2024-2025学年贵州省六盘水市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省六盘水市高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={−1,0,2}，B={x|x(x−1)=0}，则A∩B=( )
A. {0}B. {−1}C. {−1,0}D. {−1,0,2}
2.若sinθ= 34，则cs2θ=( )
A. 58B. −38C. 38D. −58
3.复数z满足zi=2i−1，则|z|=( )
A. 3B. 5C. 3D. 5
4.已知向量a，b满足a⋅b=1，|b|=4，|a−b|= 15，则cs〈a,b〉=( )
A. 14B. 13C. 23D. 34
5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为π3，则此双曲线的离心率为( )
A. 2B. 4 33C. 2 33D. −4 33
6.已知函数f(x)=ln(1+ex)−12x，若f(a)=2，则f(−a)=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
7.将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为( )
A. 6B. 12C. 18D. 24
8.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2,n为奇数,2an,n为偶数,则a100=( )
A. 5×250−2B. 5×250−4C. 5×249−2D. 5×249−4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线a，b和平面α，β，下列说法中正确的是( )
A. 若a//α，b//α，则a//bB. 若α//β，a⊥α，b⊥β，则a//b
C. 若a//b，b⊂α，则a//αD. 若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b
10.下列说法中正确的是( )
A. 样本数据7，8，6，8，4，7，3，9的下四分位数为4
B. (3 x−1)5的展开式中所有项的系数和与二项式系数和相等
C. 已知随机变量X～N(3,σ2)，若P(X>1)=m，则P(X>5)=1−m
D. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1
11.定义在区间[0,1]上的函数f(x)满足f(x)=4f(x4)，f(1)=4f(12)=1，且对任意的0≤x10)上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，点P(s,t)，A0(x0,y0)是C上的两点，且|s−x0|=4．
(1)求C的方程；
(2)过线段PA0的中点M1作x轴的垂线交C于点A1，过线段PM1的中点M2作x轴的垂线交C于点A2，过线段PM2的中点M3作x轴的垂线交C于点A3，⋯，依此操作n次，记△PAn−1An的面积为Sn．
①求△PA0A1的面积；
②证明：i=1nSib>0)的渐近线方程为y=±bax，
由双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为π3，
可得ba=tanπ6= 33．
∴双曲线的离心率为e=ca= 1+b2a2=2 33．
故选：C．
先求出双曲线的渐近线方程，可得ba=tanπ6，再根据e= 1+b2a2即可求解．
本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=ln(1+ex)−12x=ln(1+ex)−lnex2=ln(ex2+e−x2)，函数定义域为R，
f(−x)=ln(e−x2+ex2)=f(x)，所以f(x)是偶函数，
所以f(a)=f(−a)=2；
故选：D．
应用函数是偶函数的定义及对数运算计算求解函数值．
本题主要考查了函数奇偶性定义及性质的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有A22种排法，与余下的两辆车全排有A33种排法，
所以共有A22⋅A33=12种不同的停放方法．
故选：B．
利用相邻问题捆绑法求解．
本题考查了排列组合的运用，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为a2k+2=(a2k−1+2)+2=2(a2k−2+2)
又a2+2=a1+2+2=5，所以{a2k+2}成以首项为5，公比为2的等比数列
所以a2k+2=5×2k−1，a2k=5×2k−1−2，所以a100=5×249−2．
故选：C．
由题干推得a2k+2=2(a2k−2+2)，结合a2+2=5，可得{a2k+2}成以首项为5，公比为2的等比数列，进而可得数列{a2n}的通项公式．
本题考查数列递推式，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于选项A，若a/​/α，b/​/α，则a与b可能相交、平行或异面，故选项A错误；
对于选项B，若α/​/β，a⊥α，b⊥β，则a/​/b，故选项B正确；
对于选项C，若a/​/b，b⊂α，则a/​/α或a⊂α，故选项C错误；
对于选项D，若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b，故选项D正确．
故选：BD．
根据空间线线、线面、平面与平面的位置关系，结合题意，进行逐一分析即可．
本题考查线面位置关系的判定，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：选项A，样本数据7，8，6，8，4，7，3，9
从小到大排列：3，4，6，7，7，8，8，9；n=8，8×14=2，
下四分位数为：4+62=5，A错误；
选项B，令x=1，得(3 x−1)5得所有项的系数和为25，二项式系数和为25，B正确；
选项C，∵μ=3，∴P(X5)，
∵P(X>1)=m，∴P(X5)=1−m，C正确；
选项D，样本相关系数r的值越接近于−1，也是相关程度越强，D错误．
故选：BC．
对于A，从小到大排列，计算第25百分位即可；
对于B，令x=1，得所有项的系数，与2n比较即可；
对于C，正态分布，找出对称轴μ=3，P(X5)，计算即可；
对于D，套用线性相关系数结论即可．
本题考查百分位数相关知识，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：因为函数f(x)=4f(x4)，
所以f(14n)=14f(14n−1)=⋯=14nf(1)=14n,n∈N∗，
又因为f(1)=4f(12)=1⇒f(12)=14，
所以f(12⋅4n−1)=14f(12⋅4n−2)=⋯=14n−1f(12)=14n，
又因为(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]≥0，因此x∈[14n,12⋅4n−1],n∈N∗时，
函数f(x)=14n，
对于选项A，f(1)=4f(14)=1⇒f(14)=14，因此选项A正确；
对于选项B，因为11000∈[145,12⋅44),f(11000)=145=11024，因此选项B正确；
对于选项C，根据题意只能推导x∈[14n,12⋅4n−1],n∈N∗时，函数f(x)=14n，
f(12)=14,f(1)=1，所以f(0.6)=0.7也符合题意，因此选项C错误；
对于选项D，x∈[14n,12⋅4n−1],n∈N∗时，函数f(x)=14n，
(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]≥0，
因为f(f(x))=1410，所以函数f(x)=1410，所以x∈[1410,12⋅49]⊆[a,b]，
因此b−a的最小值为12⋅49−1410=1410，因此选项D错误．
故选：AB．
由题可得x∈[14n,12⋅4n−1],n∈N∗时，f(x)=14n，其他段函数不确定，据此可逐项判断．
本题考查函数恒成立问题，属于中档题．
12.【答案】−2
【解析】解：设等差数列{an}中，S7=0，所以7a4=0，即a4=0，
又a2=4，所以2d=a4−a2=−4，解得d=−2．
故答案为：−2．
由等差数列的前n项和性质结合基本量运算求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
13.【答案】x24+y2=1
【解析】解：设x轴上的点A(a,0)，y轴上的点B(0,b)，点M(x,y)，
因此|AB|=1⇒a2+b2=1，又A是BM的中点，
因此x+0=2ay+b=0⇒a=x2b=−y，
因此(x2)2+(−y)2=1，因此x24+y2=1，
因此M的轨迹方程为：x24+y2=1．
故答案为：x24+y2=1．
设x轴上的点A(a,0)，y轴上的点B(0,b)，点M(x,y)，利用题设所得a2+b2=1和中点坐标公式即可求解．
本题考查轨迹方程，属于中档题．
14.【答案】30
【解析】解：因为一个底面直径和高均为2R的圆柱形石材中，挖去一个半径为R的球体后，
要在剩余空间打磨最大的小球，
需满足与圆柱侧面相切(小球球心到侧面距离等于小球半径r)，与圆柱底面(或顶面)相切(小球球心到底面距离等于r)，与挖去的大球相切(两球心距离等于r+R)，
设小球坐标为(x,y,z)，由几何知识得：
x2+y2=R−r x2+y2+(z−R)2=R+r (R−r)2+(r−R)2=R+r，
解得r=R 2−1 2+1r=R( 2−1)2( 2+1)( 2−1)=R( 2−1)2=(3−2 2)R，
此r为满足接触条件的最大半径，
接着求每层小球数量：
小球中心位于半径ρ=R−r的圆周上，
设每层放k个小球，相邻小球中心距离为2r，
因为中心间弦长公式为2ρsinπk，
所以2(R−r)sin(πk)=2r即(R−r)sin(πk)=r，sin(πk)=rR−r，
所以−rR−r=( 2−1)22( 2−1)= 2−12≈sin(π15)，解得k=15，
所以每层恰能放置 15 个相切的小球．
下面求解此圆柱能放置多少层小球：
小球中心高度为r，底部小球范围为[0,2r]，顶部小球范围为[2R−2r,2R]，
间隙为4R−2r>0，
顶部底部小球不会重叠，
小球中心到挖去球体中心的最小距离为 2R≥R+r，
所以无法再放置一层小球，
所以挖去球后圆柱上下两部分都能放置一层，即最大放置层数为2，
所以最大打磨个数为2×15=30．
故答案为：30．
确定最大小球的相切条件，用几何关系列方程求小球半径，求每层小球最大放置数量，再验证最多能放置几层小球，即可求出剩余石材最多还能打磨出多少个体积最大的小球．
本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
15.【答案】2×2列联表见解析，根据小概率α=0.001的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联；
分布列见解析，E(X)=23．
【解析】(1)因为数学成绩与物理成绩都优秀的有10人，都不优秀的有65人，
补全2×2列联表如下：
零假设H0：数学成绩与物理成绩无关联，
此时χ2=100(10×65−5×20)230×70×15×85=121001071≈11.2979>10.828，
所以根据小概率α=0.001的独立性检验，没有充分依据推断H0成立，即推断H0不成立，
则根据小概率α=0.001的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联；
(2)由(1)可得从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，
此时物理成绩优秀的学生有2人，物理成绩不优秀的有4人，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
此时P(X=0)=C20C42C62=615=25,P(X=1)=C21C41C62=815,P(X=2)=C22C40C62=115，
则X的分布列为：
故E(X)=0×25+1×815+2×115=23．
(1)由题意直接填写2×2列联表即可，先进性零假设，接着计算卡方值即可根据小概率α=0.001的独立性检验思想下结论；
(2)求出随机变量的取值及其相应概率结合数学期望公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
16.【答案】(0,+∞)；证明见解析；
函数f(x)在区间(0,1)上单调递减；在区间(1,+∞)上单调递增，f(23)0，1x中x≠0，综合可得f(x)得定义域为(0,+∞)，
f(1x)=(1x−x)ln1x=(1x−x)lnx−1=−(1x−x)lnx=(x−1x)lnx=f(x)；
(2)由于函数f(x)=(x−1x)lnx，
f′(x)=(x−1x)′lnx+(x−1x)(lnx)′=(1+1x2)lnx+(x−1x)⋅1x=x2+1x2⋅lnx+1−1x2=(x2+1)⋅lnx+x2−1x2
令导函数f′(x)=0，即(x2+1)⋅lnx+x2−1=0，因此lnx=1−x2x2+1，所以x=1，
当x∈(1,+∞)时，lnx>0，x2+1>0，x2−1>0，所以x2>0，因此导函数f′(x)>0，
当x∈(0,1)时，lnx0，x2−10，因此导函数f′(x)