴．
21. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再由平行线的性质可得；
（2）连接，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵AB为圆O直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
即；
【小问2详解】
解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆O切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
22. 如图，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，为的中点，双曲线的一支过点，连接，将线段沿着轴向上平移至，线段交于点．

（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出、的坐标，根据中点坐标求出的坐标代入，求出的值即可；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据平移求出，得出，推出，得出，求出的长度，得出横坐标代入解析式即可求出最后结果．
【小问1详解】
把代入中得，
点的坐标为，
把代入中得，
点的坐标为，
为的中点，
点的坐标为，
把代入中得，即，
该反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

将沿着轴向上平移至，点的坐标为，
，
，
，
轴，轴，
,
，，
，
，
，
点的横坐标为，把代入得，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数的解析式，中点坐标，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线，掌握中点坐标公式．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，点是线段的中点，连接，以和为一组邻边作．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线上方的抛物线上时，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）当点落在坐标轴上时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）当时，有最大值4，此时
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）根据（1）中抛物线解析式求得点，点的坐标，待定系数法求直线的解析式；连接，过点作于点，交于点，设点的坐标，根据面积公式列面积的表达式，配方求得面积的最大值，即可求解；
（3）分为当在轴上和当在轴上两种情况讨论，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质，即可求得．
【小问1详解】
∵抛物线与轴交于，两点
∴
解得
∴抛物线的解析式为
【小问2详解】
∵抛物线的解析式为
∴
∵点是线段的中点
∴
设直线的解析式为
∵，
∴
解得
∴直线的解析式为
如图①，连接，过点作于点，交于点

设，则点
∴
∴
∴
∵
∴当时，有最大值4，此时
【小问3详解】
当在轴上的时候，如图②

过点作交与点,过点作交与点
∵
∴
∴
∴
∴
即点的横坐标为2
故将代入抛物线解析式
解得
∴点的坐标为
当在轴上的时候，如图③

∵，
∴
∴
∴
∵
即点到轴距离为1
将代入抛物线解析式
解得，
∴点的坐标为或
故答案为：或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数最值的应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键．
24. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
（1）如图，，点在线段上，且，请直接写出与的比值是______；
（2）如图，在中，，，，则______，在上截取，则______，在上截取，则的值为______；
（3）如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，把边折到线段上，即使点的对应点落在上，得到折痕，请证明：是线段的黄金分割点；
（4）如图，在边长为的正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为线段的黄金分割点时，，连，延长交于，求的长．
【答案】（1）；
（2），，；
（3）证明见解析； （4）．
【解析】
【分析】（）直接根据黄金分割比求解即可；
（）先根据勾股定理求得，设，则，再利用勾股定理建立方程求得的值，进而求得，最后代入计算即可；
（）由图，取与交点，过作，，由 ，求得的长，计算的值即可；
（）延长交于点，过作，过作，交于点，过作，取交点，由已知条件证明，继而证明，可知，接着证明，由 ，求得的值，最后由与得出结果．
【小问1详解】
解: ，，则 ，即，
∴，解得或 (舍去) ，
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
在中，，， ，如图，
，
∵，，
设，
则，，
∵，
∴，
解得或 (舍去) ，经检验是原方程的解，
∵，
则，
故答案为：，，；
【小问3详解】
证明: 如图，设与交点为，
∵且为中点，
∴，
过作，
∵平分，
∴，
设，
∴ ，
∴，
∴，
即，
解得，
经检验为原方程的解，
∴，
∴，，
∴ ，
∴是线段的黄金分割点；
【小问4详解】
解: 延长交于点，过作，过作，交于点，过作，取交点，
∵，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∵为的黄金分割点，，
∴设 ，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，
经检验，符合题意，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了成比例线段、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、三角形全等的性质与判定等知识点，正确的作出辅助线、熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
年龄（岁）
12岁
13岁
14岁
15岁
16岁
人数（个）
2
8
3