2025-2026学年湖南省部分学校高三（上）9月联考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省部分学校高三（上）9月联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,3,4}，∁UB={3}，则A∩B=( )
A. {3}B. {1,4}C. {1,2,3,4}D. {1,3}
2.已知△ABC是等边三角形，边长为4，则AB⋅BC=( )
A. −8B. 8C. −4 3D. − 3
3.(12)a b的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表).若已求得一元线性回归方程y =a x+0.34，则下列选项中正确的是( )
A. a =0.22
B. x与y的样本是负相关
C. 当x=8时，y的预估值为2.2
D. 去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数r必会改变
5.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为直线x=−2，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则△AOB面积的最小值为( )
A. 18B. 16C. 12D. 8
6.记数列{an}的前n项和为Sn，a2=2，若Sn=2an(n≥2)，则S2026=( )
A. 22023B. 22024C. 22025D. 22026
7.已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，满足对任意x1、x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x1f(x2)−x2f(x1)x2−x1x的解集为( )
A. (−2,0)∪(0,2)B. (−∞,−2)∪(0,2)
C. (−2,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
8.已知平面向量m=(sinx,1)，n=(1,csx)，f(x)=m⋅n，等差数列{an}中a3=3π4，bn=f(an)，则数列{bn}的前5项和为( )
A. −5B. 0C. 5D. 18
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆C：3x2+4y2=48的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则( )
A. C的离心率为 32B. △PF1F2的周长为12
C. |PF1|的最小值为3D. |PF1|⋅|PF2|的最大值为16
10.下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为13，14，则密码被成功破译的概率为12
B. 一箱12罐的饮料中有2罐有奖券，从中任意抽取2罐，这2罐中有奖券的概率为1136
C. 一个袋子中有4个红球，n个绿球，不放回地从中随机取出两个球，若取出的两球都是红球的概率为16，则n=5
D. 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，相比3局2胜制，5局3胜制对甲更有利
11.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|0)与E交于A，B两点，与其渐近线交于C，D两点．
(1)求E的方程；
(2)设|AB||CD|=λ，求λ的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=e2x+(a−2)ex−ax(a∈R)．
(1)若a0，g(x)=2x−ln(ax)+(a−2)ex，满足当x>1a时，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
三角形内到三个顶点距离之和的最小的点称为“费马点”，当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P为其费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为其费马点．
(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c=1，acsC−b=c2．
①若C=30°，求B，并求费马点P到顶点A，B，C的距离之和；
②求△ABC周长的取值范围．
(2)若a,b,c是平面内的向量，且b⋅c=0，|b|=2|c|=2 3，求|a−b|+|a−c|+|a+c|的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aln(x+1)−sinωx，ω∈N∗，a∈R．
(1)若ω=1，f(x)在x∈[0,π2]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若a=1，且f(x)有且仅有两个不同的零点，求ω的最大值．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.A
5.D
6.D
7.B
8.B
9.BD
10.ACD
11.BD
12.14
13.4
14.π2
15.(1)证明：因底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴AE⊥BC，
又AD//BC，则AE⊥AD.又AA1⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AA1⊥AE．
∵AA1∩AD=A，且AA1，AD⊂平面ADD1A1，∴AE⊥平面ADD1A1．
(2)解：∵AA1⊥平面ABCD，AA1⊥AE，AE⊥AD，∴AE，AD，AA1两两垂直．
以A为原点，AE，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0),E( 3,0,0),A1(0,0,1),D(0,2,0),D1(0,1,1)，
设平面AD1E的一个法向量为m=(a,b,c)，AD1=(0,1,1),AE=( 3,0,0)，
则m⋅AD1=b+c=0m⋅AE= 3a=0，取b=1，得m=(0,1,−1)，
设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z)，A1D1=(0,1,0),A1E=( 3,0,−1)，
则n⋅A1D1=y=0n⋅A1E= 3x−z=0，取z=3，得n=( 3,0,3)，
设平面AD1E与平面A1D1E夹角为θ，
则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=3 2×2 3= 64，
故平面AD1E与平面A1D1E夹角的余弦值为 64．
16.解：(1)因为等轴双曲线E过点(2, 2)，
①若E的焦点在y轴上，不妨设E：y2a2−x2a2=1，
代入(2, 2)，可得a2=−2，不符题意，
②若E的焦点在x轴上，不妨设E：x2a2−y2a2=1，
代入(2, 2)，可得a2=2，
则E：x22−y22=1，
综上所述，E：x22−y22=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，
联立x22−y22=1y=kx+2，可得(1−k2)x2−4kx−6=0，
∴1−k2≠0，Δ=16k2+24(1−k2)>0，
解得k∈(0,1)∪(1, 3)，
∴x1+x2=4k1−k2，x1x2=−61−k2，
显然双曲线E的渐近线方程为y=±x，不妨设C为直线：y=x与直线l的交点，
联立y=xy=kx+2，
可得x3=−2k−1，同理x4=−2k+1，
∴λ=|AB||CD|=|x1−x2||x3−x4|= (x1+x2)2−4x1x2|x3−x4|= (4k1−k2)2+241−k2|−2k−1+2k+1|
=2 2 3−k2|k2−1||4k2−1|= 22 3−k2，
∵k∈(0,1)∪(1, 3)，∴ 22 3−k2∈(0,1)∪(1, 62)，
∴λ的取值范围为(0,1)∪(1, 62)．
17.(1)因为函数f(x)=e2x+(a−2)ex−ax(a∈R)，
所以f′(x)=2e2x+(a−2)ex−a=(2ex+a)(ex−1)，
①当a=−2时，f′(x)=2(ex−1)2≥0恒成立，故f(x)的增区间为(−∞,+∞)，无减区间；
②当a0，得xln(−a2)，
由f′(x)