2023年广东省珠海九中中考数学一模试卷（含答案解析）

2023年广东省珠海九中中考数学一模试卷

1.  下列实数为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中与相等(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列命题中是假命题的是(    )

A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5.  如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为时，的大小为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是(    )
①；
②；
③；
④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．

A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④

9.  因式分解__________.

10.  写出一个比大且比小的整数是______.

11.  根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间的函数关系是，当飞行时间t为__________ s时，小球达到最高点．

12.  用半径为30cm，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为______.

13.  如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将沿BE翻折得到，连接GF，当GF最小时，AE的长是______.

14.  解不等式组：

15.  化简：，并在，0，2中选择一个合适的a值代入求值.

16.  如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，求证：
 

17.  2022年10月31日15时37分，中国空间站梦天实验舱在长征五号B运载火箭的托举下顺利升空.某校为了解学生对航天知识的掌握情况，开展了“航天知识我来答”竞赛活动.现从七年级和八年级参与竞赛的同学中各随机选出20名学生的成绩进行分析，并给制了如下不完整的统计图：数据分为4组：A组：，B组：，C组：，D组：，x表示成绩，成绩为整数，其中七年级成绩处于C组的有12人.
七年级C组成绩分别为：89，88，87，86，85，85，85，85，85，84，82，82；

七年级、八年级成绩的平均数、中位数、众数单位：分如下表所示：

直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？说明理由一条理由即可；
已知七、八年级各有800名学生参加竞赛，请估计两个年级成绩处于C组的学生共有多少人？

18.  某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
该商家购进的第一批衬衫是多少件？
若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于不考虑其他因素，那么每件衬衫的标价至少是多少元？

19.  如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、若，
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积．
 

20.  如图，在的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画，与边AB相切于点D，，连接OA交于点E，连接CE，并延长交线段AB于点
求证：AC是的切线；
若，，求的半径；
若F是AB的中点，求证：

21.  已知抛物线过点，交x轴于A，B两点点A在点B左侧，交y轴于点C，且对于任意实数m，恒有成立.
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
若，，三点都在抛物线上且总有，请直接写出n的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

2.【答案】C 

【解析】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：
根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】B 

【解析】解：A、，互余，不符合题意；
B、根据同角的余角相等，，且与均为锐角，符合题意；
C、，互余，不符合题意；
D、，互补，不符合题意．
故选：
根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各选项分析判断即可得解．
本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
 

4.【答案】B 

【解析】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故A是真命题，不符合题意；
如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故B是假命题，符合题意；
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，故C是真命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D是真命题，不符合题意；
故选：
由三角形中位线定理，邻补角定义，切线长定理，直角三角形性质逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

5.【答案】D 

【解析】解：

，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
，
，

故选：
根据题意可知，，，等量代换求出，再根据平行线的性质求出
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．
 

6.【答案】A 

【解析】解：列表如下：

所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：
列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由作图可知，BD平分，
，，
，，
，
，点F为BC的中点，
，
的周长为：
故选：
根据作图可知BD平分，结合，由三线合一求出EC长，根据勾股定理求出BC长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出EF长，即可解答．
本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出BC边是解题的关键．
 

8.【答案】D 

【解析】解：图象经过，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，即，①正确．
由图象可得抛物线与y轴交点在x轴下方，
，②错误．
由抛物线的开口向上可得，
，
，③正确．
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
，
顶点坐标为，
点向上平移1个单位后的坐标为，
将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：
根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，由图象可得抛物线与y轴交点在x轴下方，由抛物线的开口方向，对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可得abc的符号，求出二次函数的顶点式，可得图象向上平移1个单位后与直线有3个交点
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

10.【答案】2或3 

【解析】解：，
，
，
，
比大且比小的整数是2或
应用估算无理数大小的方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小的方法进行求解是解决本题的关键．
 

11.【答案】2 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
【解答】
解：，
，
当时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：  

12.【答案】10cm 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r cm，依题意，得
，
解得
故答案为
圆锥的底面圆半径为r cm，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

13.【答案】 

【解析】解：将沿BE翻折得到，
，
点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，
当点G、F、B三点共线时，GF最小，
连接EG，设，

由勾股定理得，，
，
，
解得，
，
故答案为：
由翻折知，得点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，可知当点G、F、B三点共线时，GF最小，再利用面积法可得AE的长．
本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，GF最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
 

14.【答案】解：由①得，
由②得，
故不等式组的解集为 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：原式

，
当或2时，原式没有意义，
当时，
原式 

【解析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
 

16.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
 

【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明≌是解题的关键．
利用SAS证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
 

17.【答案】解：七年级C组人数所占百分比为，
则，
所以；
七年级D组的人数为人，
因为七年级成绩处于C组的有12人，
所以将七年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为85，85，
则其中位数；
八年级B组的人数为：人
补全条形统计图如下：

解：八年级的学生对航天知识掌握得更好，理由如下：
七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的学生对航天知识掌握得更好．
人，
答：估计两个年级成绩处于C组的学生共有800人． 

【解析】先求出七年级C组人数所占百分比，再利用减去B，C，D三组人数所占百分比即可得m的值；先求出七年级组的人数，再根据中位数的定义即可得n的值；求出八年级B组的人数，据此补全条形统计图即可；
根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；
分别利用800乘以七、八年级C组人数所占百分比即可得．
本题考查频数分布直方图，用样本估算总体，加权平均数，中位数，掌握相关知识是解题的关键．
 

18.【答案】解：设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，
依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．

，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
，
解得
答：每件衬衫的标价至少是150元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
设每件衬衫的标价为y元，根据题意列不等式解答．
 

19.【答案】解：在中，，
，
，，
，
，B两点在直线上，
，，
直线AB的解析式为，
过点C作于点E，
，
，
，
∽
，
，，
，
，
反比例函数的解析式为；

由，解得或，
，
过点D作轴于点F，



 

【解析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
求出A，B两点坐标，代入直线的解析式求出a，b，再求出点C的坐标，求出k即可；
构建方程组求出点D的坐标，再利用割补法求出三角形面积．
 

20.【答案】证明：与边AB相切于点D，
，即，
，，，
≌，
，
，
又是半径，
是的切线；
解：，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故的半径为；
证明：由可知：≌，
，，
又，，
≌，
，
，
，
，
点F是AB中点，，
，
，
，
，
，
 

【解析】由切线的性质可得，由“SSS”可证≌，可得，可得结论；
由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解；
由“SAS”可知≌，可得，由三角形内角和定理可得，，可得，可证，可得结论．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

21.【答案】解：对于任意实数m，恒有成立，
顶点的纵坐标为，
即，
解得：舍去或2，
故抛物线的表达式为：；

存在，理由：
对于，当时，，
令，则或1，即点A、B的坐标分别为：、，
，则，
则点M在的外接圆上，

作AC的中垂线l交抛物线的对称轴于点R，则点R是的外接圆的圆心，
则点H是A、C的中点，则点H的坐标为，
则直线l的表达式为：，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，，则点，
设点，
则，
即，
解得：，
即点或；

由抛物线的图象知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
根据函数的对称性，点不可能在对称轴上，
，
当在对称轴右侧时，
则在对称轴的右侧，必然在对称轴的左侧，
此时，、、离对称轴的距离依次减小，
即且，
解得：；
当在对称轴左侧时，
列出的表达式和在对称轴右侧完全一致，
故 

【解析】由成立，得到顶点的纵坐标为，即可求解；
由，得到点M在的外接圆上，进而求解；
根据函数的对称性，点不可能在对称轴上，当在对称轴右侧时，则在对称轴的右侧，必然在对称轴的左侧，此时，、、离对称轴的距离依次减小，即可求解；当在对称轴左侧时，列出的表达式和在对称轴右侧完全一致，即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解不等式、一次函数的性质等，熟练运用二次函数的增减性是解题的关键．