[数学][期末]贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期末试题(解析版)

这是一份[数学][期末]贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期末试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】，则，
故选：B
3. 记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 13B. 45C. 65D. 130
【答案】C
【解析】，故选：C.
4. 甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：
下列结论正确的是（ ）
A. 甲的极差小于乙的极差B. 乙的平均数大于甲的平均数
C. 乙的成绩比甲的成绩更稳定D. 甲的中位数小于乙的中位数
【答案】C
【解析】对于A项，甲的极差为：，乙的极差为：，则A项错误；
对于B项，甲的平均数为：，
乙的平均数为：，则B项错误；
对于C项，根据极差，易知乙的成绩比甲的成绩更稳定，故C项正确；
对于D项，甲的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，
乙的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，故D项错误，故选：C
5. 已知为锐角，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为锐角，，所以，
联立，解得，
因为，所以，
所以
.故选：A
6. 关于的方程对应的曲线不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，方程为：，对应的图象为选项A，
当时，方程为：，对应的图象为选项B，
当时，方程为：，
得，对应的图象为选项C，
选项D图形是四条线段，没有方程与之对应，
故选：D
7. 已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】A
【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，且，
由，得，
化简得的轨迹方程为圆，半径，
如下图，有．
故选：A

8. 如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆内最大正三角形即圆内接正三角形.
设该圆内接正三角形的半径为，边长为，
则，
解得，
如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为，
则，
过点作平面，为底面正三角形的中心，连接，
则在中，由正弦定理得，则，
所以高，
设正四面体外接球球心，
于是外接球的半径，
在中，，则，
所以，解得，
则其外接球的表面积为．
故选：B.
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上有且仅有一个零点
D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
【答案】AD
【解析】对于A，因为，所以的图象关于点对称，A正确；
对于B，因为，
所以是函数的周期，B错误；
对于C，因为，所以在区间至少有两个零点，C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得，即，D正确.
故选：AD
10. 已知函数，则（ ）
A. 与互为反函数
B. 若是函数的极值点，则
C. 若，则
D. 点在曲线上，点在曲线上，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由对数定义可知，
所以与互为反函数，A正确；
对于B，，则，
若是函数的极值点，则必有，
即，两边取对数得，B错误；
对于C，作出的图象如图：
因为与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，
所以直线与和的交点关于直线与的交点对称，
联立求解可得，所以，C正确；
对于D，由上图和对称性可知，的最小值等于点到直线的最小距离的2倍，
当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最小，
令解得，所以此时点坐标为，
所以的最小值为，所以，D正确.故选：ACD
11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 过点且垂直于的直线平分
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，
对于B，如图，由题知，，
所以，
若，所以， 正确，
对于C，记，
所以，
又，得到，
又，
所以，
又，
由，得，错误，
对于D，因为，，
由，得，
又，得到，得到，
从而有，得到，
由，得到，
从而有，解得，正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则______．
【答案】-2
【解析】因为，所以，
得，
解得，
故答案为：-2
13. 现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有______种．
【答案】30
【解析】抽取3名同学可以分为两类：
当抽取2名男生，1名女生时，分配方法数为：，
当抽取3名男生时，分配方法数为：，
则总的方法数为：，
故答案为：30
14. 已知函数的定义域为，且．若，则______．
【答案】2024
【解析】几何法：由得的图象关于直线对称；
由，得的图象关于点对称；
再根据可作出的一个符合要求的函数图象如下，
从而．
代数法：由得；
结合得；
于是，从而；
于是，所以函数是周期为4的周期函数．
由，得，所以；
由，得，所以；
由，得，从而；
从而，所以．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记的内角所对的边分别为，已知，且．
（1）求的值；
（2）若点满足，求的长度．
解：（1）由，
得，
从而，
将代入得．
（2）方法1：，
将代入得，解得．
因为，所以，
由余弦定理得．
方法2：
将代入得，
解得．
因为，所以，
两边平方得，
所以．
16. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名．
（1）请补全如下列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
（2）从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数的分布列及期望；
附：
（1）列联表如下：
零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
（2）抽样比为，未治愈人数为2人，治愈人数为4人随机变量的所有可能取值为．
所以随机变量的分布列为
从而，所以随机变量的期望为1．
17. 已知长方体中，．
（1）在长方体中，过点作与平面平行的平面，并说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）如图，所作平面为平面．
理由如下：
因为为平行四边形，所以，
而平面平面，得平面，
同理得平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）方法1：以点坐标原点建系如图，则，．
，
设平面的法向量为，则
，即
令，则，所以，
设与平面所成的角为，则．
方法2：设点到平面的距离为，
依题，
因为，
所以，
从而，解得，
设与平面所成的角为，则．
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）在数列中，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．证明：数列是等比数列，并求数列的前项和．
解：（1）因为，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
曲线在点处的切线方程为，
令得，
于是（为常数），
所以是首项为1，公比为的等比数列．
由得，
于是，
所以．
19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．
（1）求直线的方程；
（2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
解：（1）由已知，点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．
（2）（i）方法1：因为，所以
设，则，
两式相减得，
整理得，
即，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以设，
由，
由韦达定理得，于是，
从而，所以线段的中点在直线上．
（ii）由（i）可知为的中点，而为的中点，
所以．
由解得，设，
由，
由，
由韦达定理得．
点到直线的距离，
令，则，
当时，f'm>0,fm单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以的最大值为．学生
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
99
乙
89
90
91
88
92
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
10
45
55
乙
15
30
45
合计
25
75
100
0
1
2