初中湘教版（2024）4.5 等腰三角形精品课件ppt

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1. 掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理
2. 进一步理解、体会推理论证的方法.
3. 掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，
由三角形内角和的性质得：∠ADB=∠ADC.
由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC重合，
射线AB与射线AC重合.
∴ AC=AB. ( )即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.
证明： ∵AB=AC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴ △ADE为等腰三角形.
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC. ∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD.
总结：角平分线+平行线=等腰三角形
∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
由折叠可知，∠EBD=∠CBD，
∵AD∥BC，∠EDB=∠CBD，
练一练：1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定 △ABC是等腰三角形的是（ ）A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°C. ∠A＝30°，∠B＝90°D. ∠A＝80°，∠B＝60°
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
例4 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.
解：EF=BE+CF.理由如下：∵ EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO. ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
证明定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明:如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC
由三角形内角和定理得:∠A+∠B+∠C= 180°.
如果顶角∠A=60°，
则∠B+∠C= 180°-60°=120°.
∴ ∠B=∠C=∠A=60°.
∴ △ABC是等边三角形.
如果是底角∠B=60°（或∠C=60°）呢？
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
例5　已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BA，CA 的延长线上，且AD=AE．求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵∠EAD =∠BAC =60°， 又AD = AE， ∴△ADE 是等边三角形．
变式1：如图,在等边三角形ABC中，AD=AE． 求证：△ADE是等边三角形．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
变式2:上题中,若将条件AD=AE改为DE∥BC, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
△ADE还是等边三角形，理由如下：
1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBA=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.
2.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
3.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.
4.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　）A．10° B．15° C．20° D．25°
5.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D. 求证：BC＝CD.
证明：连接BD.∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠DBC=∠BDC，∴BC=CD.
6.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°(等腰三角形三线合一)．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE (等角对等边)．