广东省珠海市第九中学2024-2025 学年下学期九年级中考一模数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省珠海市第九中学2024-2025 学年下学期九年级中考一模数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数定义，根据题意利用相反数定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵的相反数是2024，
故选：B．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，字母及其指数不变，系数相加减，进行计算即可．
【详解】解：；
故选A．
3. 下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 圆D. 正方形
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；
D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，正确理解轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
4. 如图，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5. 某班10名学生的身高（单位：cm）为：160，165，170，172，175，175，175，180，182，185．描述这组数据的统计量中，能反映大多数学生身高的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平均数，方差，众数和中位数，根据平均数，中位数和众数反映数据的集中程度，方差反映数据的离散程度，平均数受极端值影响，中位数表示一组数据中等水平，众数表示一组数据的多数水平，据此进行判断即可．
【详解】解：由题意，能反映大多数学生身高的是众数；
故选C．
6. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，从中随机摸出一个球，是红球的概率是：；
故选A．
7. 如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一个物体三视图（主视图，左视图，俯视图）的基本概念，由三视图得到圆锥体的高以及底面圆的半径是解本题的关键．首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的半径为，由勾股定理求得圆锥的母线长，最后由求解．
【详解】提示：该物体为圆锥，底面周长为，
母线长为，
侧面展开图的面积为．
故选：B
8. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得的度数．
【详解】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
9. 如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交AB于C，交AB于D，，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠OAB＝∠OBA＝45°，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC•BD＝24列出即可求出k的值．
【详解】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：
令x＝0代入y＝x−b，
∴y＝−b，
∴B（0，−b），
∴OB＝b，
令y＝0代入y＝x−b，
∴x＝b，
∴（b，0），
∴OA＝OB＝b，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
设M（x，y），
∴CF＝−y，ED＝x，
∴，，
∴，，
∵AC•BD＝8，
，
∴xy＝−4，
∵M在反比例函数图象上，
∴k＝xy＝−4，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是表示出BD、AC，本题属于中等题型．
10. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函数与反比例函数图象找出、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限，
∴，
对于二次函数，
∴对称轴为，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B；
∵反比例函数的图象在第二象限内，
∴，则，
∴二次函数的图象与轴交点在轴下方，
满足上述条件的函数图象只有选项D．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 数用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式（n为整数）表示即可
【详解】∵，
∴数用科学记数法表示为：，
故答案为：
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解决问题的关键
12. 分解因式：___
【答案】
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，系数化1进行求解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
详解】解：
，
∴；
故答案为：．
14. “不倒翁”玩具的主视图如图所示，分别与不倒翁底部所在的相切于点A，B，若的半径为，，则劣弧的长为__________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由三视图，切线的性质，弧长公式，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．连接，由切线的性质得，求出，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接．
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
劣弧的长为：
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，为边上一动点，连接，过点作于点，与对角线交于点．若，则的长是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，根据，得到，证明，得到，，在证明，求出，再证明，即可得到答案；
【详解】解：过E作，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了化简绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算零指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式．
当时，原式．
18. 图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.6米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．某一时刻测得米．请求出此时遮阳伞影子中的长度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查真实情景下的三角函数的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键．
先过点E作于点I，过点G作于点J，再求出，从而得出．可证，最后利用三角函数即可得出的长度．
【详解】解：如图，过点E作于点I，过点G作于点J．
，
，
，

,
，
，，
，
，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，（米）．
答：此时遮阳伞影子中的长度是米．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：

信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）__________；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）90户 （4）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可；
（3）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵随机抽取了30户居民，
故中位数是数据从小到大排列第15个和第16个的平均数；
根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，用水量在的有10户，用水量在的有4户，用水量在的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，
∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
∴乙小区3月份用水量的中位数是；
故答案为：．
【小问2详解】
解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
∵，
故．
【小问3详解】
解：甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
40+50=90（户）
即两个小区3月份用水量不低于的总户数有90户．
【小问4详解】
解：画树状图如图：

共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】（1）种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元．
（2）甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；
（1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．
【小问1详解】
解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，
∴，
解得：，
∴，
答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元．
【小问2详解】
设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意，
答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
21. 如图，在中，点为上一点，以点为圆心，的长为半径的与相切于点，与相交于点．
（1）尺规作图：过点作于点，交的延长线于点．
（2）证明：．
（3）若，，求的长．
【答案】（1）图见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识点．
（1）按照作垂线步骤即可作图；
（2）连接，由圆的切线的性质先证明，由平行线分线段成比例得连接，则，即，那么垂直平分，再由线段垂直平分线性质即可证明；
（3）由勾股定理得，则，由，求出，再由线段和差即可求解．
【小问1详解】
解：作图如图所示；
小问2详解】
证明：如图，连接，
与相切于点，
．
，
，
∴，
，
．
连接，
是的直径，
，
即，
垂直平分，
；
【小问3详解】
解：，
．
，
，
，
，
，
，即，
，
又，
．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 在综合实践活动课上，同学们以“折叠正方形纸片”为主题开展数学探究活动．
【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕，如图②；
操作三：在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕，如图③．
把正方形纸片展平，得图④，折痕，与的交点分别为，．
（1）根据以上操作，得_________．
（2）若正方形边长为，，试求的长．
（3）经过多次折叠和测量，小浩发现线段与的比值不变，但他无法证明，请聪明的你帮小浩写出证明过程，并求出其比值．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，结合角的和差关系，求解即可；
（2）连接，正方形的性质，推出，得到点四点共圆，进而得到，得到为等腰直角三角形，求出的长，再利用勾股定理求出的长；
（3）连接，8字形推出，折叠得到，进而求出，证明，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵折叠，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：45；
【小问2详解】
连接，
∵正方形，
∴，，，
由（1）知：，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，；
【小问3详解】
证明：连接，由（2）可知：为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形与折叠，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
23. 已知抛物线为常数且与轴交于点．
（1）点的坐标为 ；对称轴为 （用含的代数式表示）；
（2）无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），则点的坐标为 ；
（3）若，且自变量满足时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；
（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象（包含点A、B，若将在直线下方的部分保持不变，上方的部分沿直线进行翻折，可以得到新的函数图象，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）
（4）图象上仅存在两个点到直线的距离为2，的值为或
【解析】
【分析】（1）令，求得对应的值即可求得点的坐标；利用二次函数的性质即可求得抛物线的对称轴；
（2）利用的系数为0，求得对应的值，将值代入解析式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法，用待定系数法解答即可；
（4）利用分类讨论的方法分①当时和②当时两种情况讨论解答，结合图象，利用轴对称的性质和待定系数法解答即可．
【小问1详解】
令，则，
；
抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；；
【小问2详解】
抛物线，
又无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），
，
，
当时，，
，
故答案为：；
【小问3详解】
，
抛物线开口方向向下．
由（1）知：抛物线的对称轴为直线，
①若，则，与矛盾，不合题意；
②若，则，
此时，抛物线的顶点为图象最高点，
即当时，函数的值为2，
，
解得：或（不合题意，舍去）．
；
③若，则，
此时，点是满足时，图象的最高点，
，
此种情况不存在，
综上，满足条件的抛物线的表达式为；
【小问4详解】
，
将点沿直线进行翻折后得到的对称点的坐标为，
点到直线的距离为1．
①当时，
图象上仅存在两个点到直线的距离为2，
此时，抛物线的顶点的纵坐标为，
，
解得：，
或；
②当时，
点到直线的距离为1，
图象上仅存在一个点到直线的距离为2，
综上，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，的值为或．
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m）
频数（户）
4
9
10
5
2
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a