第14讲 高考数列压轴题之新定义专题-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc19291" 高考分析 PAGEREF _Tc19291 \h 2
\l "_Tc23492" 学习目标 PAGEREF _Tc23492 \h 2
\l "_Tc9371" 知识要点 PAGEREF _Tc9371 \h 3
\l "_Tc31893" 解题策略 PAGEREF _Tc31893 \h 3
\l "_Tc15129" 题型归纳 PAGEREF _Tc15129 \h 4
\l "_Tc21090" 题型01：定义新概念新情景 PAGEREF _Tc21090 \h 4
\l "_Tc24955" 题型02：定义数列新情境问题 PAGEREF _Tc24955 \h 14
\l "_Tc3337" 题型03： 定义数列新运算问题 PAGEREF _Tc3337 \h 17
\l "_Tc14530" 题型04：定义新性质 PAGEREF _Tc14530 \h 28
\l "_Tc16285" 题型05：定义新数列 PAGEREF _Tc16285 \h 40
\l "_Tc3435" 题型06：新应用 PAGEREF _Tc3435 \h 60
\l "_Tc15250" 题型07：集合背景中的数列新定义问题 PAGEREF _Tc15250 \h 63
\l "_Tc28252" 题型08：高等数学背景里论 PAGEREF _Tc28252 \h 72
\l "_Tc21102" 题型09： 切线法与牛顿数列应用 PAGEREF _Tc21102 \h 85
\l "_Tc21587" 题型10： 差分数列与对称数列应用 PAGEREF _Tc21587 \h 88
\l "_Tc6663" 题型11：矩阵 PAGEREF _Tc6663 \h 90
数列作为高考数学的“常青树”，在新高考背景下，命题风格正从传统的“求通项、求和”向“新定义、性质探究、结构不良”转变。新定义题通常位于试卷的最后两题，是区分顶尖学生的关键。
高考数列压轴题·新定义专题深度分析
高考分析 (Exam Analysis)
1. 命题背景与趋势
• “去套路化”： 传统的裂项相消、错位相减已沦为送分题。压轴题开始引入大学数学背景（如不动点、压缩映射、数论初步、集合论），通过“即时定义”（In-situ Definitin）的方式考查学生的学习潜能。
• 素养导向： 重点考查逻辑推理（理解定义的内涵）、直观想象（数列的单调性、有界性）和数学运算（复杂的代数变形）。
• 跨板块融合： 常与不等式证明、函数性质（周期性、凹凸性）、解析几何（点列问题）结合。
2. 常见“新定义”模型分类
1. 数列性质类： 定义“M 数列”、“P 数列”（如：定义若 a_{n+1} - a_n > d 则为某数列）。
2. 数论组合类： 涉及整除性、余数周期、集合子集求和。
3. 迭代与不动点类： 给出 xn = f(xn)，定义“收敛数列”或“周期数列”。
4. 距离与集合类： 定义数列中两项的“距离”，或数列构成的集合 A, B 的关系。
3. 难度与分值
• 位置： 解答题第19题。
• 难度： ★★★★★（思维量大，计算繁琐）。
• 分值： 12-15分，通常设计为3小问（容易—中等—极难）。
学习目标 (Learning Objectives)
1. 语言转译能力： 能将晦涩的符号语言（新定义）翻译成通俗的文字语言或数学关系式。
2. 性质探究能力： 能从定义出发，推导数列的单调性、有界性、周期性等核心性质。
3. 构造与放缩能力： 面对无法求出通项的递推式，能构造辅助数列或利用不等式放缩证明结论。
分类讨论思想： 在参数不确定时，能对参数进行严谨的分类讨论。
“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
【知识点1 数列中的新概念问题】
数列中的新概念问题的求解策略：
通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.
【知识点2 数列的新定义、新情景问题】
1．数列的新定义、新情景问题的解题策略
(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
2．以数列和项与通项关系定义新数列问题的解题策略
解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解.
求解“新定义”题目，主要分如下几步：
对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；
对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。
1.新定义问题的方法和技巧
（1）.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
2.与数列有关的新定义问题的策略
（1）.通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
（2）.遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
（3）.类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
题型01：定义新概念新情景
【典型例题1】定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”,例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为,所有项的和为.
(1)若,求；
(2)若,求正整数的最小值；
(3)是否存在数列,使得数列为等比数列？请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）,第一次“和扩充”后得到数列,
第二次“和扩充”后得到数列,
,；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项,
数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为,
则经第次“和扩充”后增加的项数为,
所以,所以,
其中数列经过1次“和扩充”后,得到,
故,故是首项为4,公比为2的等比数列,
所以,故,则,即,
又,解得,最小值为10；
（3）因为,
,依次类推,,
故
,
若使为等比数列,则或.
【典型例题2】已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
【答案】(1)1、2、3、18；
(2)50不是“佳幂数”，理由见解析
(3)（ⅰ）1897；（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）因为，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为，，
所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；
所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；
（2）由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
…
第组：，
则该数列的前项的和为：
，①
当时，，
则，
由于，对，，
故50不是“佳幂数”．
（3）（ⅰ）在①中，要使，有
出现在第44组之后，又第组的和为，前组和为
第组前项的和为．
则只需．
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：．
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个.
【典型例题3】在数列的第项与第项之间插入个1,称为变换．数列通过变换所得数列记为,数列通过变换所得数列记为,以此类推,数列通过变换所得数列记为（其中）．
(1)已知等比数列的首项为1,项数为,其前项和为,若,求数列的项数；
(2)若数列的项数为3,的项数记为．
①当时,试用表示；
②求证：．
【答案】见解析
【解析】（1）设等比数列an的公比为,显然,
由,得,解得.
故数列an有8项,经过1次变换后的项数为,即的项数为36.
（2）①由的项数为,则当时,,
所以
②因数列an是一个3项的数列,所以,
由,所以,
于是,则有
所以,得,即,所以.
,,于是,
则有,可得,有,即,
所以,综上所述,．
【典型例题4】超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Jseph Liuville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：（，，…，，）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数．回答下列问题：
已知函数（）只有一个正零点．
(1)求数列的通项公式；
(2)（ⅰ）构造整系数方程，证明：若，则为有理数当且仅当．
（ⅱ）数列中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析.
（ⅱ）答案见解析.
【解析】（1）若只有一个正零点，可得
令，，
令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取得最大值，且最大值为，
而当时，，当时，，
由题意得，当最大时，符合题意，
故，即.
（2）（ⅰ）若，则为有理数；
若正整数，假设为有理数，则，
则方程的根中有有理数，
又在方程中，发现是它的根，
而已知是超越数，故不是方程的根，与矛盾，即不为有理数；
综上所述：，为有理数当且仅当；
（ⅱ）若数列中存在不同的三项构成等比数列，则，
可得，由方程右边是有理数知左边是有理数，
由上问知当且仅当时成立，故，
则，设，则，，
则，将，代入进行化简，
可得，故，
故，构造函数，
而，知在其定义域内单调递减，
又，故若，则有，即成立，
当且仅当时成立.
即数列中不存在不同的三项构成等比数列，
【典型例题5】设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为
(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列和公差相等；
（ii）证明：数列一定为等差数列.
【答案】(1)①不是，②是，理由见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】（1）根据数列定义判断证明即可；
（2）分别应用定义结合数列的单调性证明即可
（1）①不是
中不是等差数列，①不是 “五彩的”；
②是
，
，
符合定义②是 “五彩的”.
（2）（i）对正整数n，设，，
其中d，为正整数，整数b，c满足，，
由于数列单调递增，则对于任意正整数n，，
即，
即，
同除以n并令n趋近正无穷得，即证.
（ii）对于正整数n，设，
由数列单调递增，知，
又因为，
故数列必然存在最大项A，最小项B，
下证即可，设正整数t使得，
一方面，由于数列以d为公差，
，
另一方面，，
从而，
又，
，
同理可得，即，即证.
【点睛】关键点点睛：根据数列的定义设通项及公差，结合数列的单调性及累加法证明.
【变式训练1-1】已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”.
(1)写出数组，3，1的“应联数组”；
(2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列；
(3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：.
【变式训练1-2】对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有：
（i ）；
（ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.
(1)设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；
(2)设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；
(3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.
【变式训练1-3】对于数列，，，定义“变换”：将数列变换成数列，，，其中，且，记作．继续对数列进行“变换”，得到数列，，，依此类推．当且仅当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)直接写出2，6，4经过1次“变换”得到的数列，及再经过3次“变换”得到的数列；
(2)若经过次“变换”后变换结束，求的最大值；
(3)设，．已知2，，，且的各项之和为2022，若再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．
【变式训练1-4】数列：满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证:的充分必要条件是；
(3)若，求的所有可能取值之和.
【变式训练1-5】设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数可以表示为“交错和”，求证：；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
【变式训练1-6】设正整数数列满足.
(1)若，请写出所有可能的的取值；
(2)求证：中一定有一项的值为1或3；
(3)若正整数m满足当时，中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.
【变式训练1-7】约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.
【变式训练1-8】若对，，当时，都有，则称数列受集合制约.
(1)若，判断是否受制约，是否受区间制约；
(2)若，受集合制约，求数列的通项公式；
(3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论.
【变式训练1-9】已知由个数构成的有序数组，如果恒成立，则称有序数组为“非严格差增数组”.
(1)设有序数组，试判断是否为“非严格差增数组”？并说明理由；
(2)若有序数组为“非严格差增数组”，求实数的取值范围.
【变式训练1-10】设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.
(1)直接判断集合和是否为的自邻集；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)求证：.
【变式训练1-11】已知数列，满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“k级关联”．记与的前n项和分别为，．
(1)已知，，，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；
(2)若数列与成“2级关联”，其中，，且有，，求|的值；
【变式训练1-12】在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的．
(1)试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？
(2)设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值；
(3)证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的．
【变式训练1-13】对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”
【变式训练1-14】设是正整数，如果存在非负整数使得，则称是好数，否则称是坏数．例如：，所以2是好数．
(1)分别判断是否为好数；
(2)若是偶数且是好数，求证：是好数，且是好数；
(3)求最少的坏数．
【变式训练1-15】定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为.
(1)若已知数列，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由.
题型02：定义数列新情境问题
【典型例题1】（多选）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（ ）
A．或32B．
C．当最小时的“雹程”是2步D．或4747
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以；
或；或，
，即或5或4，故A错误；
对于B，因为，所以从开始，周期为3，又，
所以，故B正确；
对于C，由A选项得的最小值为4，故雹程是2步，故C正确；
对于D，当时，；
当时，；
当时，，故D错误.
故选：BC.
【典型例题2】由边长为，，的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形：
①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边
②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边．
设，由方法①，②均可得到，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列其中，，是直角三角形的三条边，且，为斜边，满足对于任意，有，
(1)设，求的通项公式；
(2)若，求；
(3)证明：在直角三角形序列中，若，则．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【解析】（1）;，
由，，，
由且，，，，均为偶数，得，
又，其中，所以有，
所以有，则
（2）若;;，因为，所以是奇数，则;;，
又，所以是偶数，所以，
同理有，，
，，，
所以，则有．
（3）设中有两个及以上的直角三角形满足互质，
在所有的中，取分母最小者，并在这些分母最小的有理数中取分子最小者，
将得到的有理数记作，设，则，则;;，
它的前序三角形即得到的三角形应为;;或;;，
若，则为偶数，应存在不同的偶数，，使得，
这就有，由于，这与取法矛盾，
若，则为奇数，应存在不同的奇数，，使得，
此时，同样与取法矛盾，
所以假设不成立，故不存在两个及以上的三角形满足，命题得证．
【变式训练2-1】设数列：．已知，定义数表，其中
(1)若，写出；
(2)若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；
(3)若数列与中的1共有个，求证：数表中1的个数不大于．
【变式训练2-2】函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收玫于，定数称为数列的极限，记为．
(1)已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比．
(2)设数列满足，且，证明：．
(3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”．问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”．
题型03： 定义数列新运算问题
【典型例题1】规定：对任一实数，若存在数列和非零实数使得，则可以表示成进制形式，简记为．如表示是一个2进制形式的数，且．
(1)已知（），试将表示成进制的简记形式；
(2)若数列满足：，（），记，是数列的前项和，求；
(3)若常数满足且，，记，求证：．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）因为，则；
（2）因为，
所以，则数列的周期为2，
因为，所以，
且当为偶数时，，即，
因为，
若为奇数，则，
若为偶数，则，
所以
（3），
则，
所以．
【典型例题2】已知，表示不超过x的最大整数，如，，.
(1)若，，，且是无穷数列，求的取值范围；
(2)记.
①若，，，求；
②设，，，证明：，使得时，.
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析.
【解析】（1）分，和讨论即可；
（2）①分析得，则，再计算出，最后代入计算即可；
②分和讨论得，则证明原命题.
（1）若，则不存在，不符合题意，
若，则，从而，符合题意，
若，设，
则不存在，不符合题意，
综上，.
（2）①由题意知，且，
从而，即，则，
所以，
由知为偶数，
所以，
则
.
②若，则，
若，则，
又，
从而，且，使得，
此时，对，得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用根据数列单调性得到，进而分析出.
【典型例题3】在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.

(1)求;
(2)求证:;
(3)如果满足方程，求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)474
【解析】（1）根据图形即可得到结果；
（2）根据题意，由图形分别计算与，然后代入计算，即可证明；
（3）根据题意，将方程转化为，然后化简，分别计算与的值，即可得到结果.
（1）根据图形可知.
（2）固定，则为一个高阶等差数列，且满足
所以
，
所以，，所以
.
（3），
等价于，
等价于，
即，
化简得，
由于增大，也增大，
当时，，
当时，，
故当时，，即
【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解图形的意思，然后转化为数列问题进行解答.
【典型例题4】对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
【答案】(1)172；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【解析】（1）根据给定的数列及变换计算即得.
（2）（i）根据给定的信息依次计算，再作差即得；（ii）是每项均为非负整数的数列，交换数列的第项与第项得到数列，利用已知证明，再结合（i）推理即得.
（1）依题意，，，
.
（2）（i）记，
，
，
，
，所以.
（ii）设是每项均为非负整数的数列，
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则，
当存在，使得时，若记数列为，则，
因此，从而对于任意给定的数列，
由，，由（i）知，
所以.
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
【典型例题5】记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．
(1)若，用表示；
(2)证明：；
(3)若，，，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【解析】
（1）根据新定义，由项系数相等可得；
（2）利用新定义证明即可；
（3）根据多项式的乘法可得，然后利用通项公式整理化简即可得证.
（1）因为
，
且，
所以，由可得，
所以.
（2）因为，
所以
又因为
所以，
所以.
（3）对于，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
.
【点睛】难点点睛：本题属于新定义问题，主要难点在于对新定义的理解，利用多项式的乘法分析，结合通项公式即可得证.
【变式训练3-1】若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为—跳跃数列，记.
(1)若数列为—跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值；
(2)已知为正整数，数列为—跳跃数列.
①若，求数列的前60项的和;
②求的所有不同值的和.
【变式训练3-2】在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
(1)试求，，，的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．
【变式训练3-3】在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”．
(1)若，，求；
(2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
【变式训练3-4】有穷数列中，令，
(1)已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；
(2)已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；
(3)已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.
【变式训练3-5】对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
【变式训练3-6】已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
【变式训练3-7】大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前n项和为．
(1)求；
(2)是否存在不同的实数，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；
(3)若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．
【变式训练3-8】我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列.
已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作.
(1)设数列，请写出的所有可能的结果；
(2)求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次；
(3)设数列，求的可能结果，并说明理由.
【变式训练3-9】在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距．对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表．
消费者每次的还价组成一个数列bn．
(1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式；
(2)若实际价格b与定出a的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润？
【变式训练3-10】设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，定义.
(1)当时，若，直接写出所有使同时成立的的元素；
(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素.求集合中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.
【变式训练3-11】设n为正整数，集合A=，，，，，．对于集合A中的任意元素和，记．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，对于中的任意两个不同的元素，，证明：．
（Ⅲ）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由．
【变式训练3-12】已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数.
（1）若，求集合和，以及的值；
（2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合
①求证：；
②求的最小值.
【变式训练3-13】已知（），对于，，，定义A与之间的距离为.
(1)若，，写出一组，的值，使得；
(2)证明：对于任意的，，，；
(3)若，若，求所有之和.
【变式训练3-14】已知数列的前项和分别为，定义数列的“关联数列”为，且.
(1)若.求；
(2)若，求的值；
(3)已知当时，，当且仅当时“”成立.若数列为正项数列，且，，证明：.
【变式训练3-15】定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为.
(1)若，，，求，；
(2)若，求正整数n的最小值；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由.
【变式训练3-16】卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律．
(1)若，，，求，，，；
(2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得；
(3)若，，证明：当时，．
题型04：定义新性质
【典型例题1】如果无穷数列满足“对任意正整数,都存在正整数,使得”,则称数列具有“性质”.
(1)若等比数列的前项和为,且公比,求证：数列具有“性质”；
(2)若等差数列的首项,公差,求证：数列具有“性质”,当且仅当；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”,且四个数中恰有两个出现在数列中,求的所有可能取值之和.
【答案】见解析
【解析】（1）
解得：则即
且若则
则当对任意正整数,都存在正整数使得
则等比数列an满足性质.
（2）因为数列bn具有“性质”,
则
若数列具有性质则,
则,
又则
则,
,
则,
又则当时上式成立,
当时.,
则
因为则时,则则则则
反之,若则则上面各式成立,则数列bn具有“性质”
综上数列bn具有“性质”,当且仅当.
（3）从这四个数中任选两个,共有以下6种情况：,；,；
,; ,; ,; ,.
①对于, 因为为正整数,可以认为an是等比数列中的项,,首项的最小值为1.
下面说明此数列具有性质P：
=,=,任取,,则,
为正整数,因此此数列具有性质P,
②对于,.因为为正整数,认为是等比数列an中的项,,
首项的最小值为,下面说明此数列不具有性质P：
,,若不为等比数列an中的项,
因此此数列不具有性质P,同理可得,；,；,；,
每组所在等比数列an不具有“性质P’’
【典型例题2】定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”.
(1)若，且，写出所有可能的的值；
(2)若，证明：“”是“”的充要条件；
(3)若，证明：或.
【答案】(1)；；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由数列的性质得出，进一步结合的定义即可得解；
（2）结合新定义，分必要性、充分性两方面证明即可；
（3）由数列的性质，得出4整除，即或，然后回过头去检验是否满足题意即可.
（1）依题意，若，此时；
若，此时；
若，此时.
（2）必要性：因为，故数列为等差数列，
所以，公差为-1，
所以；
充分性：由于，
累加可得，，即，
因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以，
所以，
综上所述，“”是“”的充要条件.
（3）令，依题意，，
因为，
所以
，
因为，所以为偶数，
所以为偶数；
所以要使，必须使为偶数，即4整除，
亦即或，
当时，比如或，时，有；
当时，比如或，时，有；
当或时，不能被4整除，.
【点睛】关键点点睛：想要完美的做出此题，关键在于对数列的新性质以及的定义有深刻的理解，由此即可顺利得解.
【典型例题3】设为1,2,3,…,n的一个排列,若该排列中有且仅有一个i满足,则称该排列满足性质T．对任意正整数n,记为满足性质T的排列的个数．
(1)求的值；
(2)若,求满足性质T的所有排列的情形；
(3)求数列的通项公式．
【答案】见解析
【解析】（1）由性质T的定义可知：
当时,由1构成的排列不满足性质,故；
当时,由1,2构成的排列有,2,1,其中排列2,1满足性质T,故；
当时,由1,2,3构成的所有排列为：,
其中满足性质T的排列有：,所以；
（2）若,由1,2,3,4构成的所有种排列中,
符合性质T的排列有：,
,
（3）由（1）、（2）可得：,同理可得；
所以,
∴归纳出,证明：∵在1,2,…,n的所有排列中,
若,从个数1,2,3,…,中选个数,
将所选数值按从小到大的顺序排在的前面,即﹐
再将余下的数按从小到大的顺序排列在的后面,
则该排列满足性质T,∴满足题意的排列个数为,,
若,则只需将排列成满足性质T的的排列,在其后面加上即可得到满足条件的排列,满足题意的排列个数为,
综上：,即,
∴
,故数列的通项公式为．
【典型例题4】若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明：
(1)数列为等比数列；
(2)数列具有性质.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）设，求出和，求出和的关系即可证明；
（2）由（1）求出，求出，设数列即可证明.
（1）设，则，
.
因此数列是首项为，公比为的等比数列，且；
（2）由（1），，所以，
取数列，则是等比数列，
并且，因此集合，
所以数列具有性质.
【典型例题5】基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
【答案】(1)最小项为
(2)数列具有性质，理由见解析．
(3)证明见解析
【解析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；
（2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②；
（3）结合二项式定理及n元基本不等式求解.
（1），当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
（2）数列具有性质．
，
，
数列满足条件①．
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
（3）先证数列满足条件①：
．
当时，
则，
数列满足条件①．
再证数列满足条件②：
（，等号取不到）
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列.
【变式训练4-1】已知数列：，，…，（，）具有性质：对任意，（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和.
(1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质；
(2)证明：，且；
(3)证明：当时，，，，，成等差数列.
【变式训练4-2】已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质.
(1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）
①；
②.
(2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；
(3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式.
【变式训练4-3】数列有100项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
(1)若，，求可能的值；
(2)数列中不存在具有性质的项，求证：是等差数列；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用，，表示.
【变式训练4-4】对于无穷数列，“若存在（、，且），必有”，则称数列具有性质.
(1)若数列满足，判断数列是否具有性质？数列是否具有性质？
(2)对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集
(3)已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
【变式训练4-5】若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
(1)已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
(2)若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
(3)记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.
【变式训练4-6】已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：；
(3)若满足，证明：．
【变式训练4-7】对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得．
(1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由；
(2)若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质．
①若，求的取值范围；
②求证：存在的子数列为等差数列．
【变式训练4-8】数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当（）时命题成立；2.假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有自然数n都成立.已知有穷递增数列，，，且.定义：集合，若对，，使得，则称具有性质T.
(1)若数列，1，2，m（）具有性质T，求实数m的值；
(2)若具有性质T，且，，
（ⅰ）猜想当时的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；
（ⅱ）求（）.
【变式训练4-9】已知无穷正项数列单调递增，其首项记为，.若，，其中为正整数集的子集，称数列在内满足性质；若，，称数列在内满足性质；若，，则数列在内满足性质.
(1)若，判断数列具有哪种性质，并说明理由；
(2)若数列具有性质，证明：时，；
(3)若数列是正整数数列，表示有限集合中元素的个数，求证：若数列满足性质，则．
【变式训练4-10】对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求数列的前项和；
(2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
(3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.
【变式训练4-11】设集合，其中.若集合满足对于任意的两个非空集合，都有集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，求证：；
(3)若集合具有性质，求的最大值.
【变式训练4-12】正实数构成的集合，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质.
(1)判断集合，是否具有性质；
(2)若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【变式训练4-13】若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
【变式训练4-14】若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明：
(1)数列为等比数列；
(2)数列具有性质.
【变式训练4-15】若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
【变式训练4-16】已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
(1)判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.
(2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
(3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
【变式训练4-17】已知有限数列，若满足，m是项数，则称满足性质.
(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质，请说明理由；
(2)若数列是，公比为的等比数列，项数为10，且具有性质，求的取值范围.
【变式训练4-18】已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质，且，求的值；
(2)若，判断数列是否具有性质并证明；
(3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式.
题型05：定义新数列
【典型例题1】若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为.
(1)若，，，求的值；
(2)定义数列满足：，，2，3，…，m.
（i）证明：数列是一个项数为的对数等和数列；
（ii）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）由题干信息可得，即可得答案；
（2）（i）注意到，即可证明结论；
（ii）由题可得表达式，后由裂项求和法可得答案.
（1）依题意，又，
所以，即.
（2）（i）依题意，则，因此，
从而，即数列是一个项数为的对数等和数列.
（ii）依题意，，
即，即， 则，
又，故，即，
此时，即，，
注意到，
所以.
【典型例题2】在无穷数列中，若，且，则称数列为“数列”，设为“数列”，记的前项和为．
(1)，求的值；
(2)若，求的值；
(3)证明：中总有一项为1或2．
【答案】(1)
(2)18；38；
(3)证明见解析
【解析】（1）根据以及数列的递推关系，分类讨论的值分别求解可得；
（2）按照递推关系依次求解各项，得到第6项开始的周期规律，再由等差特点求可得；
（3）利用反证法先证明：一定存在某个，使得成立，再验证当时，存在某项为或.
（1）数列满足，
①若，则,
所以不满足，②若，不是完全平方数，
则，也不是完全平方数，
则，所以，满足题意；
③若，不是完全平方数，
则是完全平方数，
则，所以，满足题意；
④若，是完全平方数，
则，不是完全平方数，
则，所以，满足题意；
⑤若，且，
若不是完全平方数，则，
则，则，若是完全平方数，
则，，，
所以；故都不满足题意；
综上，；
（2）当时，由不是完全平方数，
则不是完全平方数，
则不是完全平方数，
则不是完全平方数，
则是完全平方数，
则不是完全平方数，，
由递推关系可得中的各项依次为，
即数列从第6项开始每3项是一个周期，
所以，，
当时，，
故是以为首项，为公差的等差数列，
所以时，，
所以,；
（3）首先证明：一定存在某个，使得成立，
用反证法证明，假设对每一个，都有，
若是完全平方数时，必有，
若不是完全平方数时，则必存在，使得为完全平方数，
则存在不小于的最小的完全平方数，满足．
即存在，使得，则，
即每一个完全平方项及其后一项递减，如此进行下去，必出现小于或等于4的项，
这与对每一个，都有矛盾，
所以必定存在某个，使得成立，
经检验，当时，中出现1，
当时，中出现2，
当时，，中出现2，
当时，，中出现2，
综上，中总有一项为1或2．
【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于按照递推关系依次求解各项，得到第6项开始的周期规律，（3）关键在于利用反证法先证明：一定存在某个，使得成立.
【典型例题3】已知数列共有项,且,若满足,则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.
(1)当时,写出所有满足的“约束数列”；
(2)当时,设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件,并说明理由；
(3)当时,求的最大值.
【答案】见解析
【解析】（1）当时,所有满足的“约束数列”有：
①；②；③
（2）是的充分不必要条件.理由：
①当时,.
则,
当且仅当时,成立,
“约束数列”an是公差为1的等差数列
②当“约束数列”an是等差数列时,由,
得,或,或,
若,则an的公差为；
若,则an的公差为；
若,则an的公差为,
即当“约束数列”an是等差数列时,或或2024.
由①②,得是的充分不必要条件.
（3）要使得取最大值,则,
当且仅当同时满足以下三个条件时,取最大值.
①当时,；②当时,；
③当时,.
.
【典型例题4】设为正整数，若无穷数列满足，则称为数列.
(1)数列是否为数列？说明理由；
(2)已知其中为常数.若数列为数列，求；
(3)已知数列满足，，，求.
【答案】见解析
【解析】(1)∵ ，∴ ，
符合 的定义，故数列 是数列；
(2)依题意， ， ，
因为 是 数列， ， ，
， ；
(3)∵ 是 数列， ， ，
…①，
， …②
由①②得 ，
∴猜想是首项为-5，公差为1的等差数列，即 ，
检验： ，∴是数列；
，∴是 数列；
，∴是 数列，
并且 ，（），
∴ ， 符合题意，
故 ，
综上， 是数列，， ，.
【典型例题5】若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
【答案】见解析
【解析】（1）（ⅰ）由，可得，
所以数列是首项为公差为1的等差数列，
所以，
又因为，所以.
（ⅱ），
设，，
，，
所以，
.
（2）若是M数列，有，
故，且，
即
，
则
，
由随的增大而增大，
若，可得，
因为，故对任意的，总存在正整数使，
即总存在正整数n，使得.
【变式训练5-1】数列满足：是等比数列，，且．
(1)求；
(2)求集合中所有元素的和；
(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
【变式训练5-2】已知数列，设，若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数､､，都有，则称数列为“梦想数列”.
(1)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
(3)判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由.
【变式训练5-3】已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
【变式训练5-4】若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.
【变式训练5-5】已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）．
(1)求数列的前项和；
(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明：
①对任意且，存在“-数列”，使得成立；
②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．
【变式训练5-6】若有穷数列满足：且,则称其为“阶数列”.
(1)若“6阶数列”为等比数列,写出该数列的各项；
(2)若某“阶数列”为等差数列,求该数列的通项（,用表示）；
(3)记“阶数列”的前项和为,若存在,使,试问：数列能否为“阶数列”？若能,求出所有这样的数列；若不能,请说明理由.
【变式训练5-7】对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1﹣an（n∈N*），规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an＝△an+1﹣△an（n∈N*）.
（1）数列{an}的通项公式（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？
（2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.
【变式训练5-8】我们把满足下列条件的数列称为数列：
①数列的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m,使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
(1)若a,b,c是公差为2的等差数列,求证：a,b,c不是数列；
(2)若数列满足对任意正整数p,q,恒有,且,判断数列是否是数列,并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列共有100项,且对任意,恒有,若数列为数列,求满足条件的所有两位数k值的和．
【变式训练5-9】如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比都大于3,则称这个数列为“型数列”.
(1)若数列满足,判断是否为“型数列”,并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”,,数列满足,n∈N*,是等比数列,公比为正整数,且不是“型数列”,
①求证：数列为递增数列；
②求数列的通项公式.
【变式训练5-10】对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列.
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前n项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差.
【变式训练5-11】在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零.
(1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式；
(2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式；
(3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”.
【变式训练5-12】若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”.
(1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围；
(2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由；
(3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，.
【变式训练5-13】已知数列的前项和为，若，其中，，则称为“数列”.
(1)若是“数列”，求满足条件的一个；
(2)若是“数列”，且，证明：；
(3)是否存在等差数列是“数列”？若存在，求出所有满足条件的，并指出取最小值时的通项；若不存在，请说明理由
【变式训练5-14】定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列.
(1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由；
(2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列；
(3)若、都是和谐数列，证明也是和谐数列.
【变式训练5-15】若数列满足：存在和，使得对任意和，都有，则称数列为“数列”；如果数列满足：存在，使得对任意，都有，则称数列为“数列”；
(1)在下列情况下，分别判断是否“数列”，是否“数列”？①，，；②，；
(2)若数列，是“数列”，其中且，求的所有可能值；
(3)设“数列”和“数列”的各项均为正数，定义分段函数，如下：记为“不超过的最大正整数”，证明：若是周期函数，则是“数列”.
【变式训练5-16】已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或
(1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”；
(2)己知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；
(3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．
【变式训练5-17】对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
【变式训练5-18】给定数列，若满足 且 ，且对于任意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”. 若数列 满足: ，，.
(1)判断数列 是否为“指数型数列” ? 若是，给出证明; 若不是，请说明理由;
(2)若 ，求数列的前 项和 .
【变式训练5-19】设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
(3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．
【变式训练5-20】已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
【变式训练5-21】设数列，如果，且，，对于，，使成立，则称数列为数列．
(1)分别判断数列和数列是否是数列，并说明理由；
(2)若数列是数列，且，求的最小值；
(3)若数列是数列，且，求的最大值．
【变式训练5-22】已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
(1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；
(2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
(3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
【变式训练5-23】对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；
(3)已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.
【变式训练5-24】设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.
例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)若数列的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前50项之和；
(3)若数列的前n项和（其中为常数），求数列的伴随数列的前项和.
【变式训练5-25】数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.
（1）设 是首项为2，公差为2的等差数列，证明为“3阶可分拆数列”；
（2）设数列的前项和为，若数列为“阶可分拆数列”，求实数的值；
（3）设，试探求是否存在使得若数列为“阶可分拆数列”．若存在，请求出所有，若不存在，请说明理由．
【变式训练5-26】定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
【变式训练5-27】设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：
①；②.
(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；
(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；
(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
【变式训练5-28】设数列的各项为互不相等的正整数，前项和为，称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“好”数列.
(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，并给出证明；
(2)已知数列为“好”数列，其前项和为.
①若，求数列的通项公式；
②若，且对任意给定的正整数，，有，，成等比数列，求证：.
【变式训练5-29】已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
【变式训练5-30】若有穷数列（是正整数），满足（，且，就称该数列为“数列”.
(1)已知数列是项数为7的数列，且成等比数列，，试写出的每一项；
(2)已知是项数为的数列，且构成首项为100，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
(3)对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求这些数列的前2024项和.
【变式训练5-31】若无穷数列满足，则称数列为数列，若数列同时满足，则称数列为数列．
(1)若数列为数列，，证明：当时，数列为递增数列的充要条件是；
(2)若数列为数列，，记，且对任意的，都有，求数列的通项公式．
【变式训练5-32】在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列．
(1)若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和；
(2)若为阶等比数列，求证：为阶等差数列；
(3)若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列．
【变式训练5-33】已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．
(1)若，请写出数列的前5项；
(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；
(3)若，2，3，，求数列的通项公式．
【变式训练5-34】若正整数的二进制表示是，这里()，称有穷数列1，，，，为的生成数列，设是一个给定的实数，称为的生成数.
（1）求的生成数列的项数；
（2）求由的生成数列，，，的前项的和(用､表示)；
（3）若实数满足，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数满足.
【变式训练5-35】若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，2，1，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
(3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证为“等比源数列”．
【变式训练5-36】已知为无穷数列，给出以下二个定义：
I.若对任意的，总存在i，且，使成立，则称为“H数列”；
II.若为“H数列”，且对任意的，总存在唯一的有序数对使成立，则称为“强H数列”；
(1)若，判断数列是否为“H数列”，说明理由；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得数列存在且不为常数列，求同时满足所选两个条件的所有数列的通项公式
条件①：为等差数列；
条件②：为等比数列；
条件③：为“强H数列”．
【变式训练5-37】给定正整数，定义M数列：，，…，，如下：（，1，2，…n）等于，，…，中k出现的次数.
(1)若，M数列为：3，，，1，0，0，0，求，；
(2)证明：存在M数列，且满足；
(3)证明：M数列是唯一的.
【变式训练5-38】已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．
(1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．
【变式训练5-39】若有穷数列且满足，则称为M数列．
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．
【变式训练5-40】已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；
(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；
(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）
【变式训练5-41】记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.
(1)已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
(2)已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；
(3)若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.
【变式训练5-42】设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”.
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中，3，，.
(3)如果，且对于任意，3，，，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值.
【变式训练5-43】如果正项有穷数列满足，即，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，，与数列3，2，1，，都是“1的对称数列”．
(1)设是项数为8的“1的对称数列”，其中是等差数列，且，请依次写出的每一项；
(2)设数列是13项的“1的对称数列”，其中是等比数列，，求数列的所有项和的最小值；
(3)设数列是项的“1的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和．（注：）
【变式训练5-44】设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积.
(1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及；
(2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项；
(3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列.
【变式训练5-45】已知为非零常数，，若对，则称数列为数列．
(1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列；
(2)设，若为数列，证明：；
(3)若为数列，证明：，使得．
【变式训练5-46】如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
(1)若，求的值；
(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
【变式训练5-47】对于数列,如果存在正整数,当任意正整数时均有,则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数,则称为的“无限递增相伴数列”．
(1)已知,请写出一个数列的“无限递增相伴数列”,并说明理由？
(2)若满足,其中是首项的等差数列,当为的“无限递增相伴数列”时,求的通项公式：
(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：,其中k是正整数,求证：存在正整数k,使得为的“2024项递增相伴数列”．
【变式训练5-48】若无穷数列满足：对于,其中为常数,则称数列为数列．
(1)若一个公比为的等比数列为“数列”,求的值；
(2)若是首项为1,公比为3的等比数列,在与之间依次插入数列中的项构成新数列,求数列中前30项的和．
(3)若一个“数列"满足,设数列的前项和为．是否存在正整数,使不等式对一切都成立？若存在,求出的值；若不存在,说明理由．
【变式训练5-49】数列的前n项和为,若存在正整数r,t,且,使得,同时则称数列为“数列”．
(1)若首项为3,公差为d的等差数列是“数列”,求d的值；
(2)已知数列为等比数列,公比为q．
①若数列为“数列”,,求q的值；
②若数列为“数列”,,求证：r为奇数,t为偶数．
【变式训练5-50】数列的前项的最大值记为,即；前项的最小值记为,即,令,并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为,求证：；
(2)若,求其生成数列的前项和．
题型06：新应用
【典型例题1】已知实数，定义数列如下：如果，，则．
(1)求和（用表示）；
(2)令，证明：；
(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）因为，所以；
因为，所以；
（2）由数列定义得：；所以．
而，
所以；
（3）当，由（2）可知，无上界，故对任意，存在，使得．
设是满足的最小正整数．下面证明．
①若是偶数，设，
则，于是．
因为，所以．
②若是奇数，设，
则．
所以．
综上所述，对于任意正整数，存在正整数，使得．
【典型例题2】已知实数数列满足：.
(1)若，，求，的值；
(2)试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；
(3)若数列中的各项均不为0，记前2022项中值为负数的项个数为m，求m所有可能的取值.
【答案】见解析
【解析】(1)解：因为，，，所以，
所以，
所以，解得，
所以；
(2)证明：假设数列的项都是正数，即，，，
所以，，与假设矛盾，
故数列的项不可能全是正数，
假设数列的项都是负数，则，而，与假设矛盾，
故数列的项不可能全是负数，
所以的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)解：由（2）可知数列中项既有负数也有正数，
且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．
因此存在最小的正整数满足，．
设，，
则，，，，，，，，，
故有，即数列是周期为9的数列，
由上可知，，， 这9项中，，为负数，，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数，
因为，
所以当时，即或；
记，，，这项中负数项的个数，
当，3，4 时，若，则，故为负数，
此时，；
若，则，故为负数．
此时，，综上可知的取值集合为．
【变式训练6-1】对于无穷数列，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列.
(1)已知无穷数列是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(2)若无穷数列和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
【变式训练6-2】已知数列满足，
（1）若求数列的通项公式；
（2）若，记，证明：.
【变式训练6-3】已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
题型07：集合背景中的数列新定义问题
不少数列问题,常使用集合语言进行“包装”,求解此类问题的关键是把问题还原为数列问题.
【典型例题1】已知数列,记集合.
(1)对于数列,写出集合；
(2)若,是否存在,使得?若存在,求出一组符合条件的,若不存在,说明理由；
(3)若,把集合中的元素从小到大排列,得到的新数列为,若,求的最大值.
【答案】见解析
【解析】（1）因为数列,
所以,,,
所以
（2）假设存在,使得,则有
,
由于与奇偶性相同,所以与奇偶性不同,
又因为,,所以中必有大于等于3的奇数因子
这与无1以外的奇数因子矛盾,故不存在,使得；
（3）由题意得,
当,时,,
除,外,,,
其中与一奇一偶,则能拆成奇数与偶数之乘积,
在正偶数中,只有无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积,
又中的元素均为偶数,故,
故2至2024偶数中除去4,8,16,32,64,128,256,512,1024,
所以,故的最大值为．
【典型例题2】已知数集（）,若对任意的（）,与两数中至少有一个属于A,则称数集A具有性质P．
(1)分别判断数集B=与数集C=是否具有性质,并说明理由；
(2)若数集A具有性质P．
①当时,证明,且成等比数列；
②证明：．
【答案】见解析
【解析】（1）数集具有性质,不具有性质,理由如下：
因为,,,,,都属于数集,所以具有性质；
因为,都不属于数集,所以不具有性质．
（2）①当时,,．
因为,所以,,所以与都不属于A,
因此,,所以．
因为,且,所以,
且,所以,所以成等比数列．
②因为具有性质,所以,至少有一个属于A,
因为,所以,,因此,．
因为,所以（）,
故当时,,,（）,
又因为,
则,,,,,
可得,
所以.
【典型例题3】集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和,定义和集,用符号表示和集内的元素个数.
(1)已知集合,,,若,求的值；
(2)记集合,,,为Cn中所有元素之和,,求证：；
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明：若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
【答案】见解析
【解析】（1）由题：,
所以,,且,
从而,,,故.
（2）若,,,,使,其中,,,,
则,故,.
,
,
.
（3）设集合,,其中,.
则,
这里共个不同元素,又,所以上面为和集中的所有元素.
又,
这里共个不同元素,也为合集中的所有元素,
所以有,即.
一般地,由,
,
可得,即.
同理可得,得证.
【典型例题4】已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．
(1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；
(2)若，证明：；
(3)设，若，求的最小值．
【答案】(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)8
【解析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；
（2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明；
（3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
（1）31是，1024不是，理由如下：
由题意可知，
当时，有，
显然若时，，
而，
故31是可表数，1024不是可表数；
（2）由题意可知若，即，
设，即使得，
所以，且成立，故，
所以若，则，
即中的元素个数不能超过中的元素，
对于确定的，中最多有个元素，
所以；
（3）由题意可设，使，
又，
所以，即，
而，
即当时，取时，为可表数，
因为，
由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，
使，
所以
，
令，则有，
设，
由的任意性，对任意的，
都有，
又因为，所以对于任意的，为可表数，
综上，可知的最小值为，其中满足，
又当时，，
所以的最小值为.
【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
【典型例题5】已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
(1)若，写出及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，求证：且.
【答案】(1)，，，；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，则，所以，，又，所以，，所以；
（2）由题可知，所以，所以.若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.
假设存在使得.设，由得.由得，，与是等差数列矛盾.所以对任意都有.所以数列是等差数列，.
（3）因为对于，，所以.所以，即数列是递增数列.
先证明.假设，设正整数.由于，故存在正整数使得，所以.
因为是各项均为正整数的递增数列，所以.所以，.所以，.又因为数列是递增数列，所以，矛盾.所以.再证明.由题可知.设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得.令.若，则，即，所以.所以，所以.若，则，所以.所以，所以.因为，所以.所以.综上，且.
【变式训练7-1】已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)求证：；
(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．
【变式训练7-2】数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；
(1)若集合，求当时，的值；
(2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；
(3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）．
【变式训练7-3】已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
【变式训练7-4】对于数集（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称具有性质．
(1)若，且集合具有性质，求的值；
(2)若具有性质，求证：；且若成立，则；
(3)若具有性质，且为常数，求数列的通项公式．
【变式训练7-5】设有限数列，定义集合为数列的伴随集合．
（Ⅰ）已知有限数列和数列．分别写出和的伴随集合；
（Ⅱ）已知有限等比数列，求的伴随集合中各元素之和；
（Ⅲ）已知有限等差数列，判断是否能同时属于的伴随集合，并说明理由．
【变式训练7-6】已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①； ②．
(2)若是的3元完美子集，求的最小值；
(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．
【变式训练7-7】若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质．
(1)判断集合，是否具有性质；（只需写出结论）
(2)已知集合（）具有性质．
（）求；
（）证明：．
【变式训练7-8】对任意正整数，记集合均为非负整数．且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有．则记．
(1)写出集合和；
(2)证明：对任意，存在，使得；
(3)设集合．求证：中的元素个数是完全平方数．
【变式训练7-9】已知集合是集合的一个含有个元素的子集.
（Ⅰ）当时,
设
（i）写出方程的解；
（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.
（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.
【变式训练7-10】设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
【变式训练7-11】已知集合．给定数列,和序列,其中,对数列进行如下变换：将的第项均加1,其余项不变,得到的数列记作；将的第项均加1,其余项不变,得到数列记作；……；以此类推,得到,简记为．
(1)给定数列和序列,写出；
(2)是否存在序列,使得为,若存在,写出一个符合条件的；若不存在,请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数,且为偶数,求证：“存在序列,使得的各项都相等”的充要条件为“”．
【变式训练7-12】数列是正项递增数列,由数列中所有项构成集合A,它的任意一个子集记为,定义集合B是每一个子集中的所有数之和（即分别写出1个数,2个数,……n个数之和）.
(1)若,写出,以及集合B；
(2),将集合B中的元素分成n组,要求每组中最大项与最小项之比不超过2,证明一个符合题意的分组；
(3),将集合B中的元素分成n组,要求与（2）相同,证明存在这个分组.
题型08：高等数学背景里论
【典型例题1】约数,又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（）除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a为m的倍数,称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数,即为,,⋯,,（）．
(1)当时,是否存在,,…,构成等比数列,若存在请写出一个满足条件的正整数a的值,若不存在请说明理由；
(2)当时,若,,⋯构成等比数列,求正整数a．
(3)当时,若,,…,是a的所有正约数的一个排列,那么,,,⋯,是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】（1）存在,比如1,2,4,8,16为16的所有约数．
（2）由题意得,,,,
,依题意可知
,化简可得因此可知是完全平方数,
由于是整数a的最小非1因子,所以
所以,,…为,,⋯,,因此
（3）假设,,,⋯,是另一个正整数b的所有正约数的一个排列．
,,
易知（）,而,故,又知,所以b是奇数．
所以为奇数,又,故是偶数
其中A中最大的两个元素为a,,显然B中每个元素都不超过,
特别地,,设,,其中（因为a有k（）个正约数,）
于是B中存在两个元素,,它们都大于,进而都大于且都是b的约数．
这表明b可以被2整除,与b为奇数矛盾．因此假设不成立．
【典型例题2】表示正整数a,b的最大公约数,若,且,,则将k的最大值记为,例如：,．
(1)求,,；
(2)设．
（i）求数列的通项公式,
（ii）设,求数列的前n项和．
【答案】见解析
【解析】（1）依题意可得：表示所有不超过正整数,且与互质的正整数的个数,
因为与互质的数为,所以；
因为与互质的数为,,所以；
因为与互质的数为,,所以．
（2）（i）因为中与互质的正整数只有奇数,所以中与互质的正整数个数为,所以,所以．
（ii）因为,
所以,
,
所以．
【典型例题3】对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.
(1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；
(2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；
(3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列；
（2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论；
（3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论.
（1）由题意，各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为：
，，，
（2）由题意，
假设不存在使得成立，
根据数列定义可知，，
所以，则，
即，
所以，所以，这与已知矛盾，
故若此数列中存在使得，
则存在使得成立．
（3）由题意，必要性：
，，，
则．
因为为单调递增数列，
所以对所有的，或，
否则．
因此，所有的同号或为，即，
所以为单调递增数列．
充分性：
因为为单调递增数列，，且，
所以只能，所以同号或为，
所以对所有的，或，
所以．
所以，即为单调递增数列．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，数列的单调性证明，反证法，考查学生的分析证明能力，具有较强的综合性.
【典型例题4】已知无穷数列中，，记，，．
(1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值；
(2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数；
(3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列．
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）根据定义可求出的值；
（2）令（周期），结合新定义，即可求证；
（3）根据定义分别证明充分性和必要性，d为非负整数，是公差为d的等差数列，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列.
（1），，，．
（2）证明：不妨设的周期为，
记，，
则当时，是常数，
记，使得当时，是常数，结论正确．
（3）证明：充分性；
若为公差为的等差数列，则
于是，．
因此，
必要性：因为，
，，
，于是，．
因此．
故数列是公差为的等差数列．
【点睛】思路点睛：此题考查数列相关的新定义问题，涉及求值和证明，证明一个条件是另一个条件的充要条件时一定要考虑完充分性和必要性.
【典型例题5】设正整数，有穷数列满足，且，定义积值
(1)若时，数列与数列的S的值分别为，
①试比较与的大小关系；
②若数列的S满足，请写出一个满足条件的
(2)若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明；
(3)求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明.
【答案】(1)①②（答案不唯一）
(2)，证明见解析
(3)的最大值为1，当且仅当时，取到最大值，证明见解析
【解析】（1）①根据定义求出两个积值，比较大小；②只要写出满足条件的一个解就可以了，注意限制条件；
（2）根据调整，对两个积值做差，根据限制条件可比较大小；
（3）利用基本不等式计算可得；
（1）①依题意可得，，所以；
②不妨令为（答案不唯一），则，
因为，，符合题意.
（2）；
证明：不妨设，则；
则；
所以
；
所以；
（3）的最大值为1，当且仅当时，取到最大值.
证明：因为，且；
所以；
当且仅当时，等号成立.
【点睛】关键点点睛：对于新定义类问题解题关键在于理解新定义，第三问的关键是利用基本不等式.
【变式训练8-1】已知等差数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．
（说明：）
【变式训练8-2】若无穷数列满足，是正实数，当时，，则称是“数列”.
(1)若是“数列”且，写出的所有可能值；
(2)设是“数列”，证明：是等差数列充要条件是单调递减；是等比数列充要条件是单调递增；
(3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.
【变式训练8-3】设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
(1)若，写出的值；
(2)若，求；
(3)设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．
【变式训练8-4】设数列的前项和为，已知，且．
(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．
【变式训练8-5】在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，…
(1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001）
(2)证明：是严格减数列；
(3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值.
【变式训练8-6】定义：已知数列满足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得．
【变式训练8-7】表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知时，.
（i）求；
（ii）设，数列的前n项和为，证明：.
【变式训练8-8】“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意，
(1)计算：；
(2)证明：对于任意，
(3)证明：对于任意，
【变式训练8-9】在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
(1)试求，，，的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．
【变式训练8-10】设正整数，有穷数列满足，且，定义积值
(1)若时，数列与数列的S的值分别为，
①试比较与的大小关系；
②若数列的S满足，请写出一个满足条件的
(2)若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明；
(3)求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明.
【变式训练8-11】如图，将数字1，2，3，…，全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为，，…，，第二行填入的数字依次为，，…，．记．
(1)当时，若，，，写出的所有可能的取值；
(2)给定正整数n，试给出，，…，的一组取值，使得无论，，…，填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；
(3)给定正整数n，求证：对于满足要求的任何填法，取值的奇偶性相同．
【变式训练8-12】在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为.
(1)求数列通项公式;
(2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为，
①求和的值;
②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由.
【变式训练8-13】北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式．现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前n项和为，数列的前n和为，且满足．

(1)求数列的前n项和；
(2)记，求数列的前n项和．
【变式训练8-14】在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.
(1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此时的信息熵.
【变式训练8-15】龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A和B两个套餐服务,顾客可选择A和B两个套餐之一,并在App平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：.
(1)因为优惠券购买火爆,App平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,已知销售量y和日期t呈线性关系,现剔除第10天数据,求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为,并且A套餐可以用一张优惠券,B套餐可以用两张优惠券,记App平台累计销售优惠券为n张的概率为,求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列.
①求的最值；
②数列收敛的定义：已知数列,若对于任意给定的正数,总存在正整数,使得当时,,（是一个确定的实数）,则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛．
参考公式： .
【变式训练8-16】信息论之父香农（Shannn）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出,任何信息都存在冗余,冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关,香农借鉴了热力学的概念,把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”,并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量X所有取值为,且,定义的信息熵
(1)当时,求的值；
(2)当时,若,探究与的关系,并说明理由；
(3)若,求此时的信息摘．
题型09： 切线法与牛顿数列应用
【典型例题1】（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，这个数列叫做牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递减数列D．
【答案】ABD
【解析】，
所以在点处的切线方程为：，
令0，得，故A正确；
由于，
所以，，，
∴，故B正确．
，故，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故C错误．
所以，D正确．故选：ABD.
【典型例题2】记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.
(1)求；
(2)证明数列是等比数列并求；
(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.
【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3)
【解析】（1）因为，则，从而有，
由，则，
则，解得则有，所以；
（2）由，则，
所以，
故（非零常数），且，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；
（3）由等比数列的前n项和公式得：，
因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，令，，
则，当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
又，且，，，则，
当n为偶数时，原式化简为，所以当时，；
当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以；
综上可知，.
【变式训练9-1】牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值；一直继续下去，得到.一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列.
(1)若函数的零点为.求的2次近似值；
(2)设是函数的两个零点，数列为函数的牛顿数列，数列满足.
（i）求证：数列为等比数列；
（ii）证明：.
【变式训练9-2】物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数 的最小值；（参考数据：）
(3)在（2）的前提下，设，直线与曲线有且只有两个公共点，其中，求的值．
题型10： 差分数列与对称数列应用
【典型例题1】对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和 ．
【答案】
【解析】因为为的二阶差分数列，即，
由，故，
可知，即，
得，所以，
又，故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，
所以①，
得②，
得，
故．
【典型例题2】我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）．
(1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式；
(2)若阶等差数列的通项公式．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求数列的前项和．
附：．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（1）数列的一阶差分数列为，
二阶差分数列为，为非零常数列，
所以，即，且，
所以数列是首项为1、公差为4的等差数列，
所以，即，且，
所以当时，
，
当时，，也满足上式，
综上，数列的通项公式为．
（2）（ⅰ），所以，
，
所以，
所以，
所以数列是4阶等差数列，即．
（ⅱ）
，
所以，
又
，
所以
．
【变式训练10-1】如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?
②若，且，求的最小值.
【变式训练10-2】若n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”．
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，，若成等差数列，且，试写出所有可能的数列．
(2)已知递增数列的前n项和为，且．
①求的通项公式；
②组合数具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记，求．
题型11：矩阵
【典型例题1】将个实数排成行列的数阵形式如下；
(1)当时，若每一行每一列均构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和；
(2)若，且每一行均为公差相同的等差数列，每一列均为公比为的等比数列.已知，，，设，求的值.
【答案】(1)245
(2)
【解析】（1）根据等差数列求和与等差中项的性质，可得答案；
（2）根据等差数列与等比数列的性质，求得公比与公差，结合错位相减法，可得答案.
（1）由题意，且每一行都成等差数列则有：
，
，……，，
则有，
又因为每一列成等差数列，故有，
即.
（2）由题意每一行均为等差数列，设第二行的公差为，
则有，故，
从而可得第二行的通项公式，
所以，又因为每一列均为公比为的等比数列，且，
又因为，故，
即有，从而有，
故
所以
即.
【典型例题2】已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：
①；
②对任意，存在，使得，则称为数表．
(1)判断是否为数表，并求的值；
(2)若数表满足，求中各数之和的最小值；
(3)证明：对任意数表，存在，使得．
【答案】(1)是；
(2)
(3)证明见详解
【解析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；
（2）根据条件讨论的值，根据，得到相关的值，
进行最小值求和即可；
（3）当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，则该行有条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.
（1）是数表，
（2）由题可知.
当时，有，
所以.
当时，有，
所以.
所以
所以
或者，
或者，
或，或，
故各数之和，
当时，
各数之和取得最小值.
（3）由于数表中共个数字，
必然存在，使得数表中的个数满足
设第行中的个数为
当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，
则该行有条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第列中的个数为.
当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，
则该列有条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以,
因为,所以.
所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得，
所以，
则命题得证.
【变式训练11-1】由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【变式训练11-2】由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【变式训练11-3】已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.
(1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；
(2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；
(3)求的最小值.
【变式训练11-4】有个正数，排成n行n列的数表：其中表示位于第i行，第j列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)求.次数
消费者还价
商家讨价
第一次
第二次
第三次
…
…
…
第n次
n
1
2
3
n
4
5
6
…
…
第1列
第2列
第3列
…
第列
第1行
1
2
…
第2行
3
5
9
第3行
5
10
…
…
第行
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量千张
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4