2023-2024学年陕西省西安市部分校高一期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市部分校高一期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.总体由编号为01，02，⋯，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为( ) 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48
A. 54B. 14C. 21D. 32
2.已知a=(1,0,1)，b=(−2,−1,1)则|a−b|等于( )
A. 3 10B. 2 10C. 10D. 5
3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A. m⊥n，m//α，n//βB. m⊥n，α∩β=m，n⊂α
C. m//n，n⊥β，m⊂αD. m/​/n，m⊥α，n⊥β
4.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2:3，则棱柱与棱锥的体积的比值为( )
A. 12B. 2C. 13D. 3
5.小明需要从甲城市编号为1−14的14个工厂或乙城市编号为15−32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A+B)=( )
A. 332 B. 58 C. 916 D. 14
6.如图所示，在三棱锥P−ABC中，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，BO的延长线交AC于点D，则图中与AC垂直的直线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
7.甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为35，设各局比赛相互间没有影响，则甲队战胜乙队的概率为( )
A. 925B. 36125C. 81125D. 63125
8.如图，四棱锥S−ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论：①AC⊥SB；②AB//平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.其中正确的有个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 数据2，4，6，8的中位数是4，6
B. 数据1，2，3，4，4的众数是4
C. 一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是8×5+7×311
10.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( )
A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B. 甲的不同的选法种数为15
C. 已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是16
D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是949
11.如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C= 3，构成三棱锥A′−BCD，则( )
A. 平面A′BD⊥平面BDCB. 平面A′BD⊥平面A′BC
C. 平面A′DC⊥平面BDCD. 平面A′DC⊥平面A′BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(1,1,x)，b=(1,2,1)且满足条件a⋅2b=−2，则x=________．
13.为了节约用电，某市决定对电费进行调整，为了达到既不影响大多数居民用户的电费支出，又能节电的目的，该市政府对抽取的200户的8月份的用电量(单位：度)由小到大进行排列，其中第165到第175个数据依次是181，182，184，186，187，188，190，191，192，193，194，为了使85%的居民用电不受影响，则此次电费上调应从________度开始．
14.如图，在△ABC中，AB⊥BC，D，E分别为AB，AC边的中点，且AB=4，BC=2，现将△ADE沿DE折起，使得A到A1的位置，且∠A1DB=60°，则A1C=____.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对一带一路的认知程度，并谈谈你的感想．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，且AD=CD= 2，BC=2 2，PA=2．
(1)取PC的中点N，求证：DN//平面PAB；
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)在线段PD上有一点M，满足PM=23PD，求BM与平面MAC所成角的大小；
17.(本小题12分)
2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为2007～2016年中，某区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.(单位：平方米)
(1)现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率；
(2)现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率；
(3)将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记2012～2016年中城镇人均住房面积的方差为S12，农村人均住房面积的方差为S22，判断S12与S22的大小．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为长方形，SB⊥底面ABCD，其中BS=2，BA=2，BC=λ，λ的可能取值为：①λ=14；②λ=12；③λ= 32；④λ=32；⑤λ=3．
(1)求直线AS与平面ABCD所成角的大小；
(2)若线段CD上能找到点E，满足AE⊥SE，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求平面E1SB与平面E2SB的夹角的大小．
19.(本小题12分)
某游乐园为了吸引游客，推出了A，B两款不同的年票，游乐园每次进园门票原价为100元.A年票前12次进园门票每次费用为原价，从第13次起，每次费用为原价的一半，A年票不需交开卡工本费.B年票每次进园门票为原价的9.5折，B年票需交开卡工本费a元(a∈N).已知某市民每年至少去该游乐园11次，最多不超过14次.该市民多年来年进园记录如表：
(1)估计该市民年进园次数的众数；
(2)若该市民使用A年票，求该市民在进园门票上年花费的平均数；
(3)从该市民在进园门票上年花费的平均数来看，若选择A年票比选择B年票更优惠，求a的最小值．
答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.B
6.D
7.C
8.D
9.BCD
10.BD
11.AD
12.−4
13.189
14.2 2
15.解：(1)第一组的频率为0.01×5=0.05，
所以x=50.05=100．
(2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，
年龄低于35岁的所占比例为70%，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，
由30+5×0.50−−0.40=953≈32，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数约为32岁．
(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列，
得88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
因为10×20%=2，
所以这10人成绩的20%分位数为90+922=91，
这10人成绩的平均数为110×(88+90+92+92+95+96+96+97+98+99)=94.3.
评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．
16.证明：(1)取BC中点E，连结DN、DE、NE，
∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，
AD=CD= 2，BC=2 2，PA=2，N是PC中点，
∴DE/​/AB，EN//PB，
∵EN∩DE=E，PB∩AB=B，EN、DE⊂平面DNE，PB、AB⊂平面PAB，
∴平面DEN//平面PAB，
∵DN⊂平面DEN，∴DN//平面PAB．
解：(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A( 2,0,0)，C(0, 2,0)，P( 2,0,2)，D(0,0,0)，
AC=(− 2, 2,0)，PD=(− 2,0,−2)，
设直线AC与PD所成角为θ，
则csθ=AC·BDAC·BD=22 6= 66．
∴直线AC与PD所成角的余弦值为 66．
(3)解设平面ACM的法向量为m=(x,y,z)，且PM=23PD，则M 23,0,23，
BM=−5 23,− 2,23，
AC=(− 2, 2,0)， AM=(−2 23,0,23)
利用AC·m=0,AM·m=0,得平面ACD的一个法向量为m=1,1, 2.
设BM与平面MAC所成的角为φ，
则sin φ=|cs〈BM，m〉|=12，∴φ=30°．
17.解：(1)记事件A为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准，
则P(A)=25，
所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为25．
(2)随机抽取连续两年数据，样本空间Ω={(18.66,20.25)，(20.25,22.79)，(22.79,25)，(25,27.1)，(27.1,28.3)，(28.3,31.6)，(31.6,32.9)，(32.9,34.6)，(34.6,36.6)}，共9个样本点．
设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件B，
则B={(20.25,22.79)，(22.79,25)，(25,27.1)，(28.3,31.6)，(34.6,36.6)}．
所以事件B共有5个样本点
因此P(B)=59．
(3)由题得

所以城镇人均住房建筑面积的平均数为28+32+33+35+375=33，
农村人均住房建筑面积的平均数为32+34+37+41+465=38，
所以s 12=15×[(28−33)2+(32−33)2+(33−33)2+(35−33)2+(37−33)2]=465，
s 22=15×[(32−38)2+(34−38)2+(37−38)2+(41−38)2+(46−38)2]=1265，
所以s 1218.解：(1)因为SB⊥底面ABCD，垂足为B，
所以∠SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角，
在Rt△SBA中，BS=AB=2，
则△SBA为等腰直角三角形，所以∠SAB=45°，
所以直线AS与平面ABCD所成角的大小为45°．
(2)以B为坐标原点，BC，BA，BS的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(0,2,0)，D(λ,2,0)，S(0,0,2)．
设E(λ,x,0) (0≤x≤2)，
所以SE=(λ,x,−2)，EA=(−λ,2−x,0)，
依题AE⊥SE，则SE·EA=0，
即−λ2+x(2−x)=0⇒λ2=x(2−x)，
因为x∈[0,2]，
所以λ2=x(2−x)∈[0,1]，
所以在所给的数据中，λ可以取①②③．
(3)由(2)知λ= 32，则x2−x=34，
解得x=12或x=32，即满足条件的点E有两个，
根据题意得，其坐标为E1( 32,12,0)和E2( 32,32,0)，
因为SB⊥平面ABCD，BE1，BE2⊂平面ABCD，
所以SB⊥BE1，SB⊥BE2，
所以∠E1BE2是平面E1SB与平面E2SB的夹角．
由cs〈BE1，BE2〉=BE1·BE2|BE1|×|BE2|=34+341× 3= 32，
知平面E1SB与平面E2SB的夹角的大小为30°．
19.解：(1)由频率分布表知，该市民年进园次数的频率最大是0.40，对应的次数是众数，为12；
(2)该市民使用A年票时，在进园门票上年花费的平均数为：
xA−=11×100×0.15+12×100×0.40+(12×100+50)×0.10+(12×100+100)×0.35=1225；
(3)使用B年票时该市民在进园门票上年花费的平均数为xB−=(11×0.15+12×0.40+13×0.10+14×0.35)×95+a=1201.75+a，
由xA−23.25，
因为a∈N，所以a⩾24，
若选择A年票比选择B年票更优惠，a的最小值是24．
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
城镇
18.66
20.25
22.79
25
27.1
28.3
31.6
32.9
34.6
36.6
农村
23.3
24.8
26.5
27.9
30.7
32.4
34.1
37.1
41.4
45.8
年进园次数
11
12
13
14
频率
0.15
0.40
0.10
0.35
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
城镇
28
32
33
35
37
农村
32
34
37
41
46