广东省江门市鹤山市沙坪中学九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省江门市鹤山市沙坪中学九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图标既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C中图标轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
2. 一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A. 摸出的2个球中有黑球B. 摸出的2个球中有白球
C. 摸出的2个球都是黑球D. 摸出的2个球都是白球
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键．
【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意；
B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意；
C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意；
D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意；
故选：B．
3. 如图，点是反比例函数的图象上一点，则反比例函数的解析式（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了求反比例函数解析式．根据点在曲线图上点的坐标满足函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：把代入，
得：，即，
那么这个函数的解析式是．
故选：D．
4. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得：
．
故选：D
5. 如图，是的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点，直线与相交于、两点，若，则的长为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．连接，设AB和CD交于点，根据作图得出CD垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果．
【详解】解：连接，
设AB和CD交于点，
由作图可知：CD垂直平分，
，
，，
，
，
，
故选：．
6. 以正方形两条对角线的交点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数的图象经过点D，则正方形的面积为（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解．
【详解】解：∵双曲线经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是4，
∴正方形的面积是．
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握：过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．
7. 如图，是切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质与圆周角定理，四边形内角和，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．首先连接，由是的切线，根据切线的性质，即可得，由四边形内角和求出，又由圆周角定理，可求得的度数．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴
∴ ．
故选：A．
8. 拋物线与坐标轴交点个数为（ ）
A. 无交点B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解方程等知识点，当时，计算出，则抛物线与y轴的交点坐标为，再解方程得抛物线与x轴无交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的性质是解决此题的关键．
【详解】当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
当时，，
∵，
∴方程无解，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线与坐标轴有1个交点，
故选：B．
9. 如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（ ）
A. 3、B. 、C. 、D. 、
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了圆和正多边形的相关计算、解直角三角形、弧长公式等知识．连接，由正是圆的内接多边形得到，，进一步得到，，则．
【详解】解：连接，
∵正是圆的内接多边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可得：抛物线的开口向上，抛物线与轴交于负半轴，对称轴为 从而可判断①②，当时， 而点在第四象限，可判断③，当时， 而点在第二象限，而 可判断④.
【详解】解：由图象可得：抛物线的开口向上，抛物线与轴交于负半轴，对称轴为

故①不符合题意；
即 故②符合题意；
当时，
而点在第四象限，
故③符合题意；
当时，
而点在第二象限，
而
故④符合题意；
综上：符合题意的有：②③④
故选C
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，掌握“利用抛物线的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若反比例函数的图象在二、四象限，则m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是反比例函数的性质的基础应用题．反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．据此得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
解得．
故答案为：
12. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】一元二次方程的两根分别为，可得 再把要求值的代数式通分，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，
∴
∴
故答案为：-2
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，掌握“利用根与系数的关系构建整体代入求值”是解本题的关键．
13. 如图，已知四边形内接于，，则的度数是________．
【答案】##度
【解析】
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补求出，再根据邻补角求出的度数即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴，
故答案为：
14. 一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于______度．
【答案】120
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是，
由题意得：，
解得：．
故答案为：．
15. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D 和1个小灯泡，同时闭合开关A，B 或同时闭合开关C，D 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为_______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，随机闭合两个开关共有，6种情况，其中小灯泡不发光的情况有共4种情况，进行计算即可．
【详解】解：随机闭合两个开关共有，6种情况，其中小灯泡不发光的情况有共4种情况，
∴；
故答案为：．
三、解答题
16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？
【答案】每个支干长出8个小分支
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有个分支,即可列方程求得x的值．
【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去），
∴
答：每支支干长出8个小分支．
17. 2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种．
（1）乙同学恰好选中B的概率是______；
（2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是概率．
（1）直接运用概率公式解答即可．
（2）画树状图共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种，则乙同学恰好选中B的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
18. 已知关于x的方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）等腰（非等边三角形）中有一边长为2，另两边长均为方程的实数根，求该三角形的周长．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）分是原方程的解，不是原方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系求出另外两边长，再根据三角形三边的关系求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时方程的一个解时，
则方程的另一个解为，
∴此时等腰的三边的长分别为2、2、4，不能构成三角形，
当不是原方程的解；
∴有两个相等的实数根，
∴等腰的另两边长都为，
∴此时等腰的三边的长分别为3、3、2，能构成三角形，
∴等腰的周长为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，三角形三边的关系，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知．
（1）作出以为旋转中心，顺时针旋转90°的，（只画出图形）．
（2）作出关于原点成中心对称的，（只画出图形）
（3）在（1）的条件下，求出线段扫过的面积．
【答案】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O成为中心对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）由旋转得，所以线段AC扫过的面积=．
【详解】解：（1）（2）如图所示
（3），，
【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是熟悉掌握旋转变换的定义和性质及扇形的面积公式．
20. “母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．
【解析】
【详解】试题分析：根据题意得出每天获得的利润P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．
解：根据题意得：
P=（﹣3x+108）（x﹣20）
=﹣3x2+168x﹣2160
=﹣3（x﹣28）2+192．
∵a=﹣3＜0，
∴当x=28时，利润最大=192元；
答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．
考点：二次函数的应用．
21. 如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）6π．
【解析】
【分析】（1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由内角和定理可求∠OCA=90°，证明切线..
（2）由（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求BD的长度.
（3）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积求解．
【详解】解：（1）证明：如答图，连接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°.
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB.
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形.
∴∠A=∠D=30°.
∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD.
∴BE=DE.
∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，
∴BE=OBcs30°=3.
∴BD=2BE=6.
（3）∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，
∴△OEB≌△CED（AAS）.
∴S阴影=S扇形BOC.
∴S阴影=．
答：阴影部分的面积是6π．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，平行四边形的判定和性质，切线的判定和性质，垂径定理，特殊角的三角函数值，扇形面积，掌握转换思想和数形结合思想是关键．
22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．

（1）求一次函数及反比例的表达式和m值
（2）请根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值．
【答案】（1）；；；
（2）或；
（3）点P的坐标为或，S的最小值为．
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、二次函数的应用等知识．
（1）将代入得b，即得一次函数的解析式，将代入得k，将代入一次函数解析式得m；
（2）由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和，根据直线在双曲线下方的部分的自变量的范围即可求解；
（3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求出答案．
【小问1详解】
解：一次函数图象过点，
，
解得，
一次函数解析式是，
把代入得到
，
解得，
∴反比例函数解析为；
∵在一次函数的图象上，
，
；
【小问2详解】
由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和，
则得解集为：或；
【小问3详解】
∵点P是线段上一点，设，
∴，
∴，
∵，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线开口向下，
∵，，
∴当或时，有最小值，且最小值是．
此时点P的坐标是或
23. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点是抛物线上一动点，且，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以点A，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或或或
（3）或或
【解析】
【分析】(1)用待定系数法可得二次函数的解析式为 ；
(2)由，可知，令解方程即可求点的坐标；
(3)设，，又，分两种情况∶①若为边，则，利用平移建立方程即可求解；②若为对角线，则利用平行四边形的性质可求得答案．
【小问1详解】
解：把，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
当时，
解得：，
或；
当时，
解得：，
或；
综上所述，时，
点的坐标是或或或；
【小问3详解】
解：设，，
又，
分两种情况∶①若为边，则，如下图，有两种情况：
当点M在y轴左侧时，
，，
点Q可以看作点B向左平移以后再向上平移2个单位得到的，
点M可以看作点A向左平移相同单位以后再向上平移2个单位得到，
，
解得（舍正值），
，
同理可得，当点M在y轴右侧时，
，
解得（舍负值），
；
②若为对角线，如下图所示：
此时，
，
由（2）可知；
综上所述，当以点A，，，为顶点的四边形为平行四边形时，
点坐标为或或．