陕西省西安市2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题（原卷+解析）

这是一份陕西省西安市2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题（原卷+解析），共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 下列命题的否定是真命题的是， 函数值域是， 若，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是（ ）
A 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若函数，则（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题的否定是真命题的是（ ）
A. 是整数B. 若，则
C. “”存在量词命题D. 函数在上为增函数
6. 函数值域是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
8. 若，，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若定义在上的函数满足恒成立，则（）
A. B. C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A.
B.
C. 图象的对称轴方程为
D. 的单调递增区间为
11. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某扇形的圆心角为，半径为33，则该扇形的弧长为__________.
13. 已知为定义在上的偶函数，的最大值为2，在上单调递减，且，则__________，不等式的解集为__________.
14. 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求函数的定义域；
（2）求值：.
16. （1）若，，求值.
（2）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（i）求的值；
（ii）求的值.
17. 已知函数，.
（1）求的最小值.
（2）若的最小值为4，且，证明：.
（3）若，讨论的单调性与值域.
18. 设函数.
（1）求的最大值；
（2）当时，求图象的对称中心的坐标；
（3）若的最小正周期为，不等式对恒成立，求的取值范围.
19. 已知函数.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）求不等式解集.
高一数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】将负角转化为顺时针旋转的角，从而判断其终边落在第四象限.
【详解】是从轴正方向顺时针旋转得到的角，这个角落在第四象限，因此是第四象限角，
故选：D
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，再利用并集的定义求解.
【详解】解不等式，即，得，则，而，
所以.
故选：C
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据“充分”和“必要”条件的定义判断即可.
【详解】因为，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 若函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用换元法求函数解析式即可.
【详解】令，则，
则有，
故.
故选：B.
5. 下列命题的否定是真命题的是（ ）
A. 是整数B. 若，则
C. “”是存在量词命题D. 函数在上为增函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据原命题为假，则否定为真，依次判断各选项命题即可.
【详解】对于A，是整数，为真命题，其否定是假命题，不符合题意；
对于B，若，则为真命题，其否定是假命题，不符合题意；
对于C，“”是存在量词命题，是真命题，其否定是假命题，不符合题意；
对于D，函数在上为减函数，
故函数在上为增函数是假命题，其否定是真命题，符合题意.
故选：D
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可.
【详解】令，令，
由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减，
在上单调递增，故，
又易知在上单调递减，故，
即函数的值域为.
故选：A.
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可
【详解】依题意，解得，
故选：B
8. 若，，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或2
【答案】D
【解析】
【分析】先由，运用正切的差角公式计算出，再利用正切的二倍角公式，解得.
详解】
，
又因为，
则，
令，则有，
解得或，即或.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若定义在上的函数满足恒成立，则（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令，即可求；令，即求出.
【详解】∵恒成立，
令得：，，故B正确，A错误；
令得：，，，
，故C正确，D错误
故选：BC
10. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A.
B.
C. 图象的对称轴方程为
D. 的单调递增区间为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图像求出，结合余弦函数的图像与性质依次判断选项即可.
【详解】由图可得，由，得．
由，得，
因为，所以，A正确．
由A的分析可得，
令，得，
所以图象的对称轴方程为，C错误．
，B正确．
令，得，
所以的单调递增区间为，D正确．
故选：ABD
11. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用零点的意义，结合函数的图象可得，再利用指对数运算及指数函数、对数函数性质，结合零点存在性定理逐项分析判断即可.
【详解】函数，由，得，
在同一坐标系内作出函数的图象，如图：
观察图象得函数的图象有两个交点，函数有两个零点，且，
则，，即，，
对于A，，因此，A正确；
对于B，，，
而，则由零点存在性定理得，B正确；
对于C，函数在上都单调递减，则函数
在上单调递减，，，
而，因此，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某扇形的圆心角为，半径为33，则该扇形的弧长为__________.
【答案】
【解析】
【详解】由弧长公式，可得.
13. 已知为定义在上的偶函数，的最大值为2，在上单调递减，且，则__________，不等式的解集为__________.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质求出即得，再结合求解不等式.
【详解】定义在上的函数的最大值为2，且在上单调递减，
得，所以；
又，不等式，则，
解得或，所以所求不等式的解集为.
故答案为：2；
14. 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.
【答案】
【解析】
【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长.
【详解】设，，则，所以，
所以
，
，即，解得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求函数的定义域；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用函数有意义列出不等式组求解.
（2）利用对数运算性质及指数运算计算得解.
【详解】（1）函数有意义，则，解得或，
所以所求函数定义域为.
（2）.
16. （1）若，，求的值.
（2）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（i）求的值；
（ii）求的值.
【答案】（1）或；（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求出.
（2）（i）利用三角函数定义及诱导公式计算得解；（ii）利用三角函数定义，和角的余弦公式，结合齐次式法求解.
【详解】（1）由，得，解得，而，
所以或.
（2）（i）角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
则，，
所以.
（ii）由（i）得，
所以.
17. 已知函数，.
（1）求的最小值.
（2）若的最小值为4，且，证明：.
（3）若，讨论的单调性与值域.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）分类讨论，答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用指数函数性质，结合基本不等式求出最小值.
（2）由（1）的结论求出，进而求得，再利用指数函数、对数函数单调性推理得证.
（3）按分类，利用复合函数的单调性，结合指数函数、对数函数单调性确定函数的单调性.
【小问1详解】
函数定义域为R，，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
【小问2详解】
由（1）得，解得，则，，
函数的定义域为R，，，而函数是增函数，
因此，所以.
【小问3详解】
当时，函数的定义域为R，的取值集合为，
当时，函数在R上单调递减，函数在R上单调递减，
而函数是减函数，，因此函数在R上单调递增，值域为；
当时，函数在R上单调递增，函数在R上单调递增，
而函数是增函数，，因此函数在R上单调递增，值域为，
所以当时，函数在R上单调递增，值域为；
当时，函数在R上单调递增，值域为.
18. 设函数.
（1）求的最大值；
（2）当时，求图象的对称中心的坐标；
（3）若的最小正周期为，不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）8 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质求解；
（2）由结合（1）得，利用正弦函数的性质求解；
（3）求出在上的值域，由得恒成立，列式求解.
【小问1详解】
，
当，即时，取得最大值，最大值为8.
【小问2详解】
由（1），当时，，令，得，
所以图象的对称中心的坐标为.
【小问3详解】
因为的最小正周期，所以，得，
，
当时，，，所以，
又，所以，即，
因为不等式对恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义即可得解；
（2）将零点个数问题，转化为方程的解的个数问题，再在平面直角坐标系中画出函数的图象，数形结合即可得解；
（3）令，则等价于，再分类讨论的范围，利用函数的奇偶性与单调性，将得到与的大小关系，即可得解.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
且，
故为奇函数.
【小问2详解】
，等价于方程有解，
因此函数零点的个数，等价于方程的解的个数.
，
在平面直角坐标系中作出函数的图象，得：
由图可知，当时，方程有个解，即有个零点；
当时，方程有个解，即有个零点；
当时，方程有个解，即有个零点；
当时，方程有个解，即有个零点；
当时，方程有个解，即有个零点.
综上，当或时，函数有个零点；
当时，函数有个零点；
当时，函数有个零点.
【小问3详解】
设，则，
则不等式等价于，
即，
①当时，，由函数图象可知，在上单调递减，
故由单调性可将转化为，即；
②当时，， 由函数图象可知，在上单调递增，
由单调性可将转化为，即，
③当时，，设，
由图可知在上单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增，
则当时，，
此时，不等式无解.
综上，，
即或，
解得，
即不等式解集为.