第15讲 数学归纳法讲义-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc25200" 思维导图 PAGEREF _Tc25200 \h 2
\l "_Tc2338" 高考分析 PAGEREF _Tc2338 \h 2
\l "_Tc28218" 学习目标 PAGEREF _Tc28218 \h 3
\l "_Tc28126" 知识要点 PAGEREF _Tc28126 \h 3
\l "_Tc29404" 解题策略 PAGEREF _Tc29404 \h 4
\l "_Tc26129" 题型归纳 PAGEREF _Tc26129 \h 5
\l "_Tc7187" 题型01：数学归纳法的证明步骤 PAGEREF _Tc7187 \h 5
\l "_Tc7945" 题型02：用数学归纳法证明恒等式 PAGEREF _Tc7945 \h 16
\l "_Tc28831" 题型03：用数学归纳法证明不等式 PAGEREF _Tc28831 \h 27
\l "_Tc621" 题型04：用数学归纳法证明几何问题 PAGEREF _Tc621 \h 32
\l "_Tc27071" 题型05：用数学归纳法证明整除问题 PAGEREF _Tc27071 \h 38
\l "_Tc3143" 题型06：用数学归纳法证明数列问题 PAGEREF _Tc3143 \h 44
\l "_Tc20264" 题型07：用数学归纳法证明其他问题 PAGEREF _Tc20264 \h 67
\l "_Tc11077" 巩固提升 PAGEREF _Tc11077 \h 71
高考分析 (Exam Analysis)
1. 考情定位
• 工具性强，地位稳固： 数学归纳法是证明与正整数 n 有关的命题的重要工具。在高考中，它通常不单独命制复杂的压轴题，而是作为解决“数列通项证明”、“不等式证明”或“整除性问题”的关键步骤出现。
• 新旧高考差异：
◦ 传统高考（理）： 常出现在压轴题的第二问，要求考生先猜想通项公式，再用数学归纳法证明。
◦ 新高考： 更加注重逻辑推理素养。虽然纯归纳法的证明题频率略有下降，但在“结构不良试题”或“探究性试题”中，归纳—猜想—证明的思想依然是核心考点。
2. 常见考查载体
1. 数列问题： 已知递推关系，求/证通项公式。
2. 不等式问题： 证明数列不等式（常结合放缩法）。
3. 整除与几何计数： 证明 f(n) 能被某数整除，或平面/空间几何中 n 个元素分割区域的个数。
3. 难度系数
• 基础题： 机械套用归纳法步骤（n=1 成立， 假设 n=k 成立， 证明 n=k+1 成立）。
• 难题： 关键在于“假设 n=k 成立”这一条件的使用技巧，以及从 k 到 k+1 的代数变形能力。
学习目标 (Learning Objectives)
1. 理解原理： 掌握数学归纳法的两个核心步骤（奠基、递推）及其逻辑必然性。
2. 规范表达： 能够用严谨的数学语言书写证明过程，不跳步。
3. 灵活运用： 能识别适用场景（即题目中出现 n \in \mathbb{N}^*），并能将其与数列、不等式等知识综合运用。
4. 思想升华： 掌握“观察—归纳—猜想—证明”的科学思维方法。
1．归纳法
由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想、的一种方法.、归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.
2．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；
第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，上述证明方法称为数学归纳法.
3．数学归纳法的重要结论及适用范围
解题策略 (Slving Strategies)
1. 核心模板：三步走
口诀： 一验二设三递推。
• 第一步（奠基）： 验证 n 取第一个值 n_0（通常为 1 或 2）时，命题成立。
◦ 注意： 必须计算出具体结果，不能直接写“成立”。
• 第二步（递推）：
◦ 假设： 假设当 n=k 时命题成立。
◦ 证明： 利用上述假设，证明当 n=k+1 时命题也成立。
• 第三步（结论）： 综上所述，由(1)(2)可知，命题对一切 n均成立。
2. 关键难点突破：如何利用假设？
从 n=k 推导 n=k+1 时，常用的变形技巧：
• “凑”假设： 在 n=k+1 的表达式中，通过加减项、提取公因式等手段，强行构造出 n=k 时的形式，以便代入假设。
• “作差”或“作商”： 比较 n=k+1 与 n=k 时的式子差异。
◦ 数列中：ak+1与 ak 的递推关系。
◦ 不等式中： 证明 f(k+1) - f(k) > 0。
3. 典型题型与套路
• 题型A：数列通项证明
◦ 策略： 先算出前3项，猜出 an，再用归纳法证明。
• 题型B：不等式证明
◦ 策略： 归纳法证明不等式难点在于“放缩”。有时直接归纳法证不出来，需要先将不等式右边的常数改为关于 n 的式子（加强命题），再进行归纳。
• 题型C：整除性证明
◦ 策略： f(k+1) - f(k) 或 f(k+1)/f(k) 必能被整除（A 为构造系数）。
避坑指南 (Cmmn Pitfalls)
1. 忽略初始值： 有些命题从 n=1 开始成立，有些从 n=3 开始。若第一步验证错误，全盘皆输。
2. 假设未使用： 在证明 n=k+1 时，必须明确写出“由假设可知...”或“将...代入”。如果证明过程中完全没用上 n=k 的假设，那就是逻辑错误（实际上变成了直接证明）。
3. 跨度错误： 适用于所有正整数的命题，步长必须是 1。如果题目涉及 2n 等偶数项，步长可能是 2，需注意归纳假设的写法。
4. 书写不规范： 缺少“综上所述”的结论句，或“假设”二字遗漏。
备考建议 (Preparatin Tips)
1. 强化代数变形训练： 归纳法的本质是代数运算。学生应熟练掌握因式分解、分式通分、指数运算等基本功，这是完成“递推”步骤的前提。
2. 归纳与放缩结合： 针对压轴题，专门训练“数学归纳法+放缩法”的组合拳。
3. 规范答题模版： 在平时练习中，强制要求学生写出标准的三段式结构，养成良好的书写习惯。
题型01：数学归纳法的证明步骤
【典型例题1】用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据数学归纳法的知识确定正确答案.
在等式中，
当时，，
故等式的左边为，右边为.
所以第一步应该验证的等式是.
故选：D
【典型例题2】某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（ ）
A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立D．当时，该命题成立
【答案】C
【解析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论.
可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立．
所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立.
故选：C.
【典型例题3】用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】计算和时左边式子，再作差即可判断.
依题意当时左边，
当时左边，
所以
，
故从递推到时，不等式左边需添加的项为.
故选：C
【典型例题4】用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【近些年】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.
由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；
当时，等式左边等于，共项求和；
所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.
故选：B.
【变式训练1-1】用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ）
A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
【答案】D
【解析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.
因为为正偶数，所以第二步的假设应写为：
假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立，
即当（为正整数）时，能被整除，
再证时，能被整除.
故选：D
【变式训练1-2】利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+13n−1n2．
【答案】见解析
【解析】运用数学归纳法的步骤进行证明即可.
当n=5时，不等式25>52成立，
假设n=kk>4时原不等式成立，即2k>k2，
则n=k+1时，左边=2k+1=2⋅2k>2k2，
当k>4时，2k2−(k+1)2=k2−2k−1=k−12−2>0，
即2k+1>k+12，
因此n=k+1时原不等式也成立．
综上，对任意的正整数n>4,2n>n2．
【变式训练3-3】观察下列不等式：5+3≥8，25+9≥32，125+27≥128，625+81≥512，……．
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．
【答案】见解析
【解析】（1）不完全归纳得解；
（2）利用数学归纳法证明即可.
（1）解：不等式可写为：5+3≥23，52+32≥25，53+33≥27，54+34≥29，
所以归纳得到命题：5n+3n≥22n+1（n为正整数）．
（2）证明：①当n＝1时，易知命题成立；
②假设当n=k (k≥1,k∈N∗)时，命题成立，即5k+3k≥22k+1．
则当n=k+1时，
5k+1+3k+1=5×5k+3×3k
=4+1×5k+4−1×3k
=4×5k+3k+5k−3k
≥4×22k+1+5k−3k ≥22k+1+1，
即n=k+1时，命题也成立．
由①②可知，5n+3n≥22n+1．
【变式训练3-4】证明不等式1＋12＋13＋…＋1n3,k∈N*时，等式也成立，即ak=2k+1−2k−1，
又因为ak+1=Sk+1−Sk=ak+12+1ak+1−ak2−1ak，
将ak=2k+1−2k−1代入上式解得ak+1=2k+3−2k+1an>0，
所以n=k+1时命题成立．
综合可得，当n∈N*时，an=2n+1−2n−1n∈N*．
【典型例题5】设数列xn各项均为正数，且满足x12+x22+⋅⋅⋅+xn2=2n2+2n（n为正整数）.
(1)求数列xn的通项公式xn；
(2)试用数学归纳法证明：x1x2+x2x3+⋅⋅⋅+xnxn+10,∴xn=2n；
（2）①当n=1时，x1x2=2×221，
1+12+13+14+15+16+17>32，
1+12+13+⋯⋯+115>2，
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】见解析
【解析】（1）猜想不等式左边最后一个数分母2n−1，对应各式右端为n2，即得解；
（2）递推部分，利用n=k时结论，替换括号内部分1+12+13+14+⋯⋯+12k−1+12k+⋯⋯+12k+1−2+12k+1−1 >k2+解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：
1=21−1，3=22−1，7=23−1，15=24−1，
猜想不等式左边最后一个数分母2n−1，对应各式右端为n2，
所以，不等式的一般结论为：1+12+13+14+...+12n−1>n2(n∈N∗)
（2）证明：①当n=1时显然成立；
②假设n=k时结论成立，即：1+12+13+14+...+12k−1>k2成立，
当n=k+1时，
1+12+13+14+⋯⋯+12k−1+12k+⋯⋯+12k+1−2+12k+1−1
>k2+12k+12k+1+⋯+12k+1−2+12k+1−1
>k2+2k×12k+1=k2+12=k+12
即当n=k+1时结论也成立.
由①②可知对任意n∈N∗，结论都成立.
【典型例题2】试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何nn>7，n∈N分的邮资．
【答案】见解析
【解析】利用数学归纳法证明.
1°当n=8时，结论显然成立．
2°假设当n=kk>7，k∈N时命题成立．
若这k分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资；
若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资．
故当n=k+1时命题也成立．
综上，对n>7的任何自然数命题都成立．
【变式训练7-1】已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x、y∈M，则x−y∈M；③若x∈M且x≠0，则1x∈M.
(1)判断12∈M是否正确，说明理由；
(2)证明：“若x∈Z，则x∈M”是真命题；
(3)证明：若x，y∈M，则xy∈M.
【答案】见解析
【解析】（1）结合性质①②证明2∈M，然后利用性质③即可求解；
（2）结合（1）中结论，利用数学归纳法即可求解；
（3）结合已知条件，先证明x2∈M，然后证明x+y∈M，然后证明x2∈M即可求解.
（1）12∈M正确，理由如下：
由①②可知，0−1=−1∈M，1−(−1)=2∈M，
由③可知，12∈M.
（2）由②可知，对于∀x∈M，0−x=−x∈M，故只需证明对于∀x∈N*，x∈M，
由（1）中知，−1∈M，
可知0∈M，1∈M，
假设正整数k∈Mk≥1，可得k−(−1)=k+1∈M，
故对于∀x∈N*，x∈M都成立，
从而“若x∈Z，则x∈M”是真命题.
（3）若x∈M，x≠0且x≠1，由①②知，1∈M，x−1∈M，
由③知，1x∈M，1x−1∈M，
又由②③知，1x−1x−1=1x(1−x)∈M，则x(1−x)∈M，
又由②知，x−x(1−x)=x2∈M，
因为12=1∈M，02=0∈M，
故x∈M时，x2∈M，
因为x，y∈M，所以x2∈M，y2∈M，
所以由（2）知−x∈M，−y∈M，−x2∈M，−y2∈M，
又由x+y=x−(−y)∈M，则(x+y)2∈M，
又因为1x∈M，所以−1x∈M，从而1x−(−1x)=2x∈M，故x2∈M，
从而2xy=(x+y)2−x2−y2∈M，2xy2=xy∈M.
【变式训练7-2】如图，曲线C:xy=1x>0与直线l:y=x相交于A1，作A1B1⊥l交x轴于B1，作B1A2//l交曲线C于A2，……，以此类推.
（1）写出点A1,A2,A3和B1,B2,B3的坐标；
（2）猜想Ann∈N∗的坐标，并用数学归纳法加以证明.
【答案】见解析
【解析】（1）将直线y=x，曲线xy=1方程联立，由x>0即可求得A1，由垂直关系可得直线A1B1方程，令y=0即可求得B1坐标，依次类推即可求得结果；
（2）由（1）可归纳出Ann+n−1,n−n−1；设Anxn,yn，An−1xn−1,yn−1，由直线An−1Bn−1方程可求得Bn−1坐标，由直线AnBn−1斜率为1可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.
（1）由y=xxy=1x>0得：x=1y=1，即A11,1；
∴直线A1B1方程为：y−1=−x−1，即x+y−2=0，
令y=0，解得：x=2，∴B12,0；
∴直线A2B1方程为：y=x−2，由y=x−2xy=1x>0得：x=2+1y=2−1，即A22+1,2−1；
∴直线A2B2方程为：y−2+1=−x−2−1，即x+y−22=0，
令y=0，解得：x=22，∴B222,0；
∴直线A3B2方程为：y=x−22，
由y=x−22xy=1x>0得：x=3+2y=3−2，即A33+2,3−2；
∴直线A3B3方程为y−3+2=−x−3−2，即x+y−23=0，
令y=0，解得：x=23，∴B323,0；
（2）由（1）猜想Ann∈N∗的坐标为Ann+n−1,n−n−1，
设Anxn,yn，An−1xn−1,yn−1，则直线An−1Bn−1的方程为：y−yn−1=−x−xn−1，
令y=0，解得：x=xn−1+yn−1，∴Bn−1xn−1+yn−1,0，
∵直线AnBn−1的斜率为1，即ynxn−xn−1−yn−1=1，即xn−xn−1=yn+yn−1，
∴1xn+1xn−1=xn−xn−1，
用数学归纳法证明An的坐标如下：
①当n=1时，A11,1满足Ann+n−1,n−n−1；
②假设当n=k时，Akk+k−1,k−k−1成立，
那么当n=k+1时，由1xk+1−1xk=xk+1−xk得：
1xk+1−1k+k−1=xk+1−k+k+1，解得：xk+1=k+k+1，
即当n=k+1时，Ann+n−1,n−n−1成立；
综上所述：Ann+n−1,n−n−1.
一、单选题
1．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意结合数学归纳法分析判断.
当时，，所以左边为.
故选：C.
2．用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】观察从到时，等式左边的变化，通过比较可得出结果.
当时，等式左边，
当时，等式左边，
因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.
故选：C.
【点睛】本题考查数学归纳法的应用，解答的关键就是观察等式左右两边结构的变化，考查计算能力，属于基础题.
3．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当（且）时，不等式成立，即，
那么当时，，
所以当时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确B．验证不正确
C．归纳假设不正确D．从到的推理不正确
【答案】D
【解析】根据数学归纳法的概念进行判断即可.
在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.
故选：D.
4．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（ ）
A．项B．项
C．项D．k项
【答案】B
【解析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解.
当时，不等式左边为，
当时，不等式左边为，
增加的项为，共有项.
故选：B
5．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果．
当时，左边的代数式为，
当时，左边的代数式为，
故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：
故选：D．
6．用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】求出当和时，不等式左边的式子，即可得出答案.
当时，不等式左边为
当时，不等式左边为
即由到时，不等式左边应添加的项是
故选：D
【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题.
7．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到
考点：推理与证明
二、多选题
8．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
【答案】AD
【解析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.
由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
故选：AD
9．已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程：
（1）当时，满足，命题成立；
（2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立．
由（1）（2）知．
判断以下评述：（ ）
A．猜想正确，推理（1）正确B．猜想不正确
C．猜想正确，推理（1）（2）都正确D．猜想正确，推理（2）不正确
【答案】AD
【解析】根据数学归纳法的步骤判断即可.
由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确，
错在证明时，没用假设时的结论即，
所以D正确．
故选：AD
10．已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（ ）
A．对于成立B．对于每一个自然数k成立
C．对于每一个偶数k成立D．对于某些偶数可能不成立
【答案】ABC
【解析】由已知中命题，，当时，成立，并且当时它也成立，可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可
由于命题，这里，
当时，成立，并且当时它也成立，
可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，
故对于不一定成立，
对于每一个自然数k不一定成立，
对于每一个偶数k不一定成立，
对于某些偶数可能不成立．故选：ABC．
三、填空题
11．以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ．
【答案】缺少当时命题成立的证明
【解析】根据数学归纳法的使用步骤即可求解.
根据数学归纳法的一般步骤，知其缺少时命题成立的说明.
故答案为：缺少当时命题成立的证明
12．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ．
【答案】
【解析】将代入计算可得结果.
当时，.
故答案为：
13．利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ．
【答案】
【解析】分别写出和左边的式子，两对照可得答案.
当时，左边式子为，
当时，左边式子为，
故左边增乘的因式是．
故答案为：．
14．在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ．
【答案】
【解析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案.
设当时，能被整除，
所以时，
，
因此必须有代数式．
故答案为：
四、解答题
15．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
【答案】(1)，，，，
(2)，证明见解析
【解析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
（1）因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，证明过程如下：
当时，显然成立，
假设当时成立，即，
当时，，
解得：，或，
因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
显然，
所以，舍去，
所以当时，成立，
综上所述：
16．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．
（1）求，，的值，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．
【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．
【解析】（1）时，可求出，时，利用可得到关于的递推关系，即可求出，的值，进而猜想出的表达式；
（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.
（1）当时，，∴，
当时，，∴，
∴，，
猜想，；
（2）下面用数学归纳法证明：
①当时，，，猜想正确；
②假设时，猜想正确，即，
那么当时，
可得，
即时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数，都成立．
【点睛】本题考查数学猜想和数学归纳法的应用，属于中档题.
17．用数学归纳法证明：能被133整除 ．
【答案】见解析
【解析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立.
证明： ①当时，能被133整除，所以 时结论成立，．
②假设当时，能被133整除，那么当时，
．
由归纳假设可知能被133整除，即 能被133整除．所以时结论也成立
综上，由①②得，能被133整除
【点睛】本题考查数学归纳法的整除应用问题，关键在于证明时采取添项与减项技巧，“凑”成归纳假设的形式出来，然后再来证余下的项被除数整除，属于中档题．
18．试用数学归纳法证明.
【答案】证明见解析
【解析】根据数学归纳法的步骤即可证明．
（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；
（2）假设当时，原不等式成立，即，
当时，
∵
∴．即，
所以，当时，不等式也成立．
根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．
【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明和正整数有关的命题，属于基础题．
19．已知正项数列满足，.
(1)计算,，猜想的通项公式并加以证明；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1),,,证明见解析;
(2).
【解析】
（1）分别,，即可求得,,由此可猜想，用数学归纳法证明即可；
（2）结合（1）的结论可得的表达式，分组求和即可求得答案.
（1）当时，；
当时，；
猜想.
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立；
那么时，,
即时，，
则对任意的，都有成立.
（2）由题意得，
.
20．证明：不等式，恒成立.
【答案】证明见解析.
【解析】用数学归纳法证明，由时成立，再假设 时，不等式成立，然后论证时成立即可.
当时，成立
假设时，不等式成立
那么时
，，，
即时，该不等式也成立
综上：不等式，恒成立.
【点睛】方法点睛：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
21．设数列满足，.
(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)，证明详见解析
(2)证明详见解析
【解析】
（1）先求得，，然后猜想并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立.
（1）依题意，，，则，
所以，
猜想.
当时，成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，猜想成立，
所以.
（2），
所以
.
22．用数学归纳法证明:.
【答案】见解析.
【解析】试题分析：利用数学归纳法，验证时等式成立，假设时成立，证得时也成立，即可证得等式成立.
（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立
（2）假设当时命题成立，即
那么，当时，
即时，命题成立
由（1）（2）知等式对任意的均成立
23．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？
【答案】能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析
【解析】先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：可以被6整除，利用数学归纳法证明即可．
时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；
证明：（1）当时，，命题显然成立；
（2）假设当时，能被6整除．
当时，，
其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，
由假设知能被6整除,
故，，6分别能被6整除，
所以当时，命题也成立．
据（1）（2），可知可以被6整除．
故能被自然数6,，1，2，3整除.
24．用数学归纳法证明等式.
【答案】证明见解析
【解析】先验证时，等式成立，再假设当时等式成立，可得出，然后在等式两边同时加上，验证当时等式也成立，由此可证明出结论成立.
①当时，左边，
右边，左边右边，原等式成立；
②假设当时等式成立，
即有，
那么，当时，，
所以当时，等式也成立，
由①②知，对任意，都有.
【点睛】本题考查利用数学归纳法证明等式成立，在证明时要注意等式两边结构的变化，合理利用提公因式、通分、因式分解等基本的运算技巧，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
25．求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】根据给定条件借助数学归纳法证明命题的一般步骤直接证明即可.
(1)当n=2时，左边=，右边=，显然左边>右边，即原不等式成立，
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即，
则当n=k+1时，
左边=
=右边，
因此，当n=k+1时，原不等式成立，
综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
26．用数学归纳法证明以下恒等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可；
（2）按照数学归纳法的步骤证明即可；
（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；
②假设当时，等式成立，
即，
则当时，左边
右边，
即当时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.
（2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；
②假设当时，等式成立，
即，
则当时，左边
右边，
即当时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.
数学归纳法的重要结论
适用范围
只适用于证明与正整数有关的数学命题