湖北省部分学校2026届高三元月调考第二次联考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设复数 ，若 的实部与虚部相等，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 已知函数 是定义在 上 奇函数，当 时， ，那么 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 将直线 绕点 逆时针旋转 （ 为锐角，其中 ）后所得直线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 、 为椭圆 的两个焦点， 、 为 上关于坐标原点对称的两点，若四边形
为矩形，则四边形 的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知集合 ， ，若 ，则 a 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
6. “东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西
部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付
费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查 A、B、C 三
个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有 算力需求时，最优方案所需费用
为（ ）
公司 算力 租赁最少费用
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A 公司 120 万元
B 公司 180 万元
C 公司 220 万元
A. 240 万元 B. 260 万元 C. 280 万元 D. 300 万元
7. 如图， 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若 ，
，点 M 为线段 上的动点，则 的最大值为（ ）
A. B. 21 C. 24 D. 40
8. 函数 的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，给出下列四个命题中的真命题有（ ）
A. 在 上单调递增 B. 的最小正周期是
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，E 为棱 的中点，F 为底面 内一动点（含
边界），则下列说法正确的命题有（ ）
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A. 若 平面 ，则动点 F 的轨迹长度为
B. 不存在动点 F，使 平面
C. 若 平面 ，则三棱锥 体积的最大值为 2
D. 若正方体 的外接球为球 O，则球 O 被平面 所截截面圆的面积为
11. 已知抛物线 的焦点为 F，点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线上动点 P，则 的最大值为
B. 抛物线两条互相垂直的切线交点为 P，若 P、F、A 三点共线，则
C. 过 作抛物线两条切线，切点分别为 M，N，则三角形 的面积为
D. 若抛物线第一象限上点 P 的切线与 y 轴和直线 的夹角相等，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 展开式中， 的系数为 30，则 a 的值为______．
13. CBA 季后赛总决赛在甲、乙两支球队进行，总决赛采用七局四胜制（7 场 4 胜），总决赛的主场优势授
予常规赛排名更高的球队，采用“ ”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后是对
手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）．设甲队主场取胜的概率为 ，客场取胜的概率为 ，
且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更高，那么甲队 获胜的概率是______．
14. 已知函数 ．若函数 （e 为自然对数的底数）
恰有 4 个零点，则 k 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 为数列 的前 n 项和，已知 ．
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（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 ．
16. 某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了 80 位会员，得到的数据如表所示（单
位：人）：
是否喜欢健身操
年龄 合计
喜欢健身操 不喜欢健身操
青年 15 25 40
中年 20 20 40
合计 35 45 80
（1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？
（2）已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为 ， ， ；且小邹在这三
种项目中达到“训练标准”的概率依次为 ， ， ．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽
”项目的概率。
附： ， ．
17. 如图 1，在直角梯形 中， ， ， ， ，点 E 是
上靠近点 D 三等分点，现将 沿着 折起，使得点 D 到达点 P 的位置，且 ，如图 2．
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（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 P，A，B，C 在同一个球面上，设该球面所在球的球心为 O，证明：点 O 在平面 内；
（3）若点 F 为线段 上一点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 所
成角的余弦值．
18. 如图，椭圆 与双曲线 第一象限交于 A，B 两点．
（1） 直线 斜率是否为定值，若是，求出其取值，若不是，请说明理由；
（2）若 ，x 轴上存在一点 P 满足 ，且 ，求 t 的值．
19. 已知函数 ．
（1）若函数 在点 处的切线过 ，求 a 的值；
（2）若 ，证明： 恒成立；
（3）试求出正整数 a 的最小值，使 存在唯一的极值点．