2023-2024学年广东省江门市鹤山市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市鹤山市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程x2=−2x的解是( )
A. x1=x2=0B. x1=x2=2
C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−2
2.下列关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=12xB. y=−3xC. y=3x2D. y=3x+1
3.不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )
A. 3个球都是黑球B. 3个球都是白球C. 三个球中有黑球D. 3个球中有白球
4.已知反比例函数y=6x，则下列描述不正确的是( )
A. 图象位于第一、三象限B. 图象必经过点(32,4)
C. 图象不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而减小
5.一个圆锥底面半径为10cm，母线长30cm，则它的侧面展开图的圆心角是( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°
6.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0)，A(12,9)，B(9,0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C的坐标为( )
A. (−3,−3)
B. (−4,−3)
C. (−3,−4)
D. (−6,−3)
7.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC=27°，则∠B的度数等于( )
A. 28°
B. 36°
C. 44°
D. 56°
8.如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )
A. AEAD=ACAB
B. ∠B=∠ADE
C. AEAC=DEBC
D. ∠C=∠AED
9.如图，矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线y=kx在第二象限的图象相交于点D，且BD：OB=1：3，则k的值为( )
A. 8
B. 16
C. −8
D. −16
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的其中一个交点为(3,0)，另一个交点位于(−2,0)和(−1,0)之间(不含端点)，且与y轴交于(0,−2).则下列结论不正确的是( )
A. abc>0
B. a−b+c<0
C. 2a+b>0
D. b2−4ac<8a
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若反比例函数y=k−3x的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是______．
12.已知一元二次方程x2−5x−5=0的两根分别为a，b，则1a+1b的值为______．
13.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”.问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为______寸.
14.如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=4 3cm，则△ABC的外接圆的直径是______cm．
15.有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三、四把钥匙不能打开这两把锁.任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
某校九年级兴趣班的同学们，毕业前每位同学向其他同学各赠送一张不同贺卡，全班共互赠了132张，那么兴趣班有多少位学生？
17.(本小题8分)
2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目.小明和小张相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域，求小明和小张在同一区域观看比赛的概率.(请用画树状图或列表说明理由)
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长.(结果保留π)
19.(本小题9分)
如图，在△ABC和△AED中，AB⋅AD=AC⋅AE，∠BAD=∠CAE．
(1)求证：△ABC∽△AED；
(2)若S△ABC：S△ADE=4：9，BC=6，求DE的长．
20.(本小题9分)
杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，已知该商品每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系：y=−2x+100，设该网店每周销售这种商品所获得的利润为ω元．
(1)求ω与x的函数关系式；
(2)该商品销售单价定为多少元时，网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CE⊥DF，垂足为E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AE=2，CE=4，求⊙O的半径．
22.(本小题12分)
如图，直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，在直线上取点A(2,a)，过点A作反比例函数y=kx(x>0)的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式．
(2)根据图象，直接写出满足kx>2x+2在第一象限内x的取值范围．
(3)点Q在x轴负半轴上，满足∠BOA=∠OAQ，求点Q的坐标．
23.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,−3)、B(3,0)两点，该抛物线的顶点为C．
(1)求此抛物线和直线AB的表达式；
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；
24.(本小题15分)
我们定义：若点P在一次函数y=ax+b(a≠0)图象上，点Q在反比例函数y=cx(c≠0)图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y=ax2+bx+c为一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
(1)若二次函数y=2x2+6x+8是一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的“衍生函数”，则a= ______，b= ______，c= ______．
(2)直接写出一次函数y=x+b和反比例函数y=cx的“衍生函数”的表达式，若该“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为4，求出“靶点”Q的坐标；
(3)若一次函数y=ax+b(a>b>0)和反比例函数y=−5x的“衍生函数”经过点(2,5).试判断一次函数y=ax+b图象上“基点”的个数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x2=−2x，
∴x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x=0或x+2=0，
解得x1=0，x2=−2，
故选：D．
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
2.【答案】B
【解析】解：A、y=12x，y是x的正比例函数，故不符合题意；
B、y=−3x，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意．
C、y=3x2，y是x的二次函数，故此选项不符合题意；
D、y=3x+1，不是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握反比例函数的定义是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题意知，3个球都是黑球，是不可能事件，故A符合要求；
3个球都是白球，是随机事件，故B不符合要求；
三个球中有黑球，是随机事件，故C不符合要求；
3个球中有白球，是必然事件，故D不符合要求；
故选：A．
根据不可能事件的定义进行判断即可．
本题考查了事件发生的可能性大小．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵k>0，
∴图象位于第一、三象限，则正确，故不符合题意；
B、当x=32时，y=632=4，
∴图象必经过点(32,4)，则正确，故不符合题意；
C、∵x≠0，
∴图象不可能与坐标轴相交，则正确，故不符合题意；
D、当x<0或x>0时，y随x的增大而减小，则错误，故符合题意；
故选：D．
根据k>0可判断A；当x=32时，y=4，可判断B；根据x≠0可判断C；当x<0或x>0时，y随x的增大而减小可判断D．
本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵圆锥底面半径为10cm，
∴圆锥侧面展开图的弧长是：20πcm，
设圆心角的度数是x度．则xπ×30180=20π，
解得：x=120．
故选：C．
圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
6.【答案】B
【解析】解：∵点O为位似中心，△OAB的位似图形为△OCD，位似比为13，
而A(12,9)，
∴C(−13×12,−13×9)，即(−4,−3)．
故选：B．
根据关于以原点为位似中心的点的坐标关系，点C的坐标就是把点A的坐标乘以−13，据此计算即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
7.【答案】B
【解析】解：连接OA，
∵AC=AC，
∴∠AOC=2∠ADC=2×27°=54°，
∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠AOB+B=90°，
∴∠B=90°−∠AOB=90°−54°=36°，
故选：B．
连接OA，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系求出∠AOC，根据切线的性质得到∠OAB=90°，继而可求出∠B．
本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，正确作出辅助线，根据切线的性质构造直角三角形是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由图得：∠A=∠A
∴当∠B=∠ADE或∠C=∠AED或AE：AC=AD：AB时，△ABC与△ADE相似；
也可AE：AD=AC：AB．
C选项中角A不是成比例的两边的夹角．
故选：C．
本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
9.【答案】C
【解析】解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图，
∴四边形OABC为矩形，且其面积为18，
∴AB=CO，BC=OA，∠BAO=90°，
∵OB=BO，
∴△OAB≌△BCO，
∴S△OAB=S△BCO=12×18=9，
∵DE⊥y轴，∠BAO=90°，
∴DE/​/AB，
∴△ODE∽△OBA，
∴S△ODES△OBA=(ODOB)2，
∵BD：OB=1：3，
∴ODOB=23，
∴S△ODE9=(ODOB)2=49，
∴S△ODE=4，
即12|k|=4；
∵k<0，
∴k=−8；
．
故选：C．
过点D作DE⊥y轴于点E，由矩形的性质及相似三角形的性质可得△ODE的面积，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义等知识，熟练掌握上述知识是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、∵抛物线开口向上，
∴a>0．
∵抛物线y轴的交点在y轴负半轴，
∴c<0．
∵抛物线的对称轴在x轴正半轴，
∴x=−b2a>0，
∴b<0，
∵abc>0，故A正确；
B、∵由函数图象可知，当x=1时，y<0，
∴a−b+c<0，故B正确；
C、∵图象与x轴的其中一个交点为(3,0)，另一个交点位于(−2,0)和(−1,0)之间(不含端点)，
∴抛物线的对称轴0<−b2a<1，
∴0<−b<2a，
∴2a+b>0，故C正确；
D、∵b2−4ac>0，8a>0，
∴b2−4ac与8a的大小不确定，故D错误．
故选D．
根据抛物线开口向上可知a>0，与y轴的交点在y轴负半轴，所以c0，由抛物线的对称轴在x轴正半轴可知x=−b2a>0，故可得出b<0，故可对A作出判断；由函数图象可知，当x=1时，y<0，故可对，B作出判断；根据抛物线的对称轴可对C作出判断；由抛物线的顶点坐标可对D作出判断．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，解得该题时，充分利用了抛物线的对称性．
11.【答案】k<3
【解析】解：∵反比例函数y=k−3x的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴k−3<0，解得k<3．
故答案为：k<3．
根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：∵一元二次方程x2−5x−5=0的两根分别为a，b，
∴a+b=5，ab=−5，
∴1a+1b=a+bab=5−5=−1，
故答案为：−1．
根据根与系数的关系得到a+b=5，ab=−5，再由1a+1b=a+bab进行代值计算即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，关键掌握对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−ba,x1x2=ca．
13.【答案】13
【解析】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，
则AD=BD=AB=5，
设圆形木材半径为r寸，
则OD=(r−1)寸，OA=r寸，
∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=(r−1)2+52，
解得：r=13，
∴⊙O的半径为13寸，
故答案为：13．
设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD=BD=5，设圆形木材半径为r，可知OD=(r−1)寸，OA=r寸，根据OA2=OD2+AD2列方程求解可得．
本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：作直径BD，连接CD，
由圆周角定理得，∠D=∠A=60°，∠BCD=90°，
则BD=BCsinD=4 3 32=8，
故答案为：8．
作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D=∠A=60°，∠BCD=90°，根据正弦的定义计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，锐角三角函数的概念是解题的关键．
15.【答案】14
【解析】解：将两把不同的锁分别用A与B表示，四把钥匙分别用A，B，C，D表示，且A钥匙能打开A锁，B钥匙能打开B锁，
画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，一次打开锁的有2种情况，
∴一次打开锁的概率为：28=14，
故答案为：14；
随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
16.【答案】解：设兴趣班有x位学生，
根据题意得：x(x−1)=132，
解得：x1=12，x2=−11(不合题意，舍)，
答：兴趣班有12位学生．
【解析】根据共送出贺卡数=共有人数×每人需送出的贺卡数，列出方程，求出方程的解即可，注意x取正整数．
本题考查了一元二次方程的应用，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意除了不给自己送贺卡外，其余同学都需送出．
17.【答案】解：由题意画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，其中小明和小张在同一区域的情况有3种，
39=13，
即小明和小张在同一区域观看比赛的概率是13．
【解析】先通过列表或画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求，B2的坐标(−2,4)；
(3)点A旋转到点A2所经过的路径长为：90π× 12+42180= 17π2π.
故点A旋转到点A2所经过的路径长是 172π.
【解析】(1)根据网格特点，找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)分别找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，
(3)观察可知点A所经过的路线是半径为 12+42，圆心角是90°的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解．
本题综合考查了利用对称变换作图，利用旋转变化作图，熟知网格结构特点找出变换后的对应点的位置是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE．
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
.∴∠DAE=∠BAC，
∵AB⋅AD=AC⋅AE，
∴ABAE=ACAD，
∴△ABC∽△ADE；
(2)解：∵△ABC∽△ADE，
又∵S△ABC：S△ADE=4：9，
.∴BC：DE=2：3，
∵BC=6，
∴DE=9．
【解析】(1)首先推导出∠DAE=∠BAC，再证明ABAE=ACAD，得出△ABC∽△ADE；
(2)利用S△ABC：S△ADE=4：9得出两个三角形的相似比，BC：DE=2：3，代入数据即可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△ADE是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意，ω=(x−30)(−2x+100)
=−2x2+160x−3000．
∴ω与x的函数关系式为ω=−2x2+160x−3000(30≤x≤38)．
(2)由题意，结合(1)得ω=−2x2+160x−3000=−2(x−40)2+200．
∵−2<0，
∴当x<40时，ω随x的增大而增大．
又30≤x≤38，
∴当x=38时，利润ω最大为192元．
【解析】(1)依据题意，根据总利润=单个利润×销量进行列式，可得ω=(x−30)(−2x+100)，进而计算可以得解；
(2)依据题意，结合(1)得ω=−2x2+160x−3000=−2(x−40)2+200，再结合30≤x≤38，最后根据二次函数的性质进行判断可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
21.【答案】(1)证明：连接CO，如图1所示：
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OAC=∠CAE，故∠OCA=∠CAE
∴OC//FD，
∵CE⊥DF，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：连接BC，如图2所示：
在Rt△ACE中，AC= AE2+EC2= 22+42=2 5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCA=∠CEA，
∵∠CAE=∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴CAAB=AEAC，
即2 5AB=22 5，
∴AB=10，
∴AO=5，即⊙O的半径为5．
【解析】(1)证明：连接CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到OC//FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；
(2)证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)∵直线y=2x+2经过点A(2,a)，
∴a=2×2+2=6
∴点A(2,6)，
∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x(x>0)；
(2)观察图象，不等式kx>2x+2第一象限内x的取值范围是0(3)设直线AQ交y轴于E，
∵∠BOA=∠OAQ，
∴AE=OE，
设AE=OE=a，
过A作AH⊥y轴于H，
∵点A(2,6)，
∴AH=2，OH=6，
∴EH=6−a，
∵AH2+EH2=AE2，
∴22+(6−a)2=a2，
∴a=103，
∴E(0,103)，
设直线AQ的解析式为y=mx+n，
∴2m+n=6n=103，
∴m=43n=103，
∴直线AQ的解析式为y=43x+103，
当y=0时，43x+103=0，
解得x=−52，
∴点Q的坐标为(−52,0)．
【解析】(1)根据直线y=2x+2经过点A(2,a)，求得a=2×2+2=6得到点A(2,6)，代入y=kx(x>0)即可得到结论；
(2)根据函数图形即可得到结论；
(3)设直线AQ交y轴于E，根据等边三角形的性质得到AE=OE，设AE=OE=a，过A作AH⊥y轴于H，得到AH=2，OH=6，根据勾股定理得到E(0,103)，设直线AQ的解析式为y=mx+n，得到直线AQ的解析式为y=43x+103，当y=0时，解方程即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，解不等式，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)抛物线y=ax2−2x+c经过A(0,−3)、B(3,0)两点，代入得：
9a−6+c=0c=−3，
解得：a=1c=−3．
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
∵直线y=kx+b经过A(0,−3)、B(3,0)两点，代入得：
3k+b=0b=−3，
解得：k=1b=−3，
∴直线AB的解析式为：y=x−3．
(2)存在．理由如下：
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的顶点C的坐标为(1,−4)．
∵CE//y轴，E在直线y=x−3上，
∴E(1,−2)．
∴CE=2．
①如图1，连接CN，

若点M在x轴的下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE=MN．
设M(a,a−3)，则N(a,a2−2a−3)．
∴MN=(a−3)−(a2−2a−3)=−a2+3a．
∴−a2+3a=2．
解得：a=2或a=1(舍去)．
∴M(2,−1)．
②如图2，连接EN，CM，MN，

若点M 在x轴的上方，四边形CENM为平行四边形，则CE=MN．
设M(a,a−3)，则N(a,a2−2a−3)．
∴MN=a2−2a−3−(a−3)=a2−3a．
∴a2−3a=2．
解得：a=3± 172(负值舍去)．
∴a=3+ 172．
∴M(3+ 172,−3+ 172)．
综上，M点的坐标为(2,−1)或(3+ 172,−3+ 172)．
【解析】(1)利用待定系数法将A，B两点的坐标代入解析式中，解方程组即可求得；
(2)根据题意画出符合题意的图形，设出点M的坐标，依据解析式得出点N的坐标，利用M，N的坐标表示出线段MN，CE的长度，利用平行四边形的对边相等得到CE=MN，解方程即可求得M的坐标．
本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法确定函数的解析式，利用点的坐标的特征表示相应线段的长度，平行四边形的性质．
24.【答案】2 6 8
【解析】解：(1)由定义可知，a=2，b=6，c=8，
故答案为：2，6，8；
(2)由题意可知，“衍生函数”为y=ax2+bx+c，
∵顶点在x轴上，
∴4c=b2，
∴一次函数为y=x+b，
∵“基点”P的横坐标为4，
∴P(4,4+b)，
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴Q(−4,4+b)，
∵反比例函数为y=cx，
∴c=−16−4b，
∴14b2=−16−4b，
解得b=−8，
∴“靶点”的坐标(−4,−4)；
(3)点P有两个基点．
理由如下：
证明：由题意可知“衍生函数”为y=ax2+bx−5，
∵经过点(2,5)，代入可得4a+2b−5=5，
∴2a+b=5，
∴b=5−2a，
∵点P、Q关于y轴对称，
设Q(x,y)，则P(−x,y)且xy=−5，
把P(−x,y)代入y=ax+b得y=−ax+b，
y=−ax+b两边乘以x得，
xy=−ax2+bx，
−5=−ax2+bx，
即ax2−bx−5=0，
∵a>0，
∴Δ=b2+20a>0，
∴方程有两个不同的实数根，
∴一次函数y=ax+b图象上存在两个不同的基点．
(1)由定义直接求解即可；
(2)由题意先求出4c=b2，则可求P(4,4+b)，再求P点关于y轴的对称点Q，将所求Q点代入反比例函数中，求出b的值即可求得最终结果；
(3)题意可知“衍生函数”为y=ax2+bx−5，将点(2,5)代入，再由题意可求，设“靶点”设Q(x,y)，则P(−x,y)，则ax2−bx−5=0，通过判断△，即可证明．
本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题与所求函数问题相结合是解题的关键．A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)