【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第16讲《勾股定理全章复习与测试》预习讲学案

第16讲 勾股定理全章复习与测试

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

4. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

5. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

6. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

【基础知识】

一．直角三角形的性质

（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

二．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

三．勾股定理的证明

（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．

（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

四．勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

五．勾股数

勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．

说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

六．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

【考点剖析】

一．直角三角形的性质（共1小题）

1．（2022春•滨海县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．

（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；

（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．

二．勾股定理（共1小题）

2．（2022春•尤溪县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．

（1）判断△BCF的形状，并说明理由；

（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．

三．勾股定理的证明（共1小题）

3．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

四．勾股定理的逆定理（共1小题）

4．（2022春•瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的长．

（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判断△ABC是否是直角三角形．

五．勾股数（共1小题）

5．（2022春•恩施市校级月考）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

六．勾股定理的应用（共1小题）

6．（2022春•中山市期中）如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．

七．等腰直角三角形（共1小题）

7．（2021秋•齐河县期末）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：DC⊥BE．

【过关检测】

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．（3分）在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（　　）

A．a＝3，b＝4，c＝6 B．a＝5，b＝6，c＝7 

C．a＝6，b＝8，c＝9 D．a＝7，b＝24，c＝25

2．（3分）下列4组线段中，不能组成直角三角形的是（　　）

A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝2，b＝3，c＝4 

C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝8，b＝15，c＝17

3．（3分）下列各组数是勾股数的是（　　）

A．32，42，52 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．，，

4．（3分）有一个边长为40cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（　　）

A．40cm B．20cm C．40cm D．40cm

5．（3分）在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和4，则斜边的长度是（　　）

A．2 B． C．5 D．或5

6．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（　　）

A．0.3，0.4，0.5 B． 

C．6，8，10 D．1.5，2，2.5

7．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A． B． 

C． D．

8．（3分）如图，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA2021的长为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．（3分）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则∠CBD+∠ABC＝　   　．

10．（3分）如图所示的正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为 　   　．

11．（3分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”

题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长 　   　尺．

12．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 　   　．

13．（3分）如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为

　   　m．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，BC＝1，，则四边形ABCD的面积为 　   　．

15．（3分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．

观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．

（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　   　；

（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　   　和　   　．

16．（3分）如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为　   　．

三．解答题（共8小题，满分52分）

17．（5分）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？

18．（6分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为akm和bkm，且张、李二村庄相距ckm．

水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置．

19．（6分）八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：

①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.6米．

（1）求风筝的高度CE．

（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH．

20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，E是AC上一点，且DE＝DA，若AB＝15，BC＝20，求EC的长．

21．（7分）如图，某气象站测得台风中心在A城正西方向300km的B处，以每小时km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200km的范围是受台风干扰的区域，问A城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出A城受台风干扰的时间．

22．（7分）拖拉机在行驶的过程中的噪音会影响周围环境，某拖拉机位于A学校正南方向125m的B处，正以150m/min的速度沿公路BC方向行驶，如图所示，已知A学校到BC的距离AD＝35m，

（1）求拖拉机从B处行驶到D处经过多长时间？

（2）如果在距拖拉机91m的圆形区域内都将受噪音影响，那么A学校受到拖拉机噪音影响的时间有多长？（精确到0.1）

23．（7分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．

（1）试用a、b有关的代数式表示梯形BCC′D′的面积；

（2）试用a、b、c有关的代数式分别表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面积；

（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2．

24．（8分）如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．

（1）用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．

（2）假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．