第02讲 等差数列讲义讲义-2026届高三数学二轮复习专题（新高考通用）（原卷版+解析版）

这是一份第02讲 等差数列讲义讲义-2026届高三数学二轮复习专题（新高考通用）（原卷版+解析版），文件包含第02讲等差数列讲义思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升-2026年高考数学复习数列专题新高考通用-原卷版docx、第02讲等差数列讲义思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升-2026年高考数学复习数列专题新高考通用-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共215页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21079" 思维导图 PAGEREF _Tc21079 \h 2
\l "_Tc23308" 高考分析 PAGEREF _Tc23308 \h 2
\l "_Tc23739" 学习目标 PAGEREF _Tc23739 \h 4
\l "_Tc6713" 知识要点 PAGEREF _Tc6713 \h 5
\l "_Tc6226" 解题策略 PAGEREF _Tc6226 \h 11
\l "_Tc16319" 题型归纳 PAGEREF _Tc16319 \h 12
\l "_Tc21502" 题型01：等差数列的定义 PAGEREF _Tc21502 \h 12
\l "_Tc26780" 一：验证某数是否为等差数列中的项 PAGEREF _Tc26780 \h 13
\l "_Tc9189" 二：等差数列的判断 PAGEREF _Tc9189 \h 15
\l "_Tc32526" 题型02：等差数列的通项公式 PAGEREF _Tc32526 \h 16
\l "_Tc7475" 一：利用等差数列定义求通项 PAGEREF _Tc7475 \h 16
\l "_Tc28634" 二：利用前n项和求通项 PAGEREF _Tc28634 \h 17
\l "_Tc31957" 题型03：等差数列通项公式的应用 PAGEREF _Tc31957 \h 20
\l "_Tc25218" 题型04：等差中项及其应用 PAGEREF _Tc25218 \h 21
\l "_Tc31051" 题型05：等差数列的性质 PAGEREF _Tc31051 \h 22
\l "_Tc21614" 题型06：等差数列前n项和的有关计算 PAGEREF _Tc21614 \h 24
\l "_Tc13842" 一：利用基本量求值 PAGEREF _Tc13842 \h 24
\l "_Tc19874" 二：结合等差数列的性质（等差中项）解题 PAGEREF _Tc19874 \h 26
\l "_Tc31256" 题型07：等差数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc31256 \h 28
\l "_Tc24581" 题型08：等差数列与函数的关系 PAGEREF _Tc24581 \h 29
\l "_Tc30077" 题型09：等差数列前n项和的最值问题 PAGEREF _Tc30077 \h 33
\l "_Tc969" 一：单选题 PAGEREF _Tc969 \h 33
\l "_Tc16247" 二：多选题 PAGEREF _Tc16247 \h 36
\l "_Tc8361" 三：填空题 PAGEREF _Tc8361 \h 37
\l "_Tc10385" 四：解答题 PAGEREF _Tc10385 \h 39
\l "_Tc5591" 题型10：等差数列片段和的性质 PAGEREF _Tc5591 \h 40
\l "_Tc26807" 题型11： 等差数列前n项和与n的比值问题 PAGEREF _Tc26807 \h 42
\l "_Tc25324" 题型12：两个等差数列前n项和之比 PAGEREF _Tc25324 \h 45
\l "_Tc4865" 题型13：等差数列的奇偶项和问题 PAGEREF _Tc4865 \h 48
\l "_Tc279" 题型14： 含绝对值的等差数列的前n项和 PAGEREF _Tc279 \h 50
\l "_Tc27784" 题型15： 等差数列的判定与证明 PAGEREF _Tc27784 \h 53
\l "_Tc26406" 题型16：等差数列中对称设项法的应用 PAGEREF _Tc26406 \h 57
\l "_Tc17745" 题型17：等差数列的综合问题 PAGEREF _Tc17745 \h 58
\l "_Tc18205" 题型18： 数学文化中的等差数列问题 PAGEREF _Tc18205 \h 61
\l "_Tc30146" 巩固提升 PAGEREF _Tc30146 \h 65
差数列是高考数学的常考核心考点，近3年高考数学全国卷及新高考卷中相关考点考查频率达8次， 命题兼顾基础与综合，梯度清晰适配不同层次考生。
一、 考查占比与题型分布
1. 分值占比：单题分值4-17分，整套试卷中该知识点总分值占比约5%-8%，是小题拿分、大题稳分的关键板块。
2. 题型分布：选填题多单独出题，考查基础知识点，难度偏易，比如2025全国二卷第7题、北京卷第5题；解答题多为中档题，常和等比数列、求和公式综合考查，如2024新高考I卷第19题，也会在压轴题中结合新定义、新情景出题，难度偏大。
3. 高频考区：新高考卷更侧重解答题的综合应用，全国甲乙卷侧重选填题的基础计算与性质应用，天津、上海卷则会在解答题中设置独立的等差数列设问。
二、 核心考查考点
1. 基础必考点：基本量计算是高频考题，围绕首项a1、公差d、通项an 、前n项和Sn，考查“知三求二”的方程思想，近5年多套试卷选填题均有涉及。
2. 常考重点：等差数列的判定与证明、中项性质、项与前n项和的性质，、前n项和的分段性质，多在解答题第一问和中档选填题出现。
3. 难点拓展点：前n项和的最值求解、奇偶项讨论、含绝对值的等差数列问题，还会结合函数、不等式、实际情景综合命题，压轴题中还会出现新定义类等差数列衍生题型，侧重考查知识迁移能力。
三、 命题趋势
1. 基础题型稳定：基本量计算、基础性质应用的选填题会长期保留，题目难度不会大幅提升，是考生必拿分题型。
2. 综合考查深化：解答题中，等差数列与等比数列的综合出题频率最高，同时和函数、不等式、数学文化的结合考查逐渐增多，对知识整合能力要求提升。
3. 创新题型增多：新定义、新情景类题目成为压轴题新方向，题目灵活度高，侧重考查数学抽象、数学运算核心素养，区分度较强。
四、 备考侧重建议
1. 夯实基础：熟练掌握通项公式、前n项和公式，确保基本量计算类题目解题快且准，不丢基础分。
2. 吃透性质：重点熟记等差数列的项、和相关性质，掌握“性质优先用”的解题思路，提升选填题解题速度。
3. 突破综合：针对性练习等差数列与等比数列的综合题，总结通项证明、求和的固定解题步骤，同时强化与函数、不等式结合题的解题逻辑。
4. 拓展创新：适量练习新定义类数列题，培养快速理解新规则、迁移已有知识解题的能力。
等差数列 精准学习目标（适配高考，分3层级）
一、基础层级（保底必拿分，对应高考选填基础题）
1. 牢记等差数列2个核心公式：通项公式、前n项和公式能熟练变形。
2. 掌握基本量思想：明确首项a_1、公差d是核心量，实现“知三求二”（已知a1、an 、Sn中3个，求剩余2个），计算零失误。
3. 理解等差数列定义：能根据定义判断简单数列是否为等差数列。
二、提升层级（稳抓中档分，对应高考选填中档题+解答题第1问）
1. 吃透5大核心性质，做到性质优先用（提速提准确率）
◦ 下标和性质：
◦ 中项性质：等差中项）；和的中项特征
◦ 和的性质：
◦ 奇偶项性质：
◦ 通项与和的关联：
2. 掌握2种核心判定/证明方法：定义法、等差中项法
3. 会求前n项和Sn的最值：2种方法（配方法转化为二次函数、通项正负分界法）灵活切换。
三、拔高层级（冲刺高分，对应高考解答题第2问+压轴创新题）
1. 能处理综合题型：熟练对接等比数列、函数（如an与一次函数、Sn与二次函数关联）、不等式、数列不等式放缩，构建解题逻辑链。
2. 攻克易错拓展题型：含绝对值的等差数列求和、含参数的等差数列存在性问题、等差衍生数列（如子数列、差数列）分析。
3. 适配创新题型：能快速解读新定义等差类数列（如“等差子数列”“绝对等差数列”），迁移核心知识解题。
4. 落实核心素养：提升数学运算（复杂计算快准）、逻辑推理（证明严谨）、数学抽象（新情景转化）能力，适配高考命题趋势。
目标自查清单（快速对标）
基础：基本量计算100%对；提升：性质应用+判定证明无卡点；拔高：综合题能梳理解题步骤
知识点一 等差数列的定义
1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2．等差数列的定义可用数学符号语言描述为：an−an−1=d对任意的n≥2，n∈N∗均成立或an+1−an=d对任意的n∈N∗均成立.
注：
(1)“从第2项起”是因为首项没有前一项.
(2)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起该数列是一个等差数列.
(3)注意定义中“同一个常数”，可理解为从第2项起，每一项与前一项的差是常数且是同一个常数，则这个数列是等差数列，如果不是同一个常数，该数列就不是等差数列.
(4)公差d一定是由后一项减前一项所得，不能颠倒前、后项的位置.
(5)要注意定义中的an+1−an=d (常数)是对任意n∈N∗都成立，若有一项不满足，则an就不是等差数列.例如，数列1，1，2，3，4，5，⋅⋅⋅不是等差数列.
(6)常数列是公差为0的等差数列.
知识点二 等差中项
1．由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.
a，A，b成等差数列是A=a+b2的充要条件.
2．在等差数列an中，任取相邻的三项an−1，an，an+1n≥2，n∈N∗，则an是an−1与an+1的等差中项；反之，若an−1+an+1=2an对任意的n≥2，n∈N∗均成立，则数列an是等差数列.
因此，数列an是等差数列⇔2an=an−1+an+1n≥2，n∈N∗.
用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法.
知识点三 等差数列的通项公式
1．等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+n−1d.
2．等差数列通项公式的推导
通项公式的推导，教材是根据等差数列的定义，通过归纳的方式得出的，还可以采用以下的推导方法：
方法一(累加法)因为an是等差数列，所以
an−an−1=d，
an−1−an−2=d，
an−2−an−3=d，
……
a2−a1=d，
上述式子等号两边分别相加得an−a1=n−1d，所以an=a1+n−1d.
方法二(迭代法)因为an是等差数列，所以an=an−1+d=an−2+d+d=an−2+2d=an−3+d+2d
=an−3+3d=⋅⋅⋅=a1+n−1d.
方法三(逐差法)因为an是等差数列，所以an=an−an−1+an−1=an−an−1+an−1−an−2+an−2=⋅⋅⋅=
an−an−1+an−1−an−2+⋅⋅⋅+a2−a1+a1=a1+n−1d.
3．等差数列通项公式的变形应用
已知等差数列an中的任意两项an和amn，m∈N∗且m≠n，则
an=a1+n−1dam=a1+m−1d，⇒an−am=n−md⇒d=an−amn−m an=am+n−md
这表明已知等差数列的任意两项即可求出其公差，进而求出通项公式.
知识点四 等差数与一次函数的关系
由于an=a1+n−1d=dn+a1−d，当d≠0时，等差数列an的第n项an是一次函数fx=dx+a1−dx∈N∗，当x=n时的函数值，即an=fn.
因此，从图象上看，表示数列an的各点均匀分布在直线fx=dx+a1−d上.
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
反之，任给一次函数fx=kx+b (k，b为常数)，则f1，f2，…，fn，…构成一个等差数列nk+b，其首项为k+b，公差为k.
2．等差数列的单调性
由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响.
(1)当d>0时，数列为递增数列，图象如图 = 1 \* GB2 ⑴所示；
(2)当d0时图象开口向上，d0，d0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a10Sn+10,an2+2an=4Sn+3，则{an}的通项公式an= ．
【答案】2n+1
【解析】先利用项与和的关系an=Sn−Sn−1n≥2，得到，再利用等差数列通项公式求解答案.
【解析】当n=1时，a12+2a1=4S1+3=4a1+3，因为an>0，所以a1=3；
当n≥2时，an2+2an−an−12−2an−1=4Sn+3−4Sn−1−3=4an，
即，
因为an>0，所以，所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an=2n+1
【典型例题6】设等差数列an前n项和Sn，a1=1，满足2Sn+1=nan+5+2，n∈N•，求数列an的通项公式
【答案】an=2n−1
【解析】依题意有2a1+a2=a1+5+2，
，∴a2=3，
又an为等差数列，设公差为d，
∴d=a2−a1=2，∴an=1+2n−1=2n−1
【变式训练2-2-1】已知等差数列an的前n项和Sn=n2，则a4=（ ）
A．1B．3C．5D．7
【变式训练2-2-2】设Sn为数列an的前n项和，若Sn=n2+2n，则an=（ ）
A．2n+1B．C．n+1D．n−1
【变式训练2-2-3】已知正项数列an满足1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=n2n+1n∈N∗，若a5−2a6=7，则a1=（ ）
A．B．1C．32D．2
【变式训练2-2-4】设Sn为数列an的前n项和，若Sn=n2+2n，则an=（ ）
A．2n+1B．C．n+1D．n−1
【变式训练2-2-5】已知正项数列an的前n项和为Sn，且4Sn=an+12，则a2023=（ ）
A．4045B．4042C．4041D．4040
【变式训练2-2-6】设Sn是数列an的前n项和，且a1=−1,an+1=SnSn+1，则下列选项错误的是（ ）
A．B．an=−1,n=11n−1−1n,n≥2,n∈N∗
C．数列为等差数列D．1S1+1S2+..+1S100=－5050
【变式训练2-2-7】已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足anan+1=2Snn∈N∗，则a2024= .
【变式训练2-2-8】已知数列an的前n项和Sn=n2+2，则该数列的首项a1= ，通项公式an= .
【变式训练2-2-9】已知数列an的前n项和Sn=a−2n2+n+a，n∈N∗．若an是等差数列，则an的通项公式为 ．
【变式训练2-2-10】已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________
【变式训练2-2-11】在数列an中，a12+a23+a34+⋅⋅⋅+ann+1=n2+n，求an的通项公式.
【变式训练2-2-12】设Sn为数列an的前n项和，已知∀n∈N∗,an>0,an2+1=2anSn，求an
【变式训练2-2-13】设等差数列an前n项和Sn，a1=1，满足2Sn+1=nan+5+2，n∈N∗，求数列an的通项公式
【变式训练2-2-14】已知等差数列an的公差为整数，，设其前n项和为Sn，且Snan+1是公差为12的等差数列,求数列an的通项公式
题型03：等差数列通项公式的应用
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
（2）等差数列an的通项公式an=a1+(n−1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
（3）通项公式可变形为an=dn+(a1−d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
【典型例题1】已知等差数列an中，a6=−24 ，a30=−48 ，则首项a1与公差d分别为（ ）
A．−18,−2B．−18,−1C．−19,−2D．−19,−1
【答案】D
【解析】由题意列出方程组，即可求得答案.
设等差数列an的公差为d，
依题得a1+5d=−24a1+29d=−48，解得a1=−19d=−1.
故选：D
【典型例题2】等差数列an中，a2+a6=8，a3+a4=3，则an的通项为（ ）
A．5n−16B．5n−11C．3n−8D．3n−5
【答案】A
【解析】根据已知条件求得等差数列an的首项和公差，从而求得an.
设等差数列an的公差为d，
依题意2a1+6d=82a1+5d=3，解得d=5,a1=−11，
所以an=−11+n−1×5=5n−16.
故选：A
【变式训练3-1】在数列an中，，且数列1an是等差数列，则a19=（ ）
A．16B．116C．19D．119
【变式训练3-2】等差数列an中，a2=4 , a4=10，则a8 =（ ）
A．26B．22C．18D．14
【变式训练3-3】已知数列an是等差数列，若，则a5=（ ）
A．8B．6C．5D．4
【变式训练3-4】在等差数列an中，已知a1=−9，a3+a5=−9，，则n=（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式训练3-5】已知等差数列an满足a3+a7=32,a6−a4=6，则a1=（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式训练3-6】在等差数列an中，已知，，则数列an的通项公式可以为（ ）
A．an=4n−1B．an=2n+1 C．an=−35n+445D．an=35n−85
【变式训练3-7】在等差数列an中，若a3−a5=2，则a7−a3=（ ）
A．3B．−3C．4D．−4
题型04：等差中项及其应用
若a，A，b成等差数列，则A=a+b2；反之，由A=a+b2也可得到a，A，b成等差数列，
所以A是a，b的等差中项⇔A=a+b2．
【典型例题1】在等差数列an中，a3、a5是方程x2−4x+3=0的两根，则a4的值为（ ）
A．2B．3C．±2D．32
【答案】A
【解析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得a4的值.
由韦达定理和等差中项的性质可得a3+a5=4=2a4，
因此，a4=2.
故选：A.
【典型例题2】若2a+1是a−1与的等差中项，则实数a的值为（ ）
A．−14B．110C．43D．5
【答案】D
【解析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案.
由题意知2a+1是a−1与的等差中项，
故2(2a+1)=a−1+4a−2，则a=5.
故选：D
【典型例题3】已知数列an是等差数列，且a6=4，a14=64．设a6与a14的等差中项为x，a6与x的等差中项为y，求x+y．
【答案】53
【解析】根据等差中项的性质求出x，y即可.
因为a6=4，a14=64，且a6与a14的等差中项为x，
所以x=a6+a142=34，
又a6与x的等差中项为y，所以y=a6+x2=19，
所以x+y=53.
【变式训练4-1】已知m和2n的等差中项是4，和n的等差中项是5，则2m−n和2n−m的等差中项是（ ）
A．8B．6C．4.5D．3
【变式训练4-2】各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，且成等差数列，若a1=1，则S4=（ ）
A．58或15B．58或−15C．15D．58
【变式训练4-3】已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若−3，S5，S10成等差数列，则S15−S10的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【变式训练4-4】记Sn为等比数列anan>0的前n项和，且a1a3=16,S1,34S2,12S3成等差数列，则S6=（ ）
A．126B．128C．254D．256
【变式训练4-5】在数列an中，a1＝2，n∈N∗，bn是an和an＋1的等差中项，设Sn为数列bn的前n项和，则S6＝ .
【变式训练4-6】已知公比为2的等比数列an的前n项和为Sn，且a1，a2+1，a3成等差数列，则S5= ．
【变式训练4-7】已知数列an满足2an+1=an+an+2（n为正整数），且a3+a8+a13=2π，则csa7+a9= ．
【变式训练4-8】在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ．
题型05：等差数列的性质
等差数列运算的两种常用思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量．
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若m,n,p,q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq．
【典型例题1】在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=45，则a2+a8=（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
【解析】由题意a3+a4+a5+a6+a7=a3+a7+a4+a6+a5=5a5=45，得a5=9，
所以a2+a8=2a5=18，故C正确.
故选：C.
【典型例题2】已知Sn为等差数列an的前n项和，a9+a12=12，则S20=（ ）
A．240B．60C．180D．120
【答案】D
【解析】S20=20a1+a202=10a9+a12=120.
故选：D.
【典型例题3】记Sn为等差数列an的前n项和．若，a4a8=45，则S5= ．
【答案】20
【解析】根据等差数列性质求首项和公差，再求前5项和即可.
因为an是等差数列，所以a2+a6=2a4=10,a4a8=45,
所以a4=5,a8=9,
所以a8−a4=4d=4,d=1,a1=2,
所以S5=5a1+5×42d=5×2+5×42=10+10=20.
故答案为：20.
【变式训练5-1】已知等差数列an满足，则a2+a8=（ ）
A．12B．18C．20D．30
【变式训练5-2】已知an为等差数列，a2+a4+a6=36，则2a5−a6=（ ）
A．8B．12C．16D．20
【变式训练5-3】已知数列an是等差数列，若12，则a3+a15等于（ ）
A．7B．21C．14D．17
【变式训练5-4】已知等差数列an，其前n项和为Sn，若a2+a5+a8=3，则S9=（ ）
A．3B．6C．9D．27
【变式训练5-5】已知数列an是等差数列，且a2+2a3+a8=32，则a4= （ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式训练5-6】在等差数列an中，2a1+a4+a7+3a9+a11=24，则此数列的前13项之和等于（ ）
A．24B．26C．28D．25
【变式训练5-7】在等差数列an中，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99，则a3a4= ．
【变式训练5-8】已知公差不为0的等差数列an满足am+ap=2a4n,m,p∈N∗，则1m+1+4p的最小值为 .
【变式训练5-9】已知，，a3，a4成等差数列，且，a4为方程2x2−5x+2=0的两根，则a2+a3= ．
题型06：等差数列前n项和的有关计算
等差数列中的基本计算
（1）利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
（2）结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m+n=p+qm,n,p,q∈N∗，则am+an=ap+aq，常与求和公式Sn=na1+an2结合使用．
一：利用基本量求值
【典型例题1】等差数列an的前n项和Sn，a3=3,S11=66，则S9=（ ）
A．9B．12C．30D．45
【答案】D
【解析】由等差数列的通项公式与前n项和公式求得an，然后再由前n项和公式结合等差数列的性质计算．
{an}是等差数列，
∴S11=11a6=66，，d=a6−a36−3=1，
an=3+(n−3)×1=n，，
S9=9a5=9×5=45．
故选：D．
【典型例题2】已知数列3n+1与数列4n−1，其中n∈N∗.它们的公共项由小到大组成新的数列an，则an的前20项的和为（ ）
A．2380B．2400C．2420D．2440
【答案】C
求等差数列前n项和
【解析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和.
明显数列3n+1和数列4n−1均为等差数列
令3n1+1=4n2−1，可得n1=4n2−23，
则n2=2,5,8,⋯，
则数列an为等差数列，且a1=4×2−1=7，公差为4×5−1−4×2−1=12，
所以an的前20项的和为20×7+20×192×12=2420.
故选：C.
【典型例题3】在等差数列an中，Sn是其前n项和，已知S3=4，S6=9，则S9= .
【答案】15
等差数列前n项和的基本量计算
【解析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1=119，d=19，由此能求出S9.
在等差数列an中，Sn是其前n项和，S3=4，S6=9，
∴3a1+3×22d=46a1+6×52d=9，
解得a1=119，d=19，
S9=9×119+9×82×19=15.
故答案为：15.
【变式训练6-1-1】若an为等差数列，Sn是数列an的前n项和，a4+a6=14，S7=35，则等于（ ）
A．7B．6C．5D．4
【变式训练6-1-2】已知等差数列an的前n项和为，则S10=（ ）
A．158B．160C．162D．164
【变式训练6-1-3】已知数列an和bn均为等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，且an>0，anbn=n2+36n，S23=T23，则a1+b1=（ ）
A．272B．312C．D．412
【变式训练6-1-4】公差为不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若S9=3a2+a5+ak，则k=（ ）
A．8B．10C．11D．12
【变式训练6-1-5】记Sn为等差数列an的前n项和．若，a4a8=45，则S5= ．
【变式训练6-1-6】已知等差数列an的前n项和为Sn，且，则an的公差为 ．
【变式训练6-1-7】已知Sn为等差数列an的前n项和，，则Snan= ．
【变式训练6-1-8】已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a2+a3=1，a10+a11+a12=7，则S102= .
【变式训练6-1-9】《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问题，将108根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从上往下，每一层比下一层少1根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放 层.
【变式训练6-1-10】已知等差数列an的前n项和为Sn.若，且a3≠0，则S4S3=
【变式训练6-1-11】设等差数列an的公差为d，且d>1．令，记Sn,Tn分别为数列的前n项和．，若，求an的通项公式；
【变式训练6-1-12】已知Sn为等差数列an的前n项和，若，，则a2023= ．
【变式训练6-1-13】已知an为等差数列，bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和，S4=32，，求an的通项公式；
二：结合等差数列的性质（等差中项）解题
若项数为2n−1(n∈N∗)，则S2n−1=2n−1a1+a2n−12=(2n−1)⋅an (an是数列的中间项)，
例如S9=9⋅a5，S13=13⋅a7，S17=17⋅a9
【典型例题1】已知等差数列an的前n项和为Sn，a8=17，S17=340，则数列an的公差是（ ）
A．−4B．−3C．14D．3
【答案】D
【解析】根据等差数列前n项和公式求出a9，进一步求出公差.
因为S17=17a1+a172=17⋅2a92=17a9=340，所以a9=20，
又a8=17，所以d=a9−a8=20−17=3.
故选：D
【典型例题2】已知等差数列an的前n项和为Sn，a9+a8=55，则S16=（ ）
A．880B．220C．110D．440
【答案】D
求等差数列前n项和
【解析】根据等差数列的性质可求a1+a16的值，从而可求S16.
因为a9+a8=55，所以a1+a16=55，
故S16=162a1+a16=8×55=440，
故选：D.
【变式训练6-2-1】设Sn为等差数列an的前n项和，若S5=4a1，a1>0，若n>1时，Sn=an，则n等于（ ）
A．11B．12C．20D．22
【变式训练6-2-2】记Sn为等差数列an的前n项和，若a4+a5=24，S6=48，则S17=（ ）
A．510B．408C．62D．16
【变式训练6-2-3】已知等差数列an的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=（ ）
A．−2B．73C．1D．29
【变式训练6-2-4】已知等差数列an，其前n项和为，则S9=（ ）
A．24B．36C．48D．64
【变式训练6-2-5】等差数列an的前n项和为Sn，若S11为定值时2a2+a7+ak也是定值，则k的值为（ ）
A．9B．11C．13D．不能确定
【变式训练6-2-6】设Sn为等差数列an的前n项和，若a8+a10−3a9=a2−2，则S10=（ ）
A．5B．10C．252D．15
【变式训练6-2-7】设等差数列an的前n项和为Sn，已知a2+a4=−2，则S5=（ ）
A．−2B．−5C．1D．2
【变式训练6-2-8】等差数列an的前n项和为Sn.若，则S2024=（ ）
A．8096B．4048C．4046D．2024
【变式训练6-2-9】记Sn为等差数列an的前n项和．若，则S5=（ ）
A．25B．22C．20D．15
【变式训练6-2-10】等差数列an的前n项和为，当S11为定值时，2a2+a7+ak也是定值，则k的值为（ ）
A．11B．13C．15D．不能确定
【变式训练6-2-11】已知数列an的前n项和为Sn，且数列an满足．若，则a9=（ ）
A．9B．10C．17D．19
【变式训练6-2-12】数列an满足a1=0，an+1−an=2n，则an= ．
题型07：等差数列前n项和的性质
【方法技巧与总结】
利用等差数列前n项和的性质简化计算
（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1和d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；
（2）等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
【典型例题1】设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，已知S9=3a3+a5+am，则m=（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】因为S9=3a3+a5+am，又S9=9a5，
所以9a5=3a3+a5+am，
所以a3+a5+am=3a5，即a3+am=2a5，
设等差数列an的公差为d，
则a1+2d+a1+(m−1)d=2(a1+4d)，
所以(m+1)d=8d，又d≠0，
所以1+m=8，
所以m=7．
故选：C.
【典型例题2】若等差数列an的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（ ）
A．96B．72C．60D．48
【答案】B
【解析】解法一：由S7=7a1+7×62d=48,S14=14a1+14×132d=72,解得a1=40849,d=−2449,
所以S21=21×40849+21×202×−2449=72；
解法二：S7=a1+a2+⋅⋅⋅+a7，S14−S7=a8+a9+⋅⋅⋅+a14=S7+7×7d，S21−S14=a15+a16+⋅⋅⋅+a21=S7+7×14d，所以，S14−S7，S21−S14成等差数列，公差为49d，由等差中项定义得2S14−S7=S7+S21−S14，即2×72−48=48+S21−72，解得S21=72．
故选：B
【变式训练7-1】记Sn为等差数列an的前n项和．若，则S15=（ ）
A．140B．150C．160D．180
【变式训练7-2】已知等差数列an的前n项和为Sn，n∈N∗，a8=3，则S15=（ ）
A．60B．45C．30D．15
【变式训练7-3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4+a6=10，则S9=（ ）
A．38B．50C．36D．45
【变式训练7-4】已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a6=18，则S8=（ ）
A．96B．72C．48D．24
【变式训练7-5】已知等差数列an的前n项和为Sn且满足S9=54，则a5=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练7-6】已知等差数列an的前n项和为Sn，且a8+a14=3a11−4，则S21=（ ）
A．72B．84C．144D．168
【变式训练7-7】已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，则n的值为（ ）
A．28B．26C．14D．13
题型08：等差数列与函数的关系
等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
等差数列{}的前n项和，令，，
则.
(1)当A＝0，B＝0(即d＝0，＝0)时，＝0是常数函数，{}是各项为0的常数列．
(2)当A＝0，B≠0(即d＝0，≠0)时，＝Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列．
(3)当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列S1,S2,S3,⋯,Sn的图象是抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点.
【典型例题1】(多选)等差数列an中，a1>0，公差d0，公差d0(n≥2)，若数列{Sn}是递减数列，则an=Sn−Sn−10，有数列{Sn}是递增数列，D正确．
故选：ABD
【变式训练8-1】在等差数列an中，首项a1>0，公差d0时n的最小值是21D．Sn最小时，n=10
【变式训练8-3】(多选)等差数列an的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0，且，则下列命题正确的有（ ）
A．是数列中的最大项B．a7是数列an中的最大项
C．S14=0D．满足Sn>0的n的最大值为13
【变式训练8-4】设Sn为等差数列an的前n项和，则对∀n∈N∗，an+1>an，是“nSn+1>n+1Sn”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练8-5】（多选）已知数列an的前n项和为Sn=11n−n2，则下列说法正确的是（ ）
A．an是递增数列B．a3=6
C．当n=6时Sn取最大值D．满足Sn>0的最大的正整数n为10
【变式训练8-6】（多选）设数列an的前n项和为Sn，，则下列说法正确的是（ ）
A．an是等差数列
B．S3,S6−S3,S9−S6成等差数列，公差为−9
C．当n=16或n=17时，Sn取得最大值
D．Sn≥0时，n的最大值为33
【变式训练8-7】）已知an是无穷等差数列，其前项和为Sn，则“an为递增数列”是“存在n∈N∗使得Sn>0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练8-8】（多选）数列an满足a1=−21,a2=−12,an+1+an−1=2an−2n≥2,Sn是an的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．ann−8是等差数列
B．an=−n2+12n+32
C．a6是数列an的最大项
D．对于两个正整数m､n(n>m),Sn−Sm的最大值为10
【变式训练8-9】（多选）已知无穷等差数列an的前n项和为Sn，a1>0，d0,d0的最大的正整数k一定不等于12.
S14=14×a1+a142=7a7+a8，S15=15×a1+a152=15a80，则满足Sk>0的最大的正整数k为14；
当a7+a8≤0时，S14≤0，则满足Sk>0的最大的正整数k为13，
故满足Sk>0的最大的正整数k可能为13与14，一定不等于12与15.
故选：AD．
【典型例题2】（多选）已知无穷等差数列an的前n项和为Sn，S6S8，则（ ）
A．在数列an中，公差d0的最大正整数为14
【答案】AB
【解析】由已知条件可得a7>0,a8S8可得a8a2>⋅⋅⋅>a7>0>a8>⋅⋅⋅，
所以可得S10,a8S14>S12，则下列结论中正确的是（ ）
A．an是递增数列B．an>0时，n的最大值为13
C．数列中的最大项为S13D．Sn>0时，n的最大值为27
【变式训练9-2】(多选)设an是公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且a10，a6+a90
C．Sn的最大值为D．S14>0
5．记Sn为等差数列an的前n项和，若，则S15=（ ）
A．240B．225C．120D．30
6．已知等差数列an的前n和为Sn,Snan=n+12，则a3a5=（ ）
A．35B．53C．3D．13
7．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2=9,S4=40，则数列an的公差（ ）
A．3B．2C．32D．4
8．已知Sn是等差数列an的前n项和，a1>0，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．公差d0
C．
D．n=17时，Sn最大
9．若等差数列an的公差d=2,a8:a7=7:8，则a1=（ ）
A．−15B．−28C．15D．28
10．等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且Sn+TnTn=5n+53n+2(n∈N∗)，则a5b5=（ ）
A．1317B．C．2129D．3347
二、多选题
11．已知数列an满足，则（ ）
A．数列an为等差数列
B．an+an+2