广东省茂名市高州市部分学校联考九年级上学期11月期中数学试题（A卷）　（解析版）-A4

这是一份广东省茂名市高州市部分学校联考九年级上学期11月期中数学试题（A卷）　（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不含2次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、整理得不含2次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线相等的矩形是正方形D. 两条对角线相等的菱形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定方法一一判断即可；
【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项说法错误；
B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项说法错误；
C、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法错误；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．
3. 学校组织春游，安排九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明和小慧同车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：设三辆车分别用1，2，3表示，
根据题意，列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则P=．
故选B．
【点睛】此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
4. 已知方程的解也是方程的一个解，则m的值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次方程，方程的解等知识点，先求出方程的解，再把x的值代入方程，求出m的值即可，先求出x的值，再代入方程是解决此问题的关键．
【详解】，
解得：，
把代入方程得：
，
解得：，
故选：C．
5. 在中，点是斜边上的中点，连接．若，则（ ）．
A. 22°B. 68°C. 96°D. 112°
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边，得出，根据等腰三角形的性质，得出即可．
【详解】解：∵点D为Rt△ABC，斜边BC的中点，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边，是解题的关键．
6. 如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解并掌握平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键．
根据平行线分线段成比例的计算方法得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
A、∵的值不确定，无法比较，故原选项不正确，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，故该选项正确，符合题意；
C、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意；
D、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意；
故选：B ．
7. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A. 4B. 4.5C. 5.5D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
则BE的长即为DP+PE的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值为5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．
8. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上
D. 用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.15到0.20之间波动，即：这个实验的概率大约为0.17，分别计算四个选项的概率，大约为0.17即为正确答案．
【详解】A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为0.17，故本选项符合题意；
C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是=0.25，故本选项不符合题意；
D．由于用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234，324，342，432，
∴排出的数是偶数的概率为：．故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题是利用频率估计概率，主要考查了学生的观察频数（率）分布折线图，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
9. 某市2014年的快递业务量为4.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．若2016年的快递业务量达到9.7亿件，设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，根据2014年的快递业务量×（1+x）2=2016年的快递业务量可列方程，
故选C.
10. 长方形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在 上的点处，分别延长交于点，下列四个结论：
①； ②是正三角形；③； ④．
其中正确个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形的性质，折叠的性质得到，由角平分线的性质定理得到，由此可判定①；根据题意可证，得到，设，可得，可判定②；根据题意可得，可判定③；根据题意得，则，，可判定④；由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，
∵将沿折叠，点恰好落在 上的点处，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故①正确；
和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，即，
∴不是正三角形，故②错误；
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
由上述证明可得，
∴，，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：C ．
【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的计算，掌握折叠的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 关于的方程是一元二次方程，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义，列出式子解答即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
∴，
故答案为：1
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
12. 如图，在菱形ABCD中，，点E是AD的中点，连接OE，则OE=_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=6，
∴△AOD为直角三角形．
∵点E为线段AD的中点，AD=6，
∴OE=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，本题属于基础题，难度不大．
13. 已知，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由题干可得，根据比例的性质即可解得b、a的比值．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
∴．
故答案为：
14. 如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式，即可求解．
【详解】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：369、396、639、693、936、963，一共6中情况；
∴一次就能打开行李箱概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．
15. 如图，把一个长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 A，点 B 分别对应点 H，点 G，若∠1＝50°，则∠2＝_____度．

【答案】100°
【解析】
【分析】先利用两直线平行内错角相等，得出∠AEF=50°，再利用折叠的性质得出∠FEM=50°，即可求解.
【详解】解：长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠
∵∠1＝50°
∴∠AEF=∠FEM=50°
∴∠AEM=∠AEF+∠FEM=100°
∴∠2=100°
故答案为：100°.
【点睛】此题主要考查平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题关键.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 解一元二次方程：.
【答案】，.
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法，得，即可作答．
【详解】解：，
，
或，
解得，.
17. 如图，在中，，于D．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
详解】证明：∵于D．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．
18. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0
（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析（2）1，1
【解析】
【分析】（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；
（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t与m的方程组即可．
【详解】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；
当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，
所以不论m为何值，方程总有实数根；
（2）设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=，2t=，
则2+t=1+2t，解得t=1，
所以m=1，
即m的值位1，方程的另一个根为1．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，点E、F为菱形ABCD对角线BD的三等分点.
（1）试判断四边形AECF的形状，并加以证明；
（2）若菱形ABCD的周长为52，BD为24，试求四边形AECF的面积.
【答案】（1）菱形；（2） 40
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等求出边长AB，根据菱形的对角线互相平分求出OB，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
试题解析：
（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，且周长为52，
∴AB=13，
∵BD=24，E、F为菱形ABCD对角线BD的三等分点，
∴OB=BD=×24=12,EF=，
由勾股定理得，AO=,
∴AC=2AO=2×5=10，
∴S四边形AECF=EF•AC=×8×10=40．
【点睛】运用了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
20. 为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从A．“中国天眼”、B．“5G时代”、C．“夸父一号”、D．“巅峰使命”四主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图如下，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有______名学生；
（2）请以九（1）班的统计数据估计全校2000名学生大约有多少人选择D主题？
（3）甲和乙从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表法或画树状图法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50 （2）估计全校2000名学生大约有600人选择D主题；
（3）P（甲乙选择相同主题）
【解析】
【分析】（1）利用选B的人的占比计算即可；
（2）利用样本中选D的占比估算总体即可；
（3）画出树状图，统计总数和目标数计算概率即可．
【小问1详解】
（1）选择B的有20人，占，
即九（1）班共有50名学生；
【小问2详解】
（人），
估计全校2000名学生大约有600人选择D主题．
【小问3详解】
树状图如下：

由上图可知共有16种等可能的结果，其中他们选择相同主题的结果有4种是：、、 、 ，
P（甲乙选择相同主题）．
【点睛】本题考查数据处理与概率，按照占比等于目标/总数进行计算即可，画树状图计算概率时一定要是等可能的情况，且按照规范进行步骤书写．
21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
【答案】（1）
（2）38元
【解析】
【分析】（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量月均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
【小问2详解】
设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题运用了一题多解的思路．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．

（1）填空：当________s时，四边形为矩形；
（2）若，求t的值；
（3）填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形．
【答案】（1）；
（2）的值为或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由可得当时，四边形是矩形，即可得方程： 解此方程即可求得答案；
（2）根据①四边形为平行四边形，可得方程②四边形为等腰梯形，可求得当，即时， 四边形为等腰梯形，解此方程即可求得答案；
（3）由菱形的性质得出得出解得：得出 作于，则得出 在中，由勾股定理求出，即可得出答案．
此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
∵，
∴， ，
∵，
∴当时， 四边形是矩形，
∴，
解得：，
即当时， 四边形是矩形；
故答案为：；
【小问2详解】
解：若， 分两种情况：
①时， 则四边形是平行四边形， ， 即，
解得：，
②与不平行时， 四边形为等腰梯形，
则即
解得：，
∴的值为或；
【小问3详解】
解：若四边形为菱形， 则
解得：
作于，如图所示：

则
在中，
，
∴当时，点运动过程中，四边形能构成菱形，
故答案为：．
23. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．

（1）操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________．
（2）迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________．
【答案】（1）①是；②∠A=45°（答案不唯一）
（2）四边形是平行四边形，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形．
（2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证．
（3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是．
【小问1详解】
解：①是；
由折叠知，,
∵中,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
②∠A=45°（答案不唯一）
若，则
而四边形是平行四边形
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形．
如图，连接GH．

∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵点E、F分别是、的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由折叠可知，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【小问3详解】
解：如图，，则点落在上，，
由折叠知，．
∴为等边三角形，
∴．
在中，根据勾股定理，．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键．

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）