2023-2024学年天津市滨海新区高二下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区高二下学期期末数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U=1,3,5,7,9,11,A=1,3,9,B=3,5,9,11，则∁UA∩B=( )
A. 3,9B. 5,11C. 1,5,7,11D. 3,5,7,9,11
2.下列函数中，在区间0,+∞上单调递减的是( )
A. y=x2−2xB. y=lg2xC. y=12xD. y=x−1x
3.设a,b,c,d为实数，且cA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有( )
A. 10种B. 60种C. 125种D. 243种
5.三个数lgπ0.5,0.5π,lg2 π的大小关系是( )
A. lgπ0.5<0.5πC. 0.5π6.如图所对应的函数的解析式可能是( )
A. f(x)=ex−e−xB. f(x)=ex−e−xx
C. f(x)=ex+e−xx3D. f(x)=lnex+e−x
7.下列说法正确的个数是( )
①线性相关系数r越接近1，两个变量的线性相关程度越强；
②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系；
③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高；
④甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则PBA=( )
A. 35B. 25C. 13D. 130
9.计算lg5+7lg 72+lg23⋅lg94+lg2的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
10.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下2×2列联表：
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
根据表中的数据，下列说法中，正确的是( )
A. 没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B. 有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C. 可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
11.已知函数f(x)=ax−a−x(a>0,a≠1)，则下列结论
①函数fx在R上为增函数；②函数fx过定点0,0；
③函数y=f2x2fx为偶函数；④当a>1时，函数fx的最小值是0．
其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④
12.已知函数fx=lnx,x>03x+2,x≤0，若方程fx=ax有三个不同的实数根x1,x2,x3，且x1A. 21−3e,0B. 2e1−3e,−12C. 13−e,1−2e3e−1D. 13−e,1e−1
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.若随机变量ξ−N1,σ2，且Pξ≤3=0.74，则Pξ≤−1= ．
14.函数fx=lg3x+1 1−x的定义域是 ．
15.天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ．
16.已知二项式a x−1x5关于x的 展开式中，所有项的系数之和为32，则展开式中x−2的系数为 .(用数字作答)
17.在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用m表示．
已知表中数据的经验回归方程y=a+bx同时满足：①过点3,8；②x每增加一个单位，y增加0.9个单位，则m= 当；x=6时，y= ．
18.随机变量ξ的概率分布列如下表：
根据随机变量ξ的分布列，计算出Eξ= ，若Dξ=12，则b的数值应是 ．
19.已知a>0,b>0，直线y=x+a与曲线y=ex−b相切，则9a+4b的最小值是 ．
20.若函数fx=2exx3−a3x+lnx只有一个极值点，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
22.（12分）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下：
决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了；
设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是23，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是12，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数量，求X的分布列及数学期望；
(2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率．
23.（13分）已知函数fx=xlnx．
(1)求曲线fx在点1,f1处的切线方程；
(2)已知函数gx=fxx+2x2，求gx的单调区间；
(3)若对于任意x∈1e,2e，都有fx≤ax−e(e为自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
24.（13分）已知函数f(x)=−x3+3x2+a(x>0),g(x)=xlnx+ax2−2x．
(1)求函数fx的极值；
(2)若fx,gx的导数分别为f′x,g′x，且x|f′(x)<0⊆x|g′(x)<0，求a的取值范围；
(3)用minm,n表示m，n中的最小值，设ℎx=minfx,gx，若a>1，判断函数ℎx的零点个数．
答案解析
1.B
【解析】解：U=1,3,5,7,9,11,A=1,3,9，
∴∁UA=5,7,11，
即∁UA∩B=5,11．
故选：B
2.C
【解析】对于A，二次函数对称轴为x=1，所以y=x2−2x在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故A错误；
对于B，由对数函数的单调性得，y=lg2x在0,+∞上单调递增，故 B错误；
对于C，当x>0时，y=12x，由指数函数单调性得，y=12x在0,+∞上单调递减，故 C正确；
对于D，因为y=x和y=−1x在0,+∞上单调递增，故y=x−1x在0,+∞上单调递增，故 D错误；
故选：C．
3.B
【解析】解：由a满足a当a−c所以“a故选：B．
4.D
【解析】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有35=243种，
故选：D．
5.A
【解析】解：∵lgπ0.50<0.5π<0.51=0.5，
lg2 π=12lg2π>12lg22=12，
即lgπ0.5<0.5π故选：A．
6.C
【解析】对于A，当x趋于0时，f(x)=ex−e−x趋于e0−e−0=0，对比题图可知，A不符合题意；
对于B，f(x)=ex−e−xx的定义域−∞,0∪0,+∞关于原点对称，且f(−x)=e−x−ex−x=ex−e−xx=fx，
所以f(x)=ex−e−xx的图象关于y轴对称，与题图不符，B不符合题意；
对于D，f(x)=lnex+e−x的定义域R关于原点对称，且f(−x)=lne−x+ex=fx，
所以f(x)=lnex+e−x的图象关于y轴对称，与题图不符，D不符合题意；
对于C，f(x)=ex+e−xx3的定义域−∞,0∪0,+∞关于原点对称，且f(−x)=e−x+ex−x3=−ex+e−xx3=−fx，
所以f(x)=ex+e−xx3的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意．
故选：C．
7.C
【解析】线性相关系数r越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确；
独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误；
回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确；
回归分析中，可用R2判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故④正确；
故选：C．
8.B
【解析】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为PBA=PABPA=nABnA=C22C42C64=1230=25．
故选：B．
9.C
【解析】lg5+7lg 72+lg23⋅lg94+lg2
=lg5+lg2+7lg 72+lg23⋅lg94
=lg10+2+lg23⋅lg3222
=lg10+2+lg23⋅lg32
=1+2+lg23⋅1lg23
=4 ．
故选：C．
10.C
【解析】由χ2=40(15×12−5×8)220×20×23×17≈5.013,
对于A，因χ2≈5.013>x0.05=3.841，故有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误；
对于B，因χ2≈5.013对于C，因χ2≈5.013>x0.05=3.841，故可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即C正确；
对于D，因χ2≈5.013故选：C．
11.D
【解析】对于A，当a>1时，函数y=ax单调递增，函数y=a−x单调递减，所以fx在R上为增函数，
当0错误；
对于②，当x=0时，f(x)=a0−a0=1−1=0，即函数fx过定点0,0，正确；
对于③，由函数y=f2x2fx可得：2fx=2ax−2a−x≠0，解得：x≠0，
故函数y=f2x2fx的定义域是xx≠0，关于原点对称，
因为f−2x2f−x=a−2x−a2x2⋅a−x−ax=a−x+ax2，f2x2fx=a2x−a−2x2⋅ax−a−x=ax+a−x2，
所以f−2x2f−x=f2x2fx，即原函数为偶函数，正确；
对于④，当a>1时，fx=ax−a−x=a−x−ax,x<00,x=0ax−a−x,x>0
故fx在−∞,0上为减函数，在0,+∞上为增函数，
所以当x=0时，fx取得最小值0，正确．
故选：D．
12.A
【解析】解：方程fx=ax，显然x=0不为该方程的实数根，
设gx=lnxxx>03+2xx<0,
即方程fx=ax有三个不同的实数根x1,x2,x3，
即gx=a有三个不同的实数根x1,x2,x3，
当x>0时，gx=lnxx，则g′x=1−lnxx2，
由g′x>0，可得0e，
所以gx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
且当x>1时，gx>0，当x→+∞时，gx→0
从而作出gx的大致图像．
由图可知当0即方程gx=a有三个不同的实数根．
由3+2x=1e，得x=2e1−3e，
由3+2x=0，得x=−23，
所以x1∈2e1−3e,−23
所以x1⋅lnx2x3x2+x3=x1⋅lnx2+lnx3x2+x3=x1⋅ax2+ax3x2+x3=ax1=3x1+2∈21−3e,0．
故选：A．
##1350
【解析】因为ξ−N1,σ2，所以正态曲线的对称轴为x=1，
因为Pξ≤3=0.74，所以Pξ≤−1=Pξ>3=1−Pξ≤3=1−0.74=0.26，
故答案为：0.26．
14.−13,1
【解析】要使函数fx=lg3x+1 1−x有意义，当且仅当3x+1>0 1−x≠01−x≥0，解得−13所以函数fx=lg3x+1 1−x的定义域是−13,1．
故答案为：−13,1．
15.2740
【解析】由全概率公式可知，所求概率为P=75%×24+60%×14+60%×14=38+310=2740．
故答案为：2740．
16.−90
【解析】由所有项的系数之和为32，令x=1，a−15=32，所以a=3，
所以3 x−1x5展开式通项为Tr+1=C5r⋅35−r⋅x125−r⋅−1r⋅x−r=C5r⋅35−r⋅x52−32r⋅−1r，
令52−32r=−2，解得r=3，
所以展开式中x−2的系数为C53⋅32⋅−13=−90，
故答案为：−90．
17. ； ；①．9.5 ； ； ；；②．10.7
【解析】x=1+2+3+4+55=3，y=6.3+7.4+8.1+8.7+m5=30.5+m5，
因为经验回归方程y=a+bx过点3,8，
所以30.5+m5=8，解得m=9.5，
由8=0.9×3+a，可得a=5.3，则y=0.9x+5.3，
当x=6时，y=0.9×6+5.3=10.7，
故答案为：9.5，10.7．
18. ； ①. 3 ； ； ；；②．12##0.5
【解析】依题意，a+b+a=2a+b=1，Eξ=2a+3b+4a=6a+3b=3(2a+b)=3,
D(ξ)=(2−3)2a+(3−3)2b+(4−3)2a=2a=12,解得，a=14，代入2a+b=1得，b=12．
故答案为：3；12.
19.25
【解析】根据题意设直线y=x+a与曲线y=ex−b的切点为x0,y0，进而根据导数的几何意义得x0=b,y0=1,a+b=1，再根据基本不等式“1”的用法求解即可．
【详解】根据题意，设直线y=x+a与曲线y=ex−b的切点为x0,y0，
因为y′=ex−b′=ex−b，直线y=x+a的斜率为k=1，
所以k=1=ex0−b，y0=x0+a，y0=ex0−b，
所以x0=b,y0=1,a+b=1，
因为a>0,b>0，
所以9a+4b=9a+4ba+b=13+9ba+4ab≥13+2 9ba⋅4ab=25，当且仅当b=2a3=25时等号成立．
所以9a+4b的最小值是25．
故答案为：25．
20.−∞,e22∪2e39
【解析】设gx=2exx2，则g′x=2x−2exx3，故对02有g′x>0．
所以gx在0,2上递减，在2,+∞上递增．
同时，有f′x=2x3−3x2exx6−a1x−3x2=x−3⋅2ex−ax2x4=x−3⋅gx−ax2
当a≤e22时，根据gx的单调性，对x∈0,2∪2,+∞有gx≥g2=e22≥a．
所以对x∈0,2∪2,3有f′x=x−3⋅gx−ax2<0，对x∈3,+∞有f′x=x−3⋅gx−ax2>0．
从而fx在0,2和2,3上递减，在3,+∞上递增．
即fx在0,3上递减，在3,+∞上递增，这表明fx恰有一个极值点x=3，满足条件；
当a>e22时，根据gx的单调性，有
gx=2exx2=ex2⋅ex22⋅x22=12ex2⋅gx2≥12ex2⋅g2=14ex2+2．
故g 2a=2e 2a 2a2>2e0 2a2=a，g2=e2214e2ln4a2=a．
结合 2a<2<2ln4a，知方程gx=a在 2a,2和2,2ln4a上各有一个零点，分别记为x1,x2．
结合gx的单调性，知对x∈0,x1∪x2,+∞有gx>a，对x∈x1,x2有gx此时，我们又有f′x=x−3⋅gx−ax2．
所以当e22a知3∈0,x1∪x2,+∞，再由x1<2所以对x∈0,x1∪x2,3有f′x=x−3⋅gx−ax2<0，对x∈x1,x2∪3,+∞有f′x=x−3⋅gx−ax2>0．
从而fx在0,x1和x2,3上递减，在x1,x2和3,+∞上递增，这表明fx有三个不同的极值点x1,x2,3，不满足条件；
当a=2e39时，由g3=2e39=a及x1<2所以对x∈0,x1有f′x=x−3⋅gx−ax2<0，对x∈x1,3∪3,+∞有f′x=x−3⋅gx−ax2>0．
从而fx在0,x1上递减，在x1,3和3,+∞上递增．
此即fx在0,x1上递减，在x1,+∞上递增，这表明fx恰有一个极值点x=x1，满足条件；
当a>2e39时，由g3=2e39所以对x∈0,x1∪3,x2有f′x=x−3⋅gx−ax2<0，对x∈x1,3∪x2,+∞有f′x=x−3⋅gx−ax2>0．
从而fx在0,x1和3,x2上递减，在x1,3和x2,+∞上递增，这表明fx有三个不同的极值点x1,3,x2，不满足条件．
综上，a的取值范围是−∞,e22∪2e39．
21.【小问1详解】
解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为18,36,9，
现采用分层抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查，
则从甲部门的员工中抽取7×1818+36+9=2人，
从乙部门的员工中抽取7×3618+36+9=4人，
从丙部门的员工中抽取7×918+36+9=1人.
【小问2详解】
解：若抽取的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，
现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X=0)=C33C73=135,P(X=1)=C41C32C73=1235，
P(X=2)=C42C31C73=1835,P(X=3)=C43C73=435，
所以随机变量X的分布列为：
则数学期望为EX=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127
【解析】(1)根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解；
(2)根据题意，得到变量X的可能取值为0,1,2,3，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解．
22.【小问1详解】
由题可得X∼B3,23，X的可能取值为0、1、2、3，
所以PX=0=1−233=127，PX=1=C31⋅23⋅1−232=29，
PX=2=C32⋅232⋅1−23=49，PX=3=C33⋅233⋅1−230=827，
所以，X的分布列为：
所以EX=3×23=2．
【小问2详解】
将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件A，
“在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件A1，
“在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件A2，则A1、A2互斥，且A=A1∪A2，
则PA1=C32⋅232⋅1−23⋅23⋅1−124=154，
PA2=233⋅1−23×C31⋅12⋅1−123+C32⋅232⋅1−23⋅23⋅C41⋅121−123=554，
所以PA=PA1+PA2=654=19．
因此，在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为19．

【解析】(1)分析可知X∼B3,23，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，利用二项分布的期望公式可求得EX的值；
(2)将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件A，“在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件A1，“在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件A2，则A1、A2互斥，且A=A1∪A2，分别计算出PA1、PA2的值，利用互斥事件的概率公式可求得PA的值．
23.【小问1详解】
由fx=xlnx得，f′x=lnx+1，f′1=1，f(1)=0，
所以fx在点1,f(1)处的切线方程为y=x−1．
【小问2详解】
gx=lnx+2x2，x>0，
g′x=1x−4x3=x2−4x3=x+2x−2x3，令g′(x)=0，解得x=2，
因为x∈0,2时，g′(x)<0，所以gx在(0,2)上单调递减，
因为x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，所以gx在2,+∞上单调递增，
所以gx的单调减区间为(0,2)，单调增区间为2,+∞．
【小问3详解】
由题可知，x∈1e,2e，
所以xlnx≤ax−e⇔lnx+ex≤a，设ℎ(x)=lnx+ex，x∈1e,2e，
则ℎ′(x)=1x−ex2=x−ex2，令ℎ′(x)=0，解得x=e，
当x∈1e,e时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在1e,e单调递减，
当x∈e,2e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在e,2e单调递增，
又ℎ(1e)=−1+e2>ℎ(2e)=32+ln2，即ℎ(x)≤e2−1，
所以a≥e2−1．

【解析】(1)根据导数运算及导数的几何意义求解即可；
(2)根据导数的正负求解g(x)的单调区间；
(3)根据导数求解函数最大值，即可得出a的取值范围．
24.【小问1详解】
f′(x)=−3x2+6x，令f′(x)=0得，x=2或x=0(不合题意舍去)，
当x∈0,2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增，
当x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)在2,+∞上单调递减，
所以fx的极大值为f(2)=4+a，无极小值．
【小问2详解】
由(1)得，f′(x)<0时，x∈(2,+∞)，
对g(x)求导得，g′(x)=lnx+2ax−1，
x|f′(x)<0⊆x|g′(x)<0⇔x>2时，g′(x)=lnx+2ax−1<0恒成立，
所以x>2时，a<1−lnx2x恒成立，设F(x)=1−lnx2x,x>2，
F′(x)=lnx−22x2，令F′(x)=0，得x=e2，
当x∈2,e2时，F′(x)<0，F(x)在2,e2上单调递减，
当x∈e2,+∞时，F′(x)>0，F(x)在e2,+∞上单调递增，
所以F(x)min=Fe2=−12e2，
所以a<−12e2，即a的取值范围是−∞,−12e2．
【小问3详解】
因为g(x)=x(lnx+ax−2)，设m(x)=lnx+ax−2，则m′(x)=1x+a，
①若a<−1，令m′(x)=0，解得x=−1a，
当x∈0,−1a时，m′(x)>0，所以m(x)在0,−1a上单调递增，
当x∈−1a,+∞时，m′(x)<0，所以m(x)在−1a,+∞上单调递减，
所以m(x)≤m−1a=ln−1a−3<0，
所以a<−1时，mx<0⇒gx<0⇒ℎx≤gx<0,ℎx没有零点；
②若a>1，由(1)知，
当x∈0,2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增，
又f(0)=a>1，所以x∈0,2时，f(x)>0，
当x∈0,2时，m′(x)=1x+a>0，所以m(x)在(0,2)上单调递增，且m1a=−lna−10,m(2)=ln2+2a−20，
存在唯一x1∈0,2，使得m(x1)=0，则gx1=0,ℎx1=0，
当x∈[2,+∞)时，m′(x)=1x+a>0，即m(x)在[2,+∞)单调递增，
所以m(x)=lnx+ax−2>ln2+2a−2>0,g(x)>0，
当x∈[2,+∞)时，f′(x)<0,f(x)在[2,+∞)上单调递减，且f(2)=a+4>0,f(4a)=−64a3+48a2+a<−64a3+48a3+a3=−15a3<0，
所以存在唯一x2∈2,+∞，使得fx2=0,ℎx2=0，
综上所述，a<−1时，ℎ(x)无零点，当a>1时ℎ(x)有2个零点．

【解析】(1)根据导数的运算求得f′(x)，分析出单调性即可求得极值；
(2)将问题转化为x>2时，a<1−lnx2x恒成立，构造函数F(x)=1−lnx2x,x>2，求解最小值即可；
(3)由题意可知ℎ(x)≤g(x),ℎ(x)≤f(x)，当a<−1时，通过求g(x)的范围即可判断；当a>1时，通过比较f(x)和g(x)的正负即可判断ℎ(x)的零点个数．
A
B
总计
认可
15
8
23
不认可
5
12
17
总计
20
20
40
α
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
x
1
2
3
4
5
y
6.3
7.4
8.1
8.7
m
ξ
2
3
4
P
a
b
a
X
0
1
2
4
P
135
1235
1835
435
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827