湖北省多校2026届高三上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过求解不等式得到集合，再根据交集的定义进行运算即可得解.
【详解】要使函数有意义，须满足，即，
即，解得，所以.
因为，所以，即.
故选：C
2. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ）
A. 6B. 6.5C. 7D. 7.5
【答案】C
【解析】
【分析】首先明确上四分位数即第75百分位数，再根据个数据的第百分位数的求法求解即可.
【详解】已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由，
该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7.
故选：C
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据运算周期性和复数的除法运算直接化简求解即可.
【详解】，.
故选：A.
4. 正项等比数列的前n项和为，，则（ ）
A. 6B. 9C. 8D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列求和公式求得，进而可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
则
即，解得：，
又，
解得，
则，
故选：B
5. 已知，，，则（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量减法的坐标运算和向量垂直的坐标表示计算得到参数值
【详解】由题可知，，因为，所以，
解得.
故选：A.
6. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ）
A. 1B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别写出的对称中心为，的对称中心为，由题意得到，求解即可.
【详解】令，得，
所以函数的对称中心为，
又函数的对称中心为，
函数的对称中心与函数的对称中心重合，
所以，即，
故选：D
7. 已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可推导得到，结合可设，，利用向量坐标运算表示出，计算可得，可知当时，取得最小值，进而得到结果.
【详解】，
，则，
，两点在以为圆心，为半径的圆上，
设，由可取，
，
，
则当时，取得最小值，.
故选：C.
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，
即，，又，，即；
令，则，
令，则，在上单调递减，
，在上单调递减，
，即，；
综上所述：.
故选：C.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 是函数的一条对称轴
B. 是的充要条件
C. 已知，则
D. 的展开式中项的系数为5
【答案】AC
【解析】
【分析】由正弦函数对称轴的求法可判断A；解一元二次不等式可判断B；由随机变量间方差的关系式可判断C；由二项式的通项公式可判断D.
【详解】对于A，函数 的对称轴满足 ，即 。
取 ， 确实是一个对称轴，所以 A 正确；
对于B，由 ，得： 或 ，
当时，成立，而不成立，所以 B 错误；
对于C，，因此 C 正确；
对于D， 展开通项 ，
项对应 ，系数 为，不是5，所以 D 错误.
故选：AC
10. 已知，则下列选项中正确的是（ ）
A. 是函数的零点
B. 的极大值点为
C. 的图象关于点中心对称
D. 使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题目条件结合函数零点、导数与极值、函数图像的对称性、不等式与单调性等性质逐一分析判断选项.
【详解】选项A：计算，故零点，A正确.
选项B：由，令得开口向上，
较小根处导数由正变负，故为极大值点，B正确.
选项C：计算，，
则恒成立，故图象关于点中心对称，C正确.
选项D：由函数图象关于点中心对称可知，不等式化简为，
当时，单调递增且，故，，D错误.
故选：ABC
11. 已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A. 点为中点时，平面
B. 点为中点时，过三点作正方体的截面，则截面周长为
C. 与交于，则四面体的外接球的表面积为
D. 当在线段上运动时，四面体体积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面垂直性质和勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可知A正确；作出截面图形后，根据长度关系可求得B错误；根据外接球的性质可确定球心位于过点且平行于的直线上，利用可构造方程组求得，代入球的表面积公式可知C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得点到平面距离的最大值，结合三棱锥体积公式可求得D正确.
【详解】对于A，由题意知：，
平面，平面，，
，，平面，
平面，又平面，；
，，，
，；
，平面，平面，A正确；
对于B，连接，
分别为中点，，又，
，四点共面，
则过三点的正方体的截面为梯形，
，，，
梯形的周长为，B错误；
对于C，取中点，连接，交于点，连接，过作的平行线
平面，为的外接圆圆心，
四面体的外接球球心在过点的的平行线上，
作，垂足为，
设，则，设四面体的外接球半径为，
由得：，解得：，
即四面体的外接球球心即为点，半径，
四面体外接球表面积，C正确；
对于D，，，，
，；
若三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大，
以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，，
设，则，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
则点到平面的距离，
，当时，，
四面体体积的最大值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可.
【详解】
如图，取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，为侧棱，，
则，
因为上下底面边长分别为2和4，
所以，，，
所以，即棱台的高为，
棱台的体积=.
故答案为：.
13. 哪吒之《魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先计算出任取个盲盒的取法总数；分类讨论求得满足题意的取法种数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】从个盲盒中任取个盲盒，共有种取法；
抽取的盲盒中，包含哪吒，不包含龙王的取法有种；包含哪吒和一个龙王的取法有种；
任意抽取个盲盒，包含哪吒和至多一位龙王概率.
故答案为：.
14. 已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___ 若，对于任意都成立，则的最大值为 _____ .
【答案】 ①. 0 ②. e
【解析】
【分析】运用两切线斜率相等列式及对数运算公式可求得第一空的结果；同构函数，研究其单调性将题设不等式转化为在上恒成立，再由求导得出函数在上的最小值即可.
【详解】由得，由得，
依题意得，即，
所以，则；
又，
即时，对于任意都成立，
令，
则，所以在上单调递增，
又因为，即，
由函数的单调性，可得对于任意恒成立，
又因为，
即为在上恒成立，所以，
令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以的最大值为，
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知点，，为坐标原点，函数
（1）求的解析式及最小正周期
（2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积
【答案】（1），最小正周期为
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果；
（2）由，结合的范围可求得或；当时，根据余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，根据正弦定理可求得，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得.
【小问1详解】
，，
，
则的最小正周期.
【小问2详解】
，，
，，则或，
或；
当时，，，
，，，，
又为的角平分线，，，
，，
；
当时，，，，
为的角平分线，，
在中，由正弦定理得：，
，在中，由正弦定理得：，
，
.
综上所述：的面积为或.
16. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，是边长为的等边三角形，是的中点，为上一点.
（1）若与交于点，满足平面，求的长；
（2）设，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据线面平行性质可知，根据平行线分线段成比例可知；由面面垂直性质可知平面，根据长度关系和勾股定理可求得结果；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角向量求法可构造方程求得的值.
【小问1详解】
若平面，
平面平面，平面，，
，，，，；
作，垂足为，连接，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
是边长为的等边三角形，为中点，，，
，，
.
【小问2详解】
分别为中点，，又，，
两两互相垂直，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，又，
，，
设平面的法向量，
则，令，则，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，
解得：或.
17. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立.
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色.
假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.
【答案】（1），，不独立
（2）分布列见解析，446
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出；
（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可.
【小问1详解】
，
，，
，所以A，B不独立；
【小问2详解】
记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件，
则，
，
，
，
∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，
二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，
三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色．
X的分布列：
．
18. 已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得；
（2）求得后，采用错位相减法可求得结果；
（3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由得：，；
，
，
当且时，，
，则；
当时，，满足；
综上所述：.
【小问2详解】
由（1）得：，
，
，
，
.
【小问3详解】
当为奇数时，；当为偶数时，；
，均递增数列，，，，
的前项中，包含数列的前项和数列的前项，
的前项和为.
19. 已知函数，，
（1）判断在上零点的个数并证明
（2）当，求证：
【答案】（1）1个，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先得到的解析式，并通过导数研究它在上的单调性，判断值的正负，由零点存在性定理即可得到在上零点的个数；
（2）将原不等式转化为证明，借助导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，即可得证.
【小问1详解】
因为，
所以，则.
令，得或，由，得或；
故当在上变化时，，的变化情况如下表：
根据上表知的极大值为，
又因为， ，
所以由零点存在性定理可知，函数g在上零点的个数为1个；
【小问2详解】
要证明，即证明.
令，则.令可得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.
设函数，则.
令，则，
易知在上单调递增.
因为，所以存在，使得，
从而函数在上单调递减，在上单调递增.
所以，，
故存在，使得，
即当时，；当时，，
从而函数在上单调递减；在上单调递增.
因为，，故当时，.
因为，所以 ，
所以.
内饰
外观
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
10
10
米色内饰
2
3
X
800
500
300
P
1
+
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增