陕西省西安高新第一中学2026届高三上学期数学模拟试题（原卷+解析）

这是一份陕西省西安高新第一中学2026届高三上学期数学模拟试题（原卷+解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸．， 已知抛物线，直线与交于两点， 已知函数，．等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4.考试结束后，只需上交答题纸．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数据的方差为（ ）
A. 4B. 8C. 2.4D. 9
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
5 已知，，则（ ）
A. B. C. D. 7
6. 已知数列为等差数列，前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（ ）
A. 4B. C. 2D.
8. 如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（ ）
A. B. C. D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正项等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 数列是单调递减数列B.
C. D.
10. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A. 是以4为周期的周期函数
B. 点是函数一个对称中心
C.
D. 函数有4个零点
11. 设是双曲线左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 双曲线的离心率为
C. 点到轴的距离为D. 四边形的面积为15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，已知，且，则______．
13. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______.
14. 对函数，若，，，为某一个三角形的边长，则称为“三角形函数”，已知为“三角形函数”，则实数m的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
15. 已知函数，．
（1）求；
（2）求函数的最小值和单调增区间．
16. 已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求C的方程；
（2）若为以为底边的等腰三角形，求的面积．
17. 在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设有两个极值点，求取值范围.
19. 信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若，是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为，若，的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后，中含有字节1的个数为.
（1）若两次加密后的，中字节1的个数为2，且，求，通过第一次加密后字节1的个数为2的概率；
（2）若一条信息有种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，则称（其中为这条信息的信息熵，试求，经过两次加密后字节1的个数为的信息熵；
（3）将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节第二次加密的次数为.证明：.
高三年级数学学科 试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4.考试结束后，只需上交答题纸．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数据的方差为（ ）
A. 4B. 8C. 2.4D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】利用方差的定义直接求解即可.
【详解】数据的平均数为，
所以数据的方差为.
故选：B
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先由复数除法可得复数，再计算复数的模可得.
【详解】由，可得：.
故选：B.
3 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义直接求解.
【详解】依题意，，，
所以.
故选：A
4. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法求解.
【详解】由不等式可得，且，所以.
不等式的解集为.
故选：B.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】结合角的范围，根据二倍角公式计算出角的正、余弦值及正切值，再利用正切的差角公式计算.
【详解】，.
又，，
，，.
.
故选：D.
6. 已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的项与和的基本量运算列式，求出数列的首项和公差，即可求得.
【详解】设等差数列的公差为,
则，即，
又，即，
则由解得，
则.
故选：B.
7. 已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】联立方程，计算得出点的坐标，再求出，最后应用两点间距离公式计算求解.
【详解】抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），
联立，解得或；
所以，
又抛物线的准线为，
则直线与的准线交于点，
则.
故选：B.
8. 如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解.
【详解】设正四棱锥的底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为，
所以注水四棱台的上底边长为，体积，
设注水四棱锥的水面高度为，底面边长为，则，所以，
所以注水四棱锥部分的体积，
因为，即，解得，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正项等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 数列是单调递减数列B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据等比数列的性质结合已知条件求出通项公式，结合指数函数单调性判断选项A；利用公比判断选项B；利用前项和公式计算判断选项C；代入通项公式计算判断选项D．
【详解】设等比数列公比为，则，即，解得，
数列是正项等比数列，，故，
，则，解得，
，
，数列单调递增，故A错误；
，，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
10. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A. 是以4为周期的周期函数
B. 点是函数的一个对称中心
C.
D. 函数有4个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的性质求函数的周期可判断A的真假；探究与的关系判断B的真假；根据函数的周期性求函数值，判断C的真假；分别作出函数与的草图，数形结合，根据两函数图象交点的个数，判断函数的零点个数，判断D的真假.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
又因为，所以函数的图象关于直线对称.
所以，
所以.
所以函数是周期为8的周期函数，所以选项A错误；
因为，，所以，所以函数的图象关于点中心对称，故选项B正确；
因为函数是周期为8的周期函数，所以， ，所以，故选项C正确；
当时，，所以.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
且，，.
作出函数与函数的图象，如图所示：
可知两个函数的图象有3个交点，因此函数有3个零点，所以选项D错误.
故选：BC
11. 设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 双曲线的离心率为
C. 点到轴的距离为D. 四边形的面积为15
【答案】ABD
【解析】
【分析】过向作垂线，垂足为，易知、、，结合已知求出双曲线参数，再依次判断各项的正误.
【详解】由题意，，如图，过向作垂线，垂足为，
利用中位线可得，，
因为，则，得，故A正确；
由，得，且，
又，
，，所以双曲线的离心率，故B正确；
的面积，
，则点到轴的距离为，故错误；
的面积，则四边形的面积为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，已知，且，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据向量加减法的运算法则，拆解向量，化简求值.
【详解】因为，
则带入，得，
整理得．又，
所以，解得．
故答案为:4.
13. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案.
【详解】因为，所以根据正弦定理得，
代入，可得，解得，.
所以由余弦定理可得，即.
故答案为：.
14. 对函数，若，，，为某一个三角形的边长，则称为“三角形函数”，已知为“三角形函数”，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可知，恒成立，转化为，再分情况讨论求函数的最值，即可求实数m的取值范围.
【详解】由题意可知，三角形两边之和大于第三边，得恒成立，即，因为，当时，满足；当时，单调递减，由 得；当时，单调递增，由 得；因此实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
15. 已知函数，．
（1）求；
（2）求函数的最小值和单调增区间．
【答案】（1）
（2）最小值为；单调增区间为，
【解析】
【分析】（1）把代入函数解析式，求出，再结合的取值范围求解；
（2）求出解析式，利用正弦型函数的性质求函数的最小值和单调增区间．
【小问1详解】
，则，故，
又，．
【小问2详解】
．
函数最小值为，当即时取得最小值．
令，，解得，；
函数的单调增区间为，．
16. 已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求C的方程；
（2）若为以为底边的等腰三角形，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由化简整理可得的方程；
（2）由题意可知，以为底边的等腰三角形的顶点在直线上，联立直线与的方程，可求得，从而得，求出，进而由三角形面积公式求出答案．
【小问1详解】
点关于坐标原点的对称点为，
设，则，且，
∵，且，
∴整理得.
∴的方程为．
【小问2详解】
∵点关于坐标原点的对称点为，，
∴的垂直平分线过原点且斜率为，故的垂直平分线的方程为.
∴以为底边的等腰三角形的顶点在直线上，
联立，解得．
故，
又.
∴.
17. 在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理证明垂直，再结合面面垂直的性质定理可证明线面垂直；
（2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可.
【小问1详解】
在矩形中，，，为的中点，
所以，所以，所以，
因平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
【小问2详解】
取的中点，的中点，连接，则，所以平面，
由题可得，所以，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
所以．设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用导数求解函数的单调性；
（2）分，和讨论即可；
（3）根据二次函数根的分布得到，计算，再设新函数，求导得到单调性即可得到范围.
【小问1详解】
当时，的定义域为，
求导，令，解得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上，在和上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
，设.
若，则当时，在上单调递减，，所以在上单调递减，．
若，则当时，，
所以在上单调递减，
，所以在上单调递减，．
若，则当时，在上单调递增，，所以在上单调递增，．
综上，的取值范围是．
【小问3详解】
的定义域为.
由题设关于的方程在有两个不同实数根，
且，
设，则图象关于直线对称，
因为，所以，解得．
所以
.
设，则当时，，
所以单调递增，所以.
所以的取值范围是．
19. 信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若，是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为，若，的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后，中含有字节1的个数为.
（1）若两次加密后的，中字节1的个数为2，且，求，通过第一次加密后字节1的个数为2的概率；
（2）若一条信息有种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，则称（其中为这条信息的信息熵，试求，经过两次加密后字节1的个数为的信息熵；
（3）将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节第二次加密的次数为.证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设事件为“通过第一次加密后字节1的个数为”，事件为“通过第二次加密后字节1的个数为2”，，利用全概率公式，条件概率的计算公式，即可求解；
（2）由随机变量，根据独立重复试验的概率公式，分别求得相应的概率，结合信息熵的计算公式，即可求解；
（3）利用期望的计算公式，求得，再由，得出和表达式，两式相减，得到，结合极限的思想，即可得证.
【小问1详解】
解：记事件为“通过第一次加密后字节1的个数为”，，
事件为“通过第二次加密后字节1的个数为2”，
则，，
，
则，
故.
【小问2详解】
解：由题意知，随机变量，
由（1）知，
同理可得，
则，
所以信息熵.
【小问3详解】
解：由题知，其中，
则，
因为，
，
，
两式相减得
，
所以，
当无限增大时，和都无限趋近于0，且，
所以.
【点睛】对于随机变量的期望与方差问题的求解策略：
1、求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能取值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算；
2、要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差的计算公式计算，则更为简单；
3、在实际问题中，若两个随机变量，有或比较接近时，就用与来比较两个随机变量稳定程度，即一般地期望最大（或最小）的方案最为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小（最大）的方案作为最优方案.