第09讲 数列的证明讲义-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc8988" 思维导图 PAGEREF _Tc8988 \h 2
\l "_Tc3797" 高考分析 PAGEREF _Tc3797 \h 2
\l "_Tc22720" 学习目标 PAGEREF _Tc22720 \h 3
\l "_Tc17199" 知识要点 PAGEREF _Tc17199 \h 3
\l "_Tc7423" 题型归纳 PAGEREF _Tc7423 \h 4
\l "_Tc12069" 题型01：等差等比数列的证明 PAGEREF _Tc12069 \h 4
\l "_Tc6433" （一）利用等差数列定义证明数列是等差数列 PAGEREF _Tc6433 \h 4
\l "_Tc15445" （二）利用an+an+2=2an+1证明数列是等差数列 PAGEREF _Tc15445 \h 5
\l "_Tc10229" （三）证明数列不是等差数列 PAGEREF _Tc10229 \h 5
\l "_Tc15183" （四）利用等比数列的定义证明数列是等比数列 PAGEREF _Tc15183 \h 6
\l "_Tc15554" （五）利用anan+2=an+12证明数列是等比数列 PAGEREF _Tc15554 \h 7
\l "_Tc2896" （六）证明数列不是等比数列 PAGEREF _Tc2896 \h 8
\l "_Tc22174" 题型02：证明数列是新定义的数列 PAGEREF _Tc22174 \h 9
\l "_Tc191" 题型03：证明数列的单调性 PAGEREF _Tc191 \h 11
\l "_Tc2927" 题型04：数列中的等式与不等式的证明 PAGEREF _Tc2927 \h 13
\l "_Tc2197" 题型05: 证明与通项有关的不等式 PAGEREF _Tc2197 \h 21
\l "_Tc20530" 题型06: 直接求和证明不等式 PAGEREF _Tc20530 \h 24
\l "_Tc14367" 题型07: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 PAGEREF _Tc14367 \h 35
\l "_Tc13244" 题型08:先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 PAGEREF _Tc13244 \h 39
\l "_Tc29555" 题型09: 与导数有关的数列不等式. PAGEREF _Tc29555 \h 54
\l "_Tc27771" 题型10:数学归纳法证明数列不等式 PAGEREF _Tc27771 \h 60
\l "_Tc29709" 题型11: 数列不等式与三角函数综合 PAGEREF _Tc29709 \h 64
\l "_Tc29643" 题型12: 数列不等式与概率统计 PAGEREF _Tc29643 \h 69
\l "_Tc9696" 题型13：新定义数列 PAGEREF _Tc9696 \h 72
【考情定位】
数列是高中代数的核心内容之一，在高考中通常占据 10~17分 的分值。数列证明题主要出现在解答题的第1问（基础送分）或压轴题的第2、3问（拉分难点）。
【命题趋势】
1. 难度分层明显：
◦ 基础层：证明等差/等比数列、求通项公式（全国卷及新高考卷常考）。
◦ 进阶层：证明数列不等式（如 S_n < k）、证明数列的单调性或有界性。
◦ 创新层：结合数学归纳法、反证法、函数构造思想，考察逻辑推理与代数变形能力。
2. 交汇性增强：数列证明常与函数（导数）、不等式、解析几何（点列问题）交汇命题，考察“转化与化归”思想。
1. 核心概念：能熟练运用定义法证明 {an} 为等差或等比数列。
2. 运算能力：掌握累加法、累乘法、构造法（如 an+1=pan+q）求通项，为证明奠基。
3. 放缩技巧：掌握常见的放缩模型（如裂项相消放缩、二项式定理放缩），证明数列不等式。
4. 逻辑推理：熟练掌握数学归纳法的书写规范，以及反证法在存在性问题中的应用。
知识点：数列的证明方法
利用等差数列定义证明数列是等差数列
利用定义法证明an是等差数列,就是证明对任意n∈N*,an+1－an是同一常数．
利用an+an+2=2an+1证明数列是等差数列
若对任意n∈N*,数列an满足an+an+2=2an+1,则an是等差数列.
(三)证明数列不是等差数列
证明数列不是等差数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等差数列,通常利用反证法证明.
(四)利用等比数列的定义证明数列是等比数列
利用定义法证明an是等比数列,就是证明对任意n∈N*,an+1an是同一常数．
(五)利用anan+2=an+12证明数列是等比数列
若对任意正整数n,都有anan+2=an+12,且an≠0,则数列an是等比数列.
(六)证明数列不是等比数列
证明数列不是等比数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等比数列,通常利用反证法证明.
(七)证明数列是新定义的数列
此类问题通常把满足某些条件的数列称为一类新数列,求解关键是证明所给数列满足新数列给定条件
(八)证明数列的单调性
证明数列an是递增（减）数列,通常是证明（an+1−an0,也可根据an+1an>1（an+1an13时,an0）,对任意的正整数n,Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an,并有Sn满足Sn=nan−a12．
(1)求a的值；
(2)证明数列an是等差数列．
【答案】见解析
【解析】（1）由已知,得,
所以a=0.
（2）由a1=0得,则,
所以2Sn+1−Sn=(n+1)an+1−nan,
即2an+1=(n+1)an+1−nan,
于是有(n−1)an+1=nan,并且有nan+2=n+1an+1,
所以nan+2−(n−1)an+1=(n+1)an+1−nan,
即,
而n是正整数,an+2−an+1=an+1−an,即an+an+2=2an+1,
所以数列an是等差数列.
（三）证明数列不是等差数列
【变式训练3】给定数列an,若首项a1>0且a1≠1,对任意的n,m∈N∗,都有an+m=an⋅am,则称数列an为“指数型数列”.
(1)已知数列an为“指数型数列”,若,求a2,a3；
(2)已知数列an满足a1=12,an=2anan+1+3an+1n∈N∗,判断数列1an+1是不是“指数型数列”？若是,请给出证明；若不是,请说明理由；
(3)若数列an是“指数型数列”,且a1=a+2a+3a∈N∗,证明：数列an中任意三项都不能构成等差数列.
【答案】见解析
【解析】（1）因为数列an是“指数型数列”,所以对于任意的,
都有an+m=an⋅am.因为,
所以,.
（2）数列1an+1是“指数型数列”.
证明:由,得1an+1=3an+2,即1an+1+1=31an+1,
所以数列1an+1是等比数列,且1a1+1=3,
则1an+1=1a1+1×3n−1=3⋅3n−1=3n,
1an+11am+1=3n⋅3m=3n+m,1an+m+1=3n+m,
所以数列1an+1是“指数型数列”.
（3）因为数列an是“指数型数列”,故对任意的n,m∈N∗,
有an+m=an⋅am,则an+1=an⋅a1,所以an=an−1⋅a1=⋯=a1n=a+2a+3n,n≥2,
a1=a+2a+3适合该式.
假设数列an中存在三项构成等差数列,不妨设u0,cn+m+1cn+1=q2>0,
所以cn+1cn=q1q2>0∀n∈N∗,所以数列cn是等比数列.
（六）证明数列不是等比数列
【变式训练6】混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中,比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等,其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一,假设在一个混沌系统中,用xn来表示系统在第n(n∈N∗)个时刻的状态值,且该系统下一时刻的状态xn+1满足xn+1=fxn,0b1b3,
故数列b1,b2,b3,b4为“对数凹性”数列
（3）将p,q互换得：t=q−pWr+p−vrWq+r−qWp=−t,所以t=0,
令p=1,q=2,得−Wr+2−rW+r−1W2=0,
所以Wr=2−rW1+r−1W2=W1+r−1W2−W1,故数列Wn是等差数列,
记d=W2−W1=S22−c1=c2−c12>0,所以Wn=c1+n−1c2−c12=c1+n−1d,
所以Sn=nWn=dn2+c1−dn,
又因为cn=c1,n=1Sn−Sn−1,n≥2,所以cn=c1+2dn−1,
所以cn+1−cn=2d>0,所以cn为单调递增的等差数列,
所以cn+1>cn>0,cn+2+cn=2cn+1,Sn=nc1+cn2.
所以4Sn+12−SnSn+2=(n+1)2c1+cn+12−nn+2c1+cnc1+cn+2
>(n+1)2c1+cn+12−nn+2c1+cn+c1+cn+222
=(n+1)2c1+cn+12−nn+22c1+c1+cn+222=(n+1)2c1+cn+12−nn+2c1+cn+12=(n+1)2−nn+2c1+cn+12=c1+cn+12>0
所以Sn+12≥SnSn+2,数列Sn是“对数凹性”数列.
题型03：证明数列的单调性
【变式训练】已知函数fnx=xn+xn−1+⋯+x−1n∈N+．
(1)判断并证明fnx的零点个数
(2)记fnx在(0,+∞)上的零点为xn,求证;
（i）xn是一个递减数列
（ii）n+12≤x1+x2+⋯+xn0，
则函数ft在t∈0,1上单调递增，∴ftlnt，t∈0,1，
∴Sn0,所以cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43,
即cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43n∈N∗,n>1.
【变式训练11-1】已知首项为正数的等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，满足．
(1)求数列an的通项公式；
(2)令bn=4csnπ⋅n+1an⋅an+1，求数列bn的前n项和Tn．
【答案】(1)an=2n+1
(2)当n为偶数时，，当n为奇数时，Tn=−12n+3−13.
【解析】（1）根据等差数列前n和公式即可求出a1，则得到其通项公式；
（2）分n为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
（1）由题意得an是公差为2的等差数列，且，
即4a1+12=a12a1+2，又因为a1>0，所以a1=3，
所以数列an的通项公式an=a1+(n−1)d=2n+1.
（2）由（1）知bn=csnπ⋅4n+12n+1⋅2n+3=csnπ⋅12n+1+12n+3，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，Tn=Tn−1+bn=12n+1−13−12n+1−12n+3=−12n+3−13,(n≥3)，
经检验，n=1时，满足Tn=−12n+3−13，
综上，当n为偶数时，，
当n为奇数时，Tn=−12n+3−13.
【变式训练11-2】设正项数列an满足a1=1，an=2an+11−an+12，n∈N∗．数列xn满足an=tanxn，其中xn∈0,π2，n∈N∗．已知如下结论：当x∈0,π2时，sinx121−12+1212−13+1213−14+⋯+121n−1n+1=121−1n+1=12−12(n+1)
即待证不等式成立．
题型12: 数列不等式与概率统计
【典型例题】在足球比赛中,有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外2人中的 1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,易知p1=1,p2=0．
① 试证明：pn−13为等比数列；
② 设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较p2024与q2024的大小．
【答案】见解析
【解析】（1）解法一：依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为p=33×3×1−23=19,
门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0,1,2,3
易知X∼B3,19,所以PX=k=C3k×19k×893−k,k=0,1,2,3
故X的分布列为：
所以X的数学期望EX=3×19=13．
解法二：X的所有可能取值为0,1,2,3
在一次扑球中,扑到点球的概率P=13×13×3×1−23=19,
所以PX=0=C30893=512729,PX=1=C3119⋅892=192729
PX=2=C32⋅192×89=24729,PX=3=C33193=1729
所以X的分布列如下：
所以的X数学期望：EX=0×512729+1×192729+2×24729+3×1729=243729=13
（2）①第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,
则当n≥2时,第n−1次传球之前球在甲脚下的概率为pn−1,
第n−1次传球之前球不在甲脚下的概率为1−pn−1,
则pn=pn−1×0+1−pn−1×12=−12pn−1+12
即pn−13=−12pn−1−13,又p1−13=23,
所以pn−13是以为首项,公比为−12的等比数列．
②由①可知pn=23−12n−1+13,所以p2024=23−122023+1313,故p2024