广东省惠州市惠城区光正实验学校2024—2025学年上学期九年级数学期中考试试题（解析版）-A4

这是一份广东省惠州市惠城区光正实验学校2024—2025学年上学期九年级数学期中考试试题（解析版）-A4，共13页。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、班级。用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. k＜1且k≠0C. k≥﹣1且k≠0D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
3. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（ ）
A. （x﹣1）2=4B. （x+1）2=4C. （x﹣1）2=16D. （x+1）2=16
【答案】A
【解析】
【详解】移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4.
4. 如图 4×4 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ）

A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B
为旋转中心．
故选B
【点睛】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．
5. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【详解】解：设方程的另一根为，则，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．解题的关键是掌握若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
6. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可得，再结合二次函数的图象与轴的一个交点为，可得，进而得到，即可得出结论．
【详解】解：设一元二次方程的两实数根为、，
由根与系数的关系得：，
又二次函数的图象与轴的一个交点为，
，
，
，．
故选：B．
7. 若，，在抛物线上上，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由抛物线，可得抛物线开口向下，对称轴为，再根据抛物线上点的特征与对称轴的位置关系即可解答．
【详解】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴为，
抛物线上的点的横坐标离对称轴越远，它的纵坐标的值越小，
，，，
，
．
故选：B．
8. 如图，是直径，点在上，，垂足为，已知，，则的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，在中利用勾股定理求出的长，再结合是的直径即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，，
，
是的直径，
．
故选：D．
9. 九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1190张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为( )
A. x(x﹣1)＝1190B. x(x+1)＝1190
C. x(x+1)＝1190D. x(x﹣1)＝1190
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：根据题意得：每人要赠送张卡片,有个人,则
全班共送
故选D.
10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是________（化成二次函数的一般形式）
【答案】
【解析】
【分析】根据向右平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线，
∵向上平移3个单位，再向右平移4个单位，
∴平移后的抛物线．
∴所得到抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12. 如图，与交于、两点，则的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用函数图象交点解不等式是解题的关键．由图象判断出两个交点、横坐标分别是0和5，结合图象即可求出不等式的解集．
【详解】解：由图象可得，点的横坐标为0，点的横坐标为5，
结合图象可得，的解集为．
故答案为：．
13. 如图，把边长为4的正方形绕顶点逆时针旋转到正方形，则它们的公共部分的面积等于________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、一元二次方程，作辅助线构造出全等三角形并求出三角形的锐角是解题的关键．设与的交点为，连接，利用正方形和旋转的性质证出，得到，利用直角三角形的性质得到，设，在中利用勾股定理建立方程求出的值，再利用面积公式求出的面积，即可得出答案．
【详解】解：如图，设与的交点为，连接，
边长为4的正方形绕顶点逆时针旋转到正方形，
，，，
，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：或（负值舍去），
，
公共部分的面积．
故答案为：．
14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：米）与滑行的时间（单位：秒）之间的函数关系式是，那么飞机着陆后滑行________秒停下．
【答案】25
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．对函数关系式配方得到，再求出有最大值时对应的值即可解答．
【详解】解：，
当时，有最大值，即飞机着陆后滑行的距离最大，
当时，飞机着陆后才能停下．
故答案为：25．
15. 已知a，b是方程的两个根，则代数式的值为________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，正确变形是解题的关键；由a，b是方程的两个根，易得，再代入代数式中进行变形即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
即，
∴
．
故答案为：24．
16. 如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为_______．
【答案】
【解析】
【详解】连结AO.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB=.
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
17. 解下列关于的一元二次方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，．
【小问2详解】
解：，
，，，
，
，
，．
18. 已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程，即可得出答案；
（2）根据方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行计算即可得出结果．
【详解】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：把x=﹣1代入方程得，(a+b)－2c+(b－a)=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形，理由：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2c）2－4（a+b）(b－a)，
∴a2+ c2= b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关概念，熟知一元二次方程根的判别式对应的根的情况是解本题的关键．
19. 如图，将绕直角顶点逆时针旋转，得到，连接．
（1）若，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得，再利用勾股定理求解即可得；
（2）先根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【小问1详解】
解：由旋转的性质得：，
．
【小问2详解】
解：由旋转的性质得：，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次根式的化简，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20. 点A，B，C都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的基本性质，解题的关键是利用所判定的垂直，结合垂径定理得到．连接，，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是掌握垂径定理和勾股定理．
【详解】解：如图，连接，，

∴，
∵，
∴垂直平分，即，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
21. 已知关于x的方程
（1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式、等腰三角形的性质、三角形三边的关系等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）先把方程化为一般式：，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明；
（2）先利用因式分解法求出两根：．再分为底边和为腰两种情况，分别确定b，c的值，最后求出三角形的周长即可．
【小问1详解】
证明：方程化为一般形式为：，
∵，
∴，
∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：，
整理得，
∴，
当为等腰的底边，则有，
∵b、c恰是这个方程的两根，
∴，解得，
∴三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵，
∴不满足三角形三边的关系，应舍去；
当为等腰的腰，
∵b、c恰是这个方程的两根，
∴只能，
∴三角形三边长分别为：2，4，4，
∴三角形的周长为．
所以周长为10．
22. 要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水管的长度；
（3）当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？
【答案】（1）
（2）米
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是：
（1）根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式；
（2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题；
（3）将代入（1）中函数解析式，求出相应的的值，再根据，即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：设，
点在此抛物线上，
，得，
即抛物线的解析式为；
【小问2详解】
当时，，
答：水管的长度是；
【小问3详解】
当时，
，
解得，，（舍去），
当，才不会淋湿衣裳．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23. 大学毕业生小王相应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月多卖20件．为获得更大的利润，现将饰品售价调整为60﹣x（元/件）（x＞0即售价下降，x＜0即售价上涨），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
（3）为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？
【答案】（1）y＝300+10x;y＝300+20x；（2）x＝2.5时，w取得最大值，最大值6125；（3）将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．
【解析】
【分析】（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；
（2）利用每件利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出即可；
（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．
【详解】解：（1）当﹣30≤x≤0时，y＝300﹣10（﹣x）＝300+10x;当0＜x≤20时，y＝300+20x；
（2）当﹣30≤x≤0时，w＝（60﹣x﹣40）（300+10x）
＝﹣10（x+5）2+6250，
当x＞﹣5时，w随x的增大而减小，
∴当x＝﹣5时，w取得最大值，最大值为6250；
当0＜x≤20时，w＝（60﹣x﹣40）（300+20x）
＝﹣20（x﹣2.5）2+6125，
∵0＜x≤20，﹣20＜0，
∴x＝2.5时，w取得最大值，最大值为6125；
综上，当x＝﹣5时，月利润最大，最大利润为6250元；
（3）令w＝6000，即﹣10（x+5）2+6250＝6000，﹣20（x﹣2.5）2+6125＝6000，
解得x1＝0，x2＝﹣10，x3＝5，
由w≥6000得﹣10≤x≤5，
故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用函数图象得出x的取值范围是解题关键．
24. 抛物线G：与轴交于A、B两点，与交于C（0，-1），且AB =4OC．
（1）直接写出抛物线G的解析式： ；
（2）如图1，点D（-1，m）在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在轴左侧的抛物线G上，若S△CMN=2，求点M的坐标．

【答案】（1）；（2）点P；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A、B坐标，代入函数解析式即可求解；
（2）首先求得直线OD解析式，然后设P（），得到PQ关于t的解析式，然后求出顶点式即可求解；
（3）设点，然后求得直线CM的解析式，得到EM的表达式，然后根据即可求解．
【详解】（1）∵AB =4OC，且C（0，-1）
∴AB=4
∴OA=OB=2，即A点坐标，B点坐标
代入A点坐标得
解得
∴G的解析式为
故答案为

（2）当时，,即：点D为（）
∴直线OD为：
设P（），则Q为（），则：
∴当时，PQ取得最大值，此时点P位
（3）设点，则N
∵C点坐标为
∴可设直线CM为，带入M点坐标得：
∴直线CM为
过点N作轴交CM于点E，则E点为

∴
∵
∴
∴
解得：，（舍去）
∴M