广东省深圳实验学校初中部上学期九年级12月月考考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省深圳实验学校初中部上学期九年级12月月考考试数学试卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从上面看到的是俯视图，可得答案．
【详解】从上面看到的是，
故选：B；
2. 10月下旬“神舟十九号”载人飞船开启飞天之旅，在远地点高度达的轨道上驻留，而“太空出差”已近半年的神舟十八号乘组则将开启返程之旅．数字用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：D．
3. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到．
【详解】解：，
，
，
．
故选：A．
4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，求解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且 ．
故选：D．
5. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可．
【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，
由题意得，，
故选A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A. B. 3C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，
进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．
7. 为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表．图2是深度表的工作原理简化电路图，其中的阻值会随下潜深度的变化而变化．其变化关系图象如图3所示．深度表由电压表改装．已知电压表示数与电阻的关系式是．则下列说法不正确的是（ ）
A. 随着潜水深度的增大，的阻值不断减小
B. 随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小
C. 当下潜的深度为时，的阻值为
D. 当下潜的深度为时，电压表的示数为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，解题关键是准确识别图象，正确进行计算．根据图象所给信息，逐项判断即可．
【详解】解：由图象可知，随着潜水深度的增大，的阻值不断减小，A正确，不符合题意；
由于随着潜水深度的增大，的阻值不断减小，所以逐渐减小，不断增大，B不正确，符合题意；
由图象可知，当下潜的深度为时，的阻值为，C正确，不符合题意；
当下潜的深度为时，，，D 正确，不符合题意；
故选：B．
8. 如图，点E是正方形的边上的一个动点，，延长至点F，使，连接与相交于点G，连接的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识．连接，并延长交于Q，证明，则，得到，求出，由勾股定理求出，当时，有最小值，证明，则，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，并延长交于Q，
∵四边形是正方形，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
点G在上运动，
当时，有最小值，
此时，，
，
，
，
，
．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
9. 如果（都不等于零），那么_____．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
10. 方程的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．将方程移项，提公因式，将方程化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】解：
x=0或
解得：，
故答案为：．
11. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．己知四瓶溶液分别是盐酸（呈酸性），硝酸钾溶液（呈中性），氢氧化钠溶液（呈碱性），氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，两瓶溶液恰好都变红色的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表可得共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，进而根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，
两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
故答案为：．
12. 如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的面积是__________．
【答案】42
【解析】
【分析】连接，过点B作于点M，过点B作于点E，用等面积法求出，再用勾股定理求出和的长度，证明，，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点B作于点M，过点B作于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
在中，，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∵沿翻折，得到，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：42．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用等面积法求出三角形的高，正确画出辅助线，构造全等三角形．
13. 已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，为的差倒数，若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究、解一元一次方程，根据题意，观察出、、2三个数为一个循环，进而分类讨论列方程求解即可．观察出数字变化规律是解答的关键．
【详解】解：由题意，，，，，……，
依次类推，发现、、2三个数为一个循环，又，
∴当时，，则，不是整数，故舍去；
当时，，则，不是整数，舍去；
当时，，则，是正整数，满足题意，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共61分）
14. 先化简代数式，再从四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值．先计算括号的减法，再计算除法，得到化简结果，根据分式有意义的条件选择合适的值代入求值即可．
【详解】解：
∵当时分式无意义，
∴，
当时，
原式
15. 为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，4月初，实验学校开展了诗词知识竞赛活动，以一种新的方式与诗词对话，与古人为友．答题结束后，从八、九年级中各随机抽取了20名学生．统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
5，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10．
八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，_______，_______；
（2）估计该校八年级1500名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，你认为哪个年级学生诗词知识竞赛的成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）7.5，8，8；
（2）750人； （3）九年级学生诗词知识竞赛成绩更优异，见解析．
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数，利用样本估计总体等：
（1）根据中位数、众数的定义求解；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）从平均数、中位数或优秀率等方面进行比较即可．
【小问1详解】
解：八年级抽取的20名学生中，将成绩按从小到大的顺序排列，第10位学生的成绩是7分，第11位学生的成绩是8分，
∴八年级抽取学生的成绩的中位数是，
九年级抽取的20名学生中，成绩为5分的人数为：（人），
九年级抽取的20名学生中，成绩为6分的人数为：（人），
九年级抽取的20名学生中，成绩为7分的人数为：（人），
九年级抽取的20名学生中，成绩为8分的人数为：（人），
九年级抽取的20名学生中，成绩为9分的人数为：（人），
九年级抽取20名学生中，成绩为10分的人数为：（人），
∴九年级抽取的20名学生中，将成绩按从小到大的顺序排列可知，第10位学生和第11位学生的成绩都是8分，
∴九年级抽取学生的成绩的中位数是，
由上述计算可知，8分的学生最多，有5人，因此九年级学生成绩的众数，
故答案为：7.5，8，8；
【小问2详解】
解：（人），
答：该校八年级1500名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数是750人；
【小问3详解】
解：从平均数来看，九年级的平均数等于八年级的平均数；
从中位数来看，九年级的中位数高于八年级的中位数，
所以九年级学生诗词知识的竞赛成绩更优异；
（答案不唯一，也可从众数、优秀率的角度来分析）
16. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，连接，延长至点，连接．
（1）请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是________________，并进行证明；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）（答案不唯一），证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）添加的条件为．证明四边形是平行四边形，再由即可求证；
（）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得，利用勾股定理求出，得到，再利用菱形的面积即可求出的长；
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：添加的条件为．
证明：∵四边形是菱形，
，，
，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
，，，，
，
∴，
∵为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
17. 2024年，中国国产游戏大作（黑神话：悟空）一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力，作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔．也是中国现存最早、保存最完整的单层亭客式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动．并写出如下报告：
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出；
（2）延长交的延长线于点F，设，用x表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
在中，，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为；
【小问2详解】
解：如图②，延长交的延长线于点F，
则四边形为矩形，
∴，
设，则，
中，，
则，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
18. 九年级某班成立了数学学习兴趣外组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
（1）绘制函数图象；
①列表：如表是的几组对应值，其中_______，_______；
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
（2）下列关于该函数的说法，错误的是_______．
A．函数图象是轴对称图形
B．该函数有最大值
C．函数值y都是非负数
D．若函数图象经过点与，则
（3）当时，请结合函数图象写出，y的取值范围是_______．
（4）若点均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是_______．
【答案】（1），，图象见解析
（2）B （3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）①把和代入函数解析式即可求出的值；②首先根据的值描点即可；③根据表中的对应值及所描点连线即可；
（2）根据函数图象逐项判断即可；
（3）根据函数图象可得出当时，最大值与最小值，即可得到的取值范围；
（4）根据图象可知，当时，函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，据此即可求解．
【小问1详解】
①当时，，
∴，
当时，，
∴，
②描点如图，
③连线如图，
【小问2详解】
由函数图象可知，
函数图象是轴对称图形，该选项说法正确，不合题意；
由函数图象可知，该函数有最小值为0，没有最大值，该选项说法错误，符合题意；
由函数图象可知，取任意实数，函数值，该选项说法正确，不合题意；
∵函数图象关于轴对称，
∴若函数图象经过与， 则，该选项说法正确，不合题意；
故选：B．
【小问3详解】
由函数图象可知，
当时，时，对应的值最小，
当时，对应的值最大，
且当时，，
当时，，
y的取值范围是．
【小问4详解】
点均在该函数图象上，
由函数图象可知，当时，
函数图象上的点离对称轴轴的水平距离越近，函数值越大，
∵，
∴点离对称轴轴的水平距离比点近，
∴．
19. 我们定义：在内有一点P，连结．在所得的中，有且只有两个三角形相似，则称点P为的相似心．

（1）如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为的顶点在格点上，若点P为的相似心，则_______∽_______（填两相似三角形）．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结，设的外角平分线交于点M，延长分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结．
①的度数是_______．
②求证：点O为的相似心．
（3）如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数的图象上，，若点G的坐标是，求k的值．
【答案】（1）；
（2）①；②见解析；
（3）．
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、坐标与图形．
（1）由即可证明，即可得到答案；
（2）①求出，则；②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，证明即可；
（3）由相似三角形的性质得到，得到，由（2）得：，设长度都为m，求出，即可求出．
【小问1详解】
解：由网格图知，，，，
∴，，
∴
，
．
故答案为：；
【小问2详解】
①解：根据题意得：，
，
的外角平分线交于点M，
，
，
故答案为：；
②证明：作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，

的外角平分线交于点M，
，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
点O为的相似心；
【小问3详解】
解：由（2）得：，

，
点，
，
，
由；（2）得：，设长度都m，
则，
，
．
20. 在平行四边形中，的面积为48．
（1）如图1，求边上的高的长；
（2）P是边上的一个动点，点C，D同时绕按照逆时针方向旋转得到．
i）如图2，当落在射线上时，求的长；
ii）当是直角三角形时，求的长．
【答案】（1）8 （2）i）；ii）6或
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可解决问题；
（2）i）过点C作于点H，过点作交延长线于点Q，证明，得，设，则， ，，证明，由对应边成比例求出x的值，即可得BP的长；
ii）分三种情况讨论： 当以为直角顶点时，根据勾股定理求解即可；当以A为直角顶点时，先证明，再证明，设，根据列方程，解方程求出t的值即可；当以D为直角顶点时，不符合题意．
【小问1详解】
解：如图1，连接，
的面积，
，
，
边上的高的长为8；
【小问2详解】
i）解：如图2，当落在射线上时，过点C作于点H，过点作交延长线于点Q，则，

点绕P按照逆时针方向旋转得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
的长为；
ii）解：如图，延长交， 分别于E，F，

由旋转可知，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当以为直角顶点时，是直角三角形，如图，
，
落在线段的延长线上，
，
，
由（1）知，，
，
；
当以A为直角顶点时，是直角三角形，如图，
设与射线交于点，过点C作于点H，则，
由旋转可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由知，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
当以为直角顶点时，点P落在的延长线上，不符合题意，
综上所述：的长为6或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识，正确的作出辅助线，熟练运用分类讨论思想．
年级
八年级
九年级
平均数
7.8
7.8
中位数
a
b
众数
7
c
优秀率
课题
测量四门塔的高度
测量工具
测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程
如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为
说明
点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据：
x
…
4
0
1
2
3
4
…
y
…
9
0
m
3
n
0
9
…