广东省中山市华辰实验中学2024--2025学年九年级（课改班）下学期数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份广东省中山市华辰实验中学2024--2025学年九年级（课改班）下学期数学期中考试卷（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的相反数是（ ）．
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数与绝对值，掌握相关定义是解题关键．先根据绝对性的性质化简，再根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：，且的相反数是，
的相反数是，
故选：B．
2. 下列运算中， 一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方运算，根据运算法则逐项判断解题即可.
【详解】A.，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算错误，故此选项不符合题意；
C.，原计算错误，故此选项不符合题意；
D. ，计算正确，故此选项不符合题意；
故选：D.
3. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：依题意，，
故选：B．
4. 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 两点的距离最短D. 以上说法都不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直线的性质公理，根据直线的性质公理，两点可以确定一条直线进行解答，确定出两点是利用公理的关键．
【详解】解：把每一列最前和最后的课桌看作两个点，
∴这样做的道理是：两点确定一条直线．
故选：B
5. 已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数的性质．根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，
A、有，，所以不存在实数m，故不符合题意；
B、有，，所以存在实数m，故符合题意；
C、有，，所以不存在实数m，故不符合题意；
D、有，，所以不存在实数m，故不符合题意；
故选：B．
6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程，先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可．
【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文，
则可列方程为，
故选：A．
7. 施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米? 设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意并找到等量关系列出方程是关键；由题意得原计划每天施工米，根据等量关系：按原计划施工速度所需的天数按实际施工速度所需天数，列出方程即可．
【详解】解：由实际每天施工x米，则原计划每天施工米，
由题意，得：，
故选：D．
8. 小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率，由题意可得出所有等可能的结果以及小明、小刚两人恰好相邻的结果，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将小明、小红、小刚3位同学分别记，，，
3人随机站成一排，所有等可能的结果有：，，，，，，共6种，
其中小明、小刚两人恰好相邻的结果有：，，，，共4种，
小明、小刚两人恰好相邻的概率为．
故选：C．
9. 如图，为直径，为上一点，过点作交于点，交于点，连接，，过点作于点，交于点，若，，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，根据直角三角形的两锐角互余及对顶角相等可得，由圆周角定理可得，继而得到，，由等腰三角形的性质及垂径定理得到，，设，则，，在中，，可得 ，求解即可．掌握圆的基本性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，和都是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，．
∴的半径为．
故选：B．
10. 如图，为矩形的中心，将直角的直角顶点与重合，一条直角边与重合，使三角板沿逆时针方向绕点旋转，两条直角边始终与边、相交，交点分别为、．若，，，，则与之间的函数图象是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点分别作于，于，易证明，利用相似比作为相等关系即可得到关于，的方程，整理即可得到函数关系式从而判断图象．
【详解】解：过点分别作于，于，
即易得四边形是矩形，
则有：，，，
∵为矩形的中心，于，于，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，你认为农谚说的是______ （填写“必然 事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
【答案】随机事件
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件的定义解答即可，熟练掌握定义是解此题的关键．
【详解】解：当年农历八月十五这天，如果天空被云幕遮蔽，看不到中秋圆月，来年正月十五这天就会阴天或下雪，但天气是随机的，所以答案为随机事件，
故答案为：随机事件．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提取公因式和公式法进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式平方差公式．
13. 为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加 志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4在这次调 查中，参加志愿者活动的次数的众数为_____ ，中位数为 ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义求解即可，熟练掌握众数和中位数的定义是解此题的关键．
【详解】解：将所有数据从小到大按顺序排好，为：1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
故众数为，中位数为：，
故答案为：，．
14. 抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得，进而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴Δ=-22−4×k−1×-3>0k−1≠0，
解得且，
故答案为：且．
15. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形 ． 连结并延长，交于点 ，点为的中点．若， 则的长为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，由正方形的性质以及全等三角形的性质可得，，，，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，，，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
设，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
16. 如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】如图2，延长，则过点，由三角形中位线定理可得的长度，如图3，过点作于，可得，在中，，知，故，可得，，由，得，即可得压杆到底座的距离为．
【详解】解：如图2，延长，则过点，
四边形是矩形，
，即，
是中点，
是的中位线，
，
如图3，过点作于，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，即，
，
解得，
，
，，
，
，即，
解得，
压杆到底座的距离为，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，二次根式的除法计算，先把小括号内的两个分式的分子和分母都分解因式，再约分后计算分式减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后计算出x的值并代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
18. 如图，内接于圆，是圆的直径，是圆的切线，是圆上的一点，的延长线于点，与交于点，若圆的半径为，时，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质，根据正弦的定义求出，根据切线的性质得到，得到，根据正弦的定义求出，再根据勾股定理求出．
【详解】解：∵是的直径，的半径为，
∴，，
∵，
∴，
∵是圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
19. 阅读材料，完成下面问题：
点是直线外一点，为上一点，连接
（1）利用直尺和圆规按如下步骤做图，
1．作的角平分线；
2．然后在角平分线上找一点，使得；
（2）若，，求线段长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据角平分线的作法作出射线，再以为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于，射线，点即为所求；
（2）过点作于，由角平分线的定义可得，由（1）可得，，由等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得解．
【小问1详解】
解：如图，射线，点即为所求，
，
由作图可得：平分，，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于，
∵平分，，
∴，
由（1）可得，，
∵
∴
在中，，，
，
∴，
∴．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20. 如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．
（1）求，的值：
（2）若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入即可求得，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标．
【小问1详解】
如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B分别代入和，
解得，，；
【小问2详解】
由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称，
∵，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
21. 某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．
【尝试解决问题】
任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2．折成无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
【答案】任务1 ，剪掉的正方形的边长为；任务2，当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的定义，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据各数量之间的关系得出关于函数关系式，是解此题的关键．
任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，根据“折一个底面积为无盖纸盒”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
任务2：设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，根据题意得出关于函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
剪掉的正方形的边长为；
任务2：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，
设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，
由题意得：，即，
，
当时，取得最大值，最大值为，
当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
22. 如图1是一个立方体纸盒的示意图，图、图分别是该立方体纸盒两种不同的表面展开图．
（1）如图，连结，，猜想，的位置关系并说明理由；
（2）如图，连结，交于点，求的值．
【答案】（1），理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）．延长，相交于点，证明得到，即可得到，进而得到，即可求证；
（）设正方形边长为，证明得到，即可得，同理可得，进而得，又由即可求出的值；
本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，垂直的判定，相似三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：，理由如下：
延长，相交于点，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：如图，
设正方形边长为，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 设二次函数（，是常数），二次函数值和自变量的部分对应取值如下表示：
（1）若时，求二次函数的表达式；并直接写出的取值范围，使随的增大而减小；
（2）当时，有最小值为，求的值；
（3）若，，三个实数中，只有一个正数，求的取值范围．
【答案】（1），当时，随的增大而减小
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式，再由二次函数的性质即可得解；
（2）由表格可知抛物线对称轴，推出，从而可得，再分两种情况①时，开口向上；②时，开口向下；分别求解即可；
（3）由题意得出，从而可得表达式化为，求出，结合，，三个实数中，只有一个是正数，得出即，，从而可得，求解即可．
【小问1详解】
解：根据条件可得：，
解得，
所以二次函数表达式为，
∵，开口向下，对称轴，
∴当时，随的增大而减小；
【小问2详解】
解：由表可知，抛物线经过，两点，
∴当或时，
∴可知抛物线对称轴，
∴，
∴，
当时，的最小值为，
①时，开口向上，
当时，取得最小值，，
解得；
②时，开口向下，
当或时，最小值为，
代入，，
解得
综上，或；
【小问3详解】
解：根据表格，将代入，
∴，
∴，
表达式化为：，
将代入，得到，
将代入，得到
将代入，得到，
那么，
∵，，三个实数中，只有一个是正数，
即，，
，解得，
综上，的取值范围是．
24. 数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：
如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．
【知识初探】
（1）如图1，小明提出的问题是可以得到的结论，并得到老师的肯定．请你帮他说明理由；
【类比再探】
（2）如图2，小颖在小明的基础上继续探究，连接交于点，连接，可以得到的结论，也得到老师的肯定．请你帮她说明理由；
【特例探究】
（3）如图3，小华在小明和小颖的基础上继续探究，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，请你帮她求出的最小值．
【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3）
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证；
（2）证明垂直平分，再，即可得证；
（3）如图所示，延长，交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
将绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
；
（2）证明：
是等边三角形，
，
，
，
垂直平分，
，
又，
，，
，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
，
，，
，
，
（3）解：依题意，如图所示，延长，交于点，
由（2）可知是等边三角形，
，
将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
，，
，
是等边三角形，
，
由（2）可得，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由（2）可知是的中点，则，
，
，
折叠，
，
，
又，
，
当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
素材1
利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒

素材2
如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．

…
…