四川省达州市达川区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷+解析）

这是一份四川省达州市达川区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷+解析），共34页。
温馨提示：
1．答答题卷前，请考生务必将密封线内各项内容填写清楚．
2．用蓝、黑色墨水钢笔或圆珠笔直接将答案写在答题卷上，不能使用铅笔和涂改液．
A卷（共100分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点，都在直线上，则与关系是（ ）
A. B. C. D.
3. 近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差（单位：千克）如表：
已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则的值可能是（ ）
A. 0B. 2C. D.
4. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 命题“若，则．”下列选项中，的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知和关于轴对称，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
8. 你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. v和h均随t的增大而增大D. t每增加，h的增加量相同
二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 已知实数，满足与互为相反数，则的值为________．
10. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为________．
11. 如图，已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________．
12. 如图，直线，直角顶点落在直线上，若，则________．
13. 如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为________．
三、解答题（本题共5个小题，共48分）
14. 计算或解方程组：
（1）；
（2）．
（3）
15. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标为，，，按下列要求作图，并回答下列问题．
（1）画出关于轴对称的图形（点，、分别对应）；
（2）的面积________；
（3）请在轴上找出一点，满足线段的值最小，画出点，并写出点坐标．
16. 一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生________人，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是________元，中位数是________元；
（3）全校1380名学生中，捐款20元及以上学生估计有多少人？
17. 如图，已知，．
（1）与有怎样的位置关系？请说明理由．
（2）若平分，于点，，求的度数．
18. 已知如图，直线与轴、轴相交于点、，坐标分别为和点；直线交直线于点，交轴于，若点的横坐标为．
（1）求直线、的表达式；
（2）求的面积；
（3）点是直线上一点，过点作直线平行于轴，交于，若，求点的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是__________．
20. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若．则图中阴影部分的面积为________．
21. 将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度________．
22. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______
23. 如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点作的角平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点，若，，则的长度为________．
二、解答题（本题共3个小题，共30分）
24. 研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有租车方案．
（3）在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
25. 已知和都是等腰直角三角形，，的锐角顶点在的斜边上．
（1）如图1，连接．
①请你探究与之间的关系，并证明你的结论；
②求证：．
（2）如图2，若，，点是的中点，求点到线段的距离．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，若实数、满足，点在轴负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
（1）求点的坐标和直线的解析式；
（2）求面积；
（3）在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
甲
乙
丙
丁
25
25
24
22
2
达川区2025年秋季教学质量检测
八年级数学试卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
温馨提示：
1．答答题卷前，请考生务必将密封线内各项内容填写清楚．
2．用蓝、黑色墨水钢笔或圆珠笔直接将答案写在答题卷上，不能使用铅笔和涂改液．
A卷（共100分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简给出的实数，然后进行比较即可．
【详解】解：∵（-2）2=4，|-|=，2=，π≈3.14，
又∵4＜5＜6.25，6.25＜8＜9，
∴2＜＜2.5，2.5＜＜3，
∴＜＜π＜4，
∴|-|＜2＜π＜(−2) 2．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2. 已知点，都在直线上，则与关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比较一次函数的函数值的大小，根据一次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴随着的增大而减小，
∵点，都在直线上，且，
∴；
故选A．
3. 近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差（单位：千克）如表：
已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则的值可能是（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据方差判断稳定性，根据乙品种产量最稳定即方差最小，且产量不都一样即方差不为零；比较各品种方差，乙的方差a需小于其他品种的最小方差且大于0，即可．
【详解】解：∵乙品种产量最稳定，
∴方差a最小；
∵乙的10棵果树产量不都一样，
∴；
其他品种方差：甲为，丙为2，丁为，最小方差为；
∴
∴a的值可能是．
故选D．
4. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键．
根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程．
【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺，
∴图中直角三角形的斜边长尺，
根据勾股定理建立方程得：．
故选：D．
5. 命题“若，则．”下列选项中，的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查举反例说明假命题，根据题意，需找反例使成立但不成立，即 ，进行判断即可．
【详解】解：对于选项C：， ，
∵， ，
∴，即成立，
但，
∴，即不成立，
故命题为假命题．
其他选项均不支持反例：A、B、D 中 且均成立；
故选C．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查化简二次根式，二次根式的运算，根据二次根式的性质，减法法则，乘除法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，原运算正确，符合题意；
故选：D．
7. 已知和关于轴对称，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标特征，求算术平方根，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键．
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a和b的值，再进行计算即可求解．
【详解】解：∵点和关于轴对称，
∴，，
解得，，
∴．
故选：B．
8. 你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. v和h均随t的增大而增大D. t每增加，h的增加量相同
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，结合函数的图象理解题目意思是解答本题的关键．根据函数图象，逐一判断选项的正误即可．
【详解】解：A．由题图②可知，当时，，选项A不符合题意；
B． 由题图③可知，当时，，选项B不符合题意∶
C． 由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，选项C不符合题意∶
D． 由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加，h的增加量不同．选项D符合题意．
故选：D．
二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 已知实数，满足与互为相反数，则值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值．
根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∵且，
∴且，
∴，，
∴．
故答案为：．
10. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，根据作图得到线段平分，如图所示，过点作于点，则，结合题意可判定是等腰直角三角形，则，由此即可求解．
【详解】解：根据作图得到线段平分，如图所示，过点作于点，
∴，
∵，即，
∴，
在中，，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为： ．
11. 如图，已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解两直线的交点的含义是关键，根据题意，把点代入直线得到，由此即可求解．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴，
∴，
∵关于，的二元一次方程组变形得，，
∴方程组的解为，
故答案为： ．
12. 如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则________．
【答案】42
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据题意得到，，，等量代换即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：42 ．
13. 如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及规律型．利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出规律，即可得出答案．
【详解】解：为等腰直角三角形，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
的长度为，
，
故答案为：．
三、解答题（本题共5个小题，共48分）
14. 计算或解方程组：
（1）；
（2）．
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二元一次方程组求解，掌握二次根式混合运算法则，加减消元法是关键．
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）运用二次根式的混合运算法则，完全平方公式去括号，再计算加减即可；
（3）将方程组化简得，再运用加减消元法计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：，
原方程组化简，得，
②－①，得，
解得：，
把代入①，得，
∴原方程组的解为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标为，，，按下列要求作图，并回答下列问题．
（1）画出关于轴对称的图形（点，、分别对应）；
（2）的面积________；
（3）请在轴上找出一点，满足线段的值最小，画出点，并写出点坐标．
【答案】（1）见解析 （2）2
（3）见解析，点坐标为
【解析】
【分析】本题考查了图形的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题：
（1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，找到关于轴对称的点，连接即可；
（2）补全法，将三角形补成长方形，面积即为长方形减去三个直角三角形的面积；
（3）根据两点之间线段最短作答，作关于轴的对称点，并与相连接，此时的交点即为．
【小问1详解】
解：如图1所示：
【小问2详解】
解：面积，
故答案为：2．
【小问3详解】
解：点位置如图2所示，点坐标为．
16. 一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生________人，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是________元，中位数是________元；
（3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？
【答案】（1）60；见解析
（2）10，15 （3）捐款20元及以上的学生估计有345人
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，众数和中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）用D：捐款20元的人数所占的比例即可求出抽查了多少学生，抽查人数减去其他几组人数即可得出C的人数，即可将条形统计图补充完整；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可；
（3）用总人数乘捐款20元及以上的学生人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：（人），
的人数：（人），
将条形统计图补充完整如图：
故答案为：60；
小问2详解】
解：根据题意得：捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
把这60 个数据从小到大排列位于第30位，31位的均为15，
∴中位数为15元，
故答案为：10元，15元；
小问3详解】
解：（人），
答：捐款20元及以上的学生估计有345人．
17. 如图，已知，．
（1）与有怎样的位置关系？请说明理由．
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）与平行．理由见解析
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）证明，即可证明结论成立；
（2）求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数．
【小问1详解】
解：与平行．
理由如下：
（同位角相等，两直线平行），
，

（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行）
【小问2详解】
，，
，
平分
，
，
，
，
（垂直的定义），
．
18. 已知如图，直线与轴、轴相交于点、，坐标分别为和点；直线交直线于点，交轴于，若点的横坐标为．
（1）求直线、的表达式；
（2）求的面积；
（3）点是直线上一点，过点作直线平行于轴，交于，若，求点的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为
（2）
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线的表达式，将代入直线的解析式可得，推出，将代入直线计算即可得解；
（2）求出点的坐标，从而可得，再由三角形的面积公式计算即可得解；
（3）设，则，表示出，结合，得出，求解即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为（不为0）
直线分别交轴、轴于点、点，
，解得：
直线的解析式为；
将代入直线的解析式可得，即，
，
直线交直线于点，
将代入直线可得，
解得，
直线的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，即，
，，
，
的面积，
【小问3详解】
解：设，则，
，
，
，
解得：或，
当时，，当时，，
点的坐标为或．
B卷（共50分）
一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：根据勾股定理可得：，
∵点在数轴上对应的点是，
∴点表示的实数是，
故答案为：．
20. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若．则图中阴影部分的面积为________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解，，，是关键，根据题意，，则，结合题意得到，由此即可求解．
【详解】解：在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，如图所示，
∴，，，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：9 ．
21. 将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可．
【详解】解：设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，
由题意，得
①－②，得，
解得．
故答案为：．
22. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案．
【详解】解：由题意得，，
，
，介于整数和之间，
，
故答案为：3．
23. 如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点作的角平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点，若，，则的长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识，合理作图，数形结合是关键．
根据等腰三角形的三线合一得到，，，运用等量代换得到，证明，由勾股定理得到，再根据等面积法即可得到，最后运用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，，是边上的中线，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
在中，，
如图所示，连接，
∵，
∴，
在中，，
故答案为： ．
二、解答题（本题共3个小题，共30分）
24. 研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
（3）在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生
（2）共有3种租车方案，
方案1：租用24辆小客车，4辆大客车；
方案2：租用15辆小客车，8辆大客车；
方案3：租用6辆小客车，12辆大客车
（3）最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系正确列式是关键．
（1） 设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，结合题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意得：，由二元一次方程的解的方法求解即可；
（3）根据（2）中的方法，结合题意分别算出各自的费用，再比较即可求解．
【小问1详解】
解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或或，
共有3种租车方案，
方案1：租用24辆小客车，4辆大客车；
方案2：租用15辆小客车，8辆大客车；
方案3：租用6辆小客车，12辆大客车．
【小问3详解】
解：方案一所需租金为（元）；
方案二所需租金为（元）；
方案三所需租金为（元）；
，
最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元．
25. 已知和都是等腰直角三角形，，的锐角顶点在的斜边上．
（1）如图1，连接．
①请你探究与之间的关系，并证明你的结论；
②求证：．
（2）如图2，若，，点是的中点，求点到线段的距离．
【答案】（1）①，，证明见解析；②证明见解析
（2）点到边的距离为
【解析】
【分析】（1）①根据题意证明，得，，由等腰直角三角形的性质得到，则，由此即可求解；
②由等腰直角三角形，勾股定理得到，，结合，等量代换即可求解；
（2）过点作于，根据等腰直角三角形的性质，结合（1）中的②得到，则，，根据等面积法即可求解．
【小问1详解】
解：①，，
证明：、都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
；
即，．
②证明：是等腰直角三角形，，，
，，
是直角三角形，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：过点作于，
由②知，，
，
，，
，
，
点是的中点，
，
是等腰直角三角形，，，
，，
，即，
，即点到边的距离为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求三角形的高等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，若实数、满足，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
（1）求点的坐标和直线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为；直线的解析式：
（2）
（3）存在，点的坐标为：或或或．
【解析】
【详解】解：（1）中且
，
点的坐标为，点的坐标为；
设直线解析式为（不为0）
直线上的点、点，
解得：
直线的解析式：
在中，，，
则有勾股定理得．
由折叠的性质，可知：，，
，
点的坐标为．
（2）由折叠的性质，可知：
，，
又
在和中
，
又由折叠的性质，可知：
设，则
在中有勾股定理
得
点的坐标为，
（3）存在，点的坐标为：或或或．
理由：
设点，由点、、的坐标得：
，，，
分三种情况考虑：
当时，则，解得：，即点的坐标为：；
当或时，同理可得：或，
解得：（舍去）或6或，
即点的坐标为：或或；
综上，点的坐标为：或或或．
甲
乙
丙
丁
25
25
24
22
2