寒假作业11 二次函数的应用15大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版（原卷版+解析版）

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作业11 二次函数的应用
知识点一、用二次函数的性质解决实际问题
1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
2.用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 图形问题
1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养羊圈，其中羊圈一边靠墙，另外三边用围栏围住，在边开个门（宽度为1米），的长度为，为了让围成的羊圈（矩形）面积达到，请你帮忙计算一下此时羊圈的长与宽分别是多少？当羊圈的长与宽分别为多少时，羊圈的面积达到最大？最大面积是多少？
2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设．
(1)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与x的关系式，并写出x的取值范围；
(2)当矩形羊圈的面积S最大时，求出此时的长并求出S的最大值．
3．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）．
(1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度是充电区宽度的倍，停车区和充电区的面积各是多少？
题型二 图形运动问题
4．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，运动时间为t．的面积S随出发时间t是怎样变化的？并当t取何值时，面积S最大，最大是多少？
5．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)求几秒后，的面积等于．
(2)、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；若不存在，说明理由．
6．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在中，．点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作交或于点．当点不与点重合时，以为邻边作矩形，设点的运动时间为秒（），矩形的面积为．
(1)直接用含的代数式表示线段的长；
(2)求S与之间的函数关系式；
(3)当时，直接写出的值．
题型三 拱桥问题
7．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图是一座拱桥的横截面示意图，其呈抛物线形状．已知该桥的跨度，桥墩露出水面的高度，在距点O水平距离为的地点，拱桥距离水面的高度最大为．以横截水面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)已知游船露出水面的高度是，为了游船安全，要在水面上的D，E两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从D，E两点之间安全通过，则点D距离桥墩的距离至少为多少米？
8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式．
(2)同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）．
9．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱构成（如图），抛物线最高点E到地面的距离为，以所在直线为x轴．过点E且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，已知点是的中点，，，，．
(1)求图中抛物线的函数表达式；
(2)为了安全，需要对大棚进行加固，工作人员准备在大棚上安装矩形“支撑架”，点P、Q在抛物线上，点M、N在x轴上．当时，求“支撑架”的总长度（即矩形的周长）．
题型四 销售问题
10．（2026九年级·全国·专题练习）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数，在销售过程中，销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本的．
(1)设服装店每月获得的利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
11．（25-26九年级上·福建福州·月考）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围．
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元?
(3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元?
12．（四川省凉山彝族自治州2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）苦荞麦生长在凉山的高寒山区，具有降血糖、血脂等功效．苦荞制品包括苦荞茶、苦荞面等，市场上苦荞茶的进价比苦荞面的进价每盒多20元，某商家用500元购进的苦荞茶盒数比用450元购进的苦荞面盒数少5盒．在每个月的销售调查中，该商家发现苦荞茶每盒售价51元时，可售出390盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
(1)求苦荞茶、苦荞面每盒的进价各多少元？
(2)若物价部门规定苦荞茶每盒销售单价不低于51元且不高于90元，设苦荞茶每盒售价x元，该商家每月销售苦荞茶的利润为y元，求y关于x的函数解析式并求出y的最大值．
题型五 投球问题
13．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在“浙城市争霸赛”中，球员甲正在投篮，球运动的路线是抛物线的一部分．投篮时他与篮筐中心的水平距离为5米，篮球出手时的高度约为2.05米，当球在空中飞行的水平距离为3米时能达到最大高度3.85米．已知篮筐距离地面的高度为3.05米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线的函数表达式．
(2)甲投篮时，若没有其他干扰，投出的这个球能否准确命中？
(3)甲投篮时，若对方球员乙在甲前面1.2米处起跳拦截，且乙的拦截高度为3.15米，那么乙能否拦截成功？
14．（25-26九年级上·北京东城·期末）2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足二次函数关系．
机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系．
(1)根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为_____________米，满足的函数关系是_____________；
(2)若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足，视为有效投篮，则机器人投篮_____________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮_____________（填“有效”或“无效”）．
15．（25-26九年级上·全国·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐．
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米．
(1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”）
(2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）．
(3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？
题型六 喷水问题
16．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系．
(1)求图中水柱所在抛物线的函数解析式；
(2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离．
17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
18．（25-26九年级上·北京·月考）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水呈抛物线形状，记喷出的水与池中心的水平距离为，距地面的高度为，测量得到如表数值：
小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，画出函数的图象，并求出该函数的解析式；
(2)结合函数图象填空：出水口距地面的高度为______m，水达到最高点时与池中心的水平距离为______m；
(3)水柱落地点与池中心的距离为______m，为了使水柱落地点与池中心的距离不超过，如果只调整出水口的高度，其他条件不变，出水口至少需要降低______m．
题型七 增长率问题
19．（24-25九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
20．（24-25九年级上·浙江温州·月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为 （直观关系式无需化简）
21．（24-25九年级上·云南昆明·月考）为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A．B．
C．D．
题型八 其他问题
22．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程（单位：m）与滑行时间（单位：s）满足函数关系：；在缓冲道上的滑行路程（单位：m）与在缓冲道上的滑行时间（单位：s）满足函数关系：，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时，则他在坡道上的滑行路程为（ ）
A．B．C．D．
23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为，到地面的距离与均为，绳子甩到最高处时，最高点距地面的垂直距离为．身高为的小吉站在之间，当他的位置距点的水平距离为 时，绳子刚好通过他的头顶上方．
24．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
若记2017年度为第1年度，2018年度为第2年度，……，在直角坐标系中用点表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2017年度开始的年度纯收入变化趋势： ，，，以便估算甲农户2025年度的纯收入．
(1)能否选用函数进行模拟？请说明理由；
(2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由；
(3)甲农户准备在2025年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农户2025年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求．
题型九 线段周长问题
25．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，设交y轴于点C，若时，求出点P的坐标及点C的坐标．
26．（青海省西宁市2025-2026学年九年级上学期期末调研数学试卷）如图，二次函数的图象经过点，，点P是第一象限函数图象上的一个动点，过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的最大值．
27．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型十 面积问题
28．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，，若，求点的坐标．
29．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，顶点为，将抛物线沿轴平移使其经过点得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的函数解析式与点的坐标；
(2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标；
(3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值；
题型十一 角度问题
31．（25-26九年级上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点、是抛物线上的点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点，连接，当平分时，求点的坐标．
32．（25-26九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点．
(1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m．
①当时，求P点坐标；
②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值．
33．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点．
(1)求此拋物线的解析式；
(2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标；
(3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标．
题型十二 特殊三角形问题
34．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上．
(1)直接写出随的增大而减小时的取值范围．
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点是轴上一点，当时，求点的坐标．
35．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是直角三角形，请直接写出点的坐标．
题型十三 特殊四边形问题
37．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)假设将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点平移后的对应点分别记为点，当点在点右侧时，求以为顶点的四边形周长的最大值．
38．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点，
(1)求抛物线的表达式；
(2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标．
题型十四 相似三角形问题
40．（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，在轴上有一点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是第二象限内抛物线上一点．连接，若，求所在直线的表达式．
41．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线分别与轴和轴交于点和点，且．
(1)将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线，求，的值；
(2)连接，点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交该抛物线于点．当以，，为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标．
42．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接，在线段上有一动点P，且点P不与B、C重合，过P作y轴的平行线，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与相似时，求P点的横坐标．
题型十五 二次函数的新定义问题
43．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
（1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）；
（2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值；
【定义应用】
（3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值．
44．（2025·辽宁本溪·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点．
【定义应用】
（1）求反比例函数图象的完美点；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标．
45．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律．
【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______．
【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）；
【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题：
①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值；
②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数．
1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为 ．
6．（25-26九年级上·浙江温州·月考）图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为 m．
7．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是 ．
8．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）咸阳被称为“苹果之乡”，所产苹果销往全国各地．某超市1月份以20元/箱的价格购进一批苹果，经市场调查后发现，这种苹果的月销售量y（箱）与售价x（元/箱）（）之间满足一次函数，其图象如图所示．该苹果的总销售利润为w元，要使销售利润最大，售价x应定为 元．
9．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标．
10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）一家水果超市以每斤元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低元，每天可多售出斤．
(1)销售这批橘子要想每天盈利元，且保证每天至少售出斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
(2)当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少？
11．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点M在x轴下方的抛物线上，连接交x轴于点D，若，求点M的横坐标；
(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上运动（不与点B、C重合），过点P作于点D，当动点P在什么位置时，线段的值最大，求线段的最大值，并求此时点P的坐标．
12．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）原地正面投掷实心球是初中学业水平考试的必考科目之一，小明的爸爸用高速摄像机记录了他的投掷情况，以便分析和改正不良动作，其中第一次投掷的数据为：
如图小明根据以上数据，以为横坐标，为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们，请回答下列问题：
(1)观察图象，可判断该图象是______的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），且当水平距离为______时，实心球运动到最高的位置；
(2)求与的解析式：
(3)第二次投掷的竖直高度与水平距离之间的关系满足请通过计算说明两次投掷着陆点的水平距离是否相同？差多少？
1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③的面积为定值；④直线必过一定点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（25-26九年级上·上海·月考）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．
4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为 ．
5．（25-26九年级上·北京朝阳·月考）某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为，
①求a，b的值；
②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离．
(2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过．
6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点．

(1)直接写出该二次函数的表达式______；
(2)①若点和点为抛物线上的点，则______（填、、或）
②将抛物线向左平移个单位（），然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为______
(3)已知为线段上一点，设其横坐标为t，过点作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标．销售单价x/元
…
12
13
14
…
每天销售数量y/件
…
36
34
32
…
水平距离x（米）
0
1
2
3
4
5
竖直高度y（米）
0
1
2
3
3
3
年度
2017
2018
2019
2025
2025
年度纯收入（万元）
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2