广东实验中学2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份广东实验中学2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列新能汽车车标中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学的生日是同一天D．从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球
3．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解方程时，此方程可变形为（ ）
A．B．
C．D．
5．点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2024
6．如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为（ ）
A．6B．36C．12D．144
9．流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣5B．a≥5C．a＝3D．a≥3
二、填空题
11．一个布袋里放有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ．
12．的直径为10，弦的长为8，若为的中点，则 ．
13．如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是 ．
14．如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为 ．
15．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：
①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题
17．解方程：．
18．已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．
（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'
（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．
20．已知关于的方程.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．
21．从一副普通的扑克牌中取出三张牌，它们的牌面数字分别为2，3，6．将这三张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下数字．然后将抽取的牌背面朝上放回，洗匀，再从中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面教字恰好相同的概率．
22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
23．某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？
24．如图，为的外接圆，，点D是上的动点，且点分别位于的两侧．
（1）求的半径；
（2）当时，求的度数；
（3）设的中点为M，在点D的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为直线下方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点P的坐标；
(3)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点M，当最大时，求点P的横坐标及的最大值．
参考答案：
1．D
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．D
A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、班里的两名同学的生日是同一天是随机事件，不符合题意；
D、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，符合题意；
故选D．
3．A
解： 为二次函数的顶点式，
二次函数图象的顶点坐标为．
故选：A．
4．B
解：，
，
，
．
故选：B．
5．B
解：点与点关于原点对称，
，，
．
故选：B．
6．C
解：如图，连接，
是的直径，
，
又，
．
故选：C．
7．D
解：∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：．
故选：D
8．C
∵，弧长是，面积为，
∴，
解得，
故选C．
9．A解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病，
∴，
故选：A．
10．B
解：第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值，
x＝，即a≥7，
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x＝3的地方取得最大值，即： x＝，即a≥5（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）
综合上所述a≥5．
故选B．
11．
解：摸到白球的概率，
故答案为：．
12．3
解：连接，
∵为的中点，
∴，，
∵的直径为10，
∴，
根据勾股定理可得：，
故答案为：3．
13．1
解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1，
故答案为：1．
14．6
解：是的切线，切点分别为A，B，
，
又切于点E，
，，
的周长为12，
，
，
．
故答案为：6．
15．
解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
故答案为：．
16．②③④
∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，
∴∠CMH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CMH=∠CDH=90°，
∵CM=CD，CH=CH，
∴△CMH≌△CDH，
∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，
同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，
∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，
故①错误；
∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，
∴2∠HCM+2∠GCM=90°，
∴∠HCM+∠GCM=45°，
即∠GCH＝45°，
故②正确；
∵△CMH≌△CDH，BD是正方形的对角线，
∴∠GHF=∠DHF，∠GCH=∠HDF=45°，
∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC
=∠DHF +∠HDF+∠HFD
=180°，
根据对角互补的四边形内接于圆，
∴H，F，E，G四点在同一个圆上，
故③正确；
∵正方形ABCD的边长为1，
∴
=1
=，∠GAH=90°，AC=
取GH的中点P，连接PA，
∴GH=2PA，
∴=，
∴当PA取最小值时，有最大值，
连接PC，AC，
则PA+PC≥AC，
∴PA≥AC- PC，
∴当PC最大时，PA最小，
∵直径是圆中最大的弦，
∴PC=1时，PA最小，
∴当A，P，C三点共线时，且PC最大时，PA最小，
∴PA=-1，
∴最大值为：1-（-1）=2-，
∴四边形CGAH面积的最大值为2，
∴④正确；
故答案为: ②③④．
17．，．
解：，
，，，
，
，
，．
18．
解：代入到，得，
解得：，
二次函数的表达式为．
19．（1）见解析；（2）
（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形．
（2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长；
所以
20．（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3，
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
21．
解：树状图如图所示：
共有9种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有3种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为：．
22．（1）见解析；（2）
（1）证明：
∵OD=OB，
∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
而∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴，
∴S阴影=S△COD-S扇形DOE，
．
故答案为：．
23．(1)；
(2)当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元．
（1）解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），
∴，
．
（2）解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元），
则：
即，
∵
∴开口向下，在时，有最大值，且为，
答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元．
24．（1）4；（2）15°；（3）存在，
解：（1）如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝43，
∴AB8，
∴⊙O的半径为4．
（2）如图1中，连接OC，OD．
∵CD＝42，OC＝OD＝4，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
（3）如图2中，连接OM，OC．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，
连接CJ，JM．
∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ23，
∵CM≤CJ+JM＝22，
∴CM的最大值为22．
25．(1)抛物线为：；
(2)
(3)此时的横坐标为：3， 有最大值．
（1）解：∵抛物线过、，．
，解得：，
∴抛物线为：；
（2）如图，连接，，，
设，而，，
∴，，，
∴
，其中，
当时，最大，
此时P的纵坐标为：，
∴．
（3）如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，
∴，
∴，
∴ ，
设直线的解析式为，
∴， 解得 ，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时， 有最大值，
此时的横坐标为：3．