【数学】天津市滨海新区2025-2026学年度高二第一学期期末检测卷试题（学生版+解析版）

这是一份【数学】天津市滨海新区2025-2026学年度高二第一学期期末检测卷试题（学生版+解析版），文件包含数学天津市滨海新区2025-2026学年度高二第一学期期末检测卷试题解析版docx、数学天津市滨海新区2025-2026学年度高二第一学期期末检测卷试题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.
1. 已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，，
所以，所以.
故选：B.
2. 抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
抛物线的准线方程为，
即，故选A .
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】双曲线中，则，
故其渐近线方程为.
故选：B.
4. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是.
故选：D.
5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为直线与直线平行，
所以，解得，
则直线与直线之间的距离是.
故选：C
6. 若1，，，5依次成等差数列，1，，4依次成等比数列，则的值为（ ）
A 3B. -3C. 或3D. 或4
【答案】C
【解析】由题意可得，，，则，
故的值为或3.
故选：C.
7. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 外切B. 内切C. 相交D. 内含
【答案】A
【解析】即，圆心，半径，
的圆心，半径，
则，
故两圆的位置关系是外切.
故选：A.
8. 已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接，可得.
故选：D.
9. 已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为为正三角形，且均与圆相切，故，
，由四边形内角和为可得.
又圆，圆心为，半径为.
故到直线距离为.
故，解得或（舍）.
故选：C.
10. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：，，解得，，
可得，所以.
故选：C.
11. 已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则，又为等差数列，则其公差，
所以，故，
所以，而不等式恒成立，
所以，即实数的最小值为.
故选：B.
12. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则有下列说法：
①若，，则平面；
②若，，则平面；
③若，则到平面的距离为；
④若，时，直线与平面所成角为，则
以上说法中正确的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，以点为坐标原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则有、、、、、、、、，
则，，，
，，．
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，故．
对于①，当，时，，此时点与点重合，
因为，故四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
故当，时，平面，①对；
对于②，当，时，，
，所以，即，
所以当，时，则平面，②对；
对于③，当时，，
所以点到平面的距离为，③错；
对于④，当，时，，
，
，
设，其中，
任取、且，则
，
因，则，，所以，
所以函数在上为增函数，
因为，所以，故，④对.
故选：C.
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
13. 过点且垂直于的直线方程是_____.
【答案】
【解析】由，得，所以直线的斜率为.
所以与直线垂直的直线的斜率为，
所以过点且垂直于的直线方程为，即.
故答案为：.
14. 向量与共线，则_____.
【答案】
【解析】因为向量与共线，设，
即，
所以，解得，故.
故答案为：.
15. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】因为双曲线的离心率为2，则，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
16. 已知数列满足，，则_____.
【答案】或
【解析】由题意得，，，
，.
故答案为：.
17. 已知等差数列的公差为,若成等比数列,则=_________，数列的前项和的最小值是_________
【答案】 ①. ②.
【解析】∵成等比数列，
∴，即，
解得．
∴．
又，
∴当时，；当时，．
∴数列的前项和的最小值是．
答案： ；.
18. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为_______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】因为抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，且，
设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得，
将代入抛物线方程，解得，
由对称性不妨取，设，则，，
因为，所以，解得，即，
所以，
所以的面积，
故答案为：3；.
19. 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.如取正整数，根据上述运算法则得出：，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（为正整数），
（i）若，则使得至少需要_____步雹程；
（ii）若，则所有可能取值的和为_____.
【答案】 ①. 9 ②. 41
【解析】（i），
故使得至少需要步雹程；
（ii）若，则逆向计算，所有可能结果有，，
，
故所有可能取值为，其和为.
故答案为：；.
20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上存在一点，满足，与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的离心率的值为_____；若的面积为6，则双曲线的方程为_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】连接，设双曲线的焦距为.
由双曲线的定义可知，，
因为，所以.
由，得，
所以，
所以，所以.
所以.
由题可知，，所以，即.
所以，所以.
即双曲线的离心率的值为.
若的面积为6，则的面积，.
即，所以，所以，所以.
所以双曲线的方程为.
故答案为：①，②.
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21. 已知圆的圆心为，经过点.
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点（2，2），与圆交于，两点，，求直线的方程.
解：（1）圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）因，且，所以
由题意可知，直线的斜率定存在，
设直线的斜率为，则的方程为，即，
所以，解得或，
所以直线的方程为或，即或.
综上，的方程为或.
22. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，为的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面和平面夹角的余弦值.
（1）证明：在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，
，所以
以为原点，以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，，，，因为为的中点，
所以.
所以，，，则，
即，，
所以，，又因为，且，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可得，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设点到平面的距离为，可得
所以点到平面的距离为.
（3）解：由（2）可得平面的一个法向量为，
又由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
23. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，
（1）求椭圆的方程；
（2）若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上.
解：（1）依题意，，，解得，，即，，所以椭圆的方程为；
（2）依题意，直线的斜率存在且不为零，由（1）知，，
设直线为，，则，，
由，得，
所以，
由，得；
所以，所以，
即；
又因为，所以，
直线的方程即为；
由，得；
又与直线垂直，所以，
所以直线的方程为；
由，得，
即，解得；所以点在定直线上.
24. 已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.数列的前项和，且满足.
（1）求，的通项公式：
（2）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数记为，
（i）求数列的通项公式；
（ii）若，求数列的前项的和.
解：（1）设等差数列的公差为，
因为是递增的等差数列，所以，
因为，，成等比数列，所以，
又因为，
所以，即，
整理得，解得或，
由于，所以，
所以，所以，
因为，所以当，，
两式相减得，即，
又因为，所以，所以为等比数列，
，
（2）（i）由得，
解上述不等式得，
因为，所以，
所以满足不等式的的个数为：，
所以，
（ii）因为
所以，
设的前项和为，
①
则②
①-②得：，
，
所以，
所以.