2025-2026学年湖北省部分学校高三元月调考第二次联考数学试题（附答案解析）

这是一份2025-2026学年湖北省部分学校高三元月调考第二次联考数学试题（附答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
3．将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知、为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（ ）
A．240万元B．260万元C．280万元D．300万元
7．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．21C．24D．40
8．函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题
9．已知函数，给出下列四个命题中的真命题有（ ）
A．在上单调递增B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
10．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的命题有（ ）
A．若平面，则动点F的轨迹长度为
B．不存在动点F，使平面
C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2
D．若正方体的外接球为球O，则球O被平面所截截面圆的面积为
11．已知抛物线的焦点为F，点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线上动点P，则的最大值为
B．抛物线两条互相垂直的切线交点为P，若P、F、A三点共线，则
C．过作抛物线两条切线，切点分别为M，N，则三角形的面积为
D．若抛物线第一象限上点P的切线与y轴和直线的夹角相等，则
三、填空题
12．的展开式中，的系数为30，则a的值为 ．
13．CBA季后赛总决赛在甲、乙两支球队进行，总决赛采用七局四胜制（7场4胜），总决赛的主场优势授予常规赛排名更高的球队，采用“”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更高，那么甲队获胜的概率是 ．
14．已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是 ．
四、解答题
15．记为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
16．某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据如表所示（单位：人）：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？
(2)已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为，，；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为，，．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率。
附：，．
17．如图1，在直角梯形中，，，，，点E是上靠近点D的三等分点，现将沿着折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)若P，A，B，C在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面内；
(3)若点F为线段上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．
18．如图，椭圆与双曲线在第一象限交于A，B两点．
(1)直线的斜率是否为定值，若是，求出其取值，若不是，请说明理由；
(2)若，x轴上存在一点P满足，且，求t的值．
19．已知函数．
(1)若函数在点处的切线过，求a的值；
(2)若，证明：恒成立；
(3)试求出正整数a的最小值，使存在唯一的极值点．
公司
算力
租赁最少费用
A公司
120万元
B公司
180万元
C公司
220万元
年龄
是否喜欢健身操
合计
喜欢健身操
不喜欢健身操
青年
15
25
40
中年
20
20
40
合计
35
45
80
《湖北省部分学校2026届高三元月调考第二次联考数学试题》参考答案
1．D
【分析】根据复数的四则运算结合题目条件即可求出实数的值.
【详解】，
所以，解得．
故选：D
2．D
【解析】根据是定义在上的奇函数，由求解．
【详解】由题知，，因为是定义在上的奇函数，
所以．
故选：D．
3．A
【分析】利用题目条件计算出旋转后的直线斜率，再利用点斜式列出方程.
【详解】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α，
又为锐角，其中，所以，则，
即，故直线方程为．
故选：A
4．B
【分析】求出焦点坐标，根据矩形的几何性质求出矩形外接圆的半径，利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，
故、，
由四边形为矩形，知，
故该矩形的外接圆半径，故矩形的外接圆面积为．
故选：B．
5．D
【分析】先求和，再由得，即，进而得，恒成立，即，利用单调性即可求解.
【详解】，，由，所以．
故，恒成立，所以恒成立，令，即，
又在单调递减，，
所以，
故选：D．
6．B
【分析】设相关参数，根据题意分析整体费用最少的租赁方案的可能组合，可得，，，运算求解即可.
【详解】设方案一，单位算力费用为万元，方案二，单位算力费用为万元，租用一台超级计算机费用t万元
由于A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少，
根据数据计算量支付费用分别为，，成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾，
租用超级计算机分别为，，也成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾，
则必有某公司是根据数据计算量支付费用的．
若根据数据计算量支付费用的是B公司则，
则与A公司租赁最少费用120万元矛盾；
若根据数据计算量支付费用的是C公司则，
则与A公司租赁最少费用120万元矛盾；
故根据数据计算量支付费用的是A公司，租用超级计算机的是B公司和C公司，
则，，，
解得：，，，
若某公司有算力需求时，最优方案需费用为万，
故选：B．
7．D
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【详解】根据题意可得，所以，
又因为，，所以，，
设，则，所以，，
所以
令，在上单调递增，在上单调递减，
故最大值为40，
故选：D．
8．B
【分析】利用向量把函数转化为模长乘积形式，进而利用数量积的性质转化为三角函数的最值问题.
【详解】设，，则．
故.
故选：B
9．ACD
【分析】根据正弦函数的图象与性质，利用验证法，结合选项计算依次判断即可.
【详解】A：由，得，
又函数在上单调递增，故A正确；
B：由，可知的最小正周期为，故B错误；
C：，所以的图象关于直线对称，故C正确；
D：，所以的图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD．
10．ABC
【分析】对于A：根据面面平行可得动点F的轨迹，即可得轨迹长度；对于B：建系并标点，求平面的法向量，利用向量求点F的坐标，即可判断；对于C：分析可知当F与D重合时三棱锥的体积最大，利用空间向量求相关距离，即可得体积；对于D：可知球心为，半径，求O到平面的距离，进而可得截面圆半径.
【详解】对于选项A：如图，取的中点M，的中点，
连接，，，可得，，
且平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
且，平面，可得平面平面，
所以动点的轨迹为线段，其长度为，故A正确；
对于选项B：以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
若平面，则，
可得，解得，不合题意，
所以不存在动点F，使平面，故B正确；
对于选项C：因为点到直线的距离为，
则的面积为，
显然当F与D重合时三棱锥的体积最大，则，
点F到平面的距离为，
所以三棱锥体积的最大值为，故C正确，
对于选项D：因为正方体外接球的球心为，半径，
则，则O到平面的距离为，
故球O被平面所截截面圆半径，
所以截面圆面积为，故D错误；
故选：ABC．
11．AD
【分析】对于A，利用抛物线的定义结合距离的性质可判断其正误，对于B，利用导数求出切线方程，求出交点坐标后结合斜率乘积为1得交点纵坐标，从而可求交点坐标，故可判断其正误，对于C，同B求出切线方程后可求切点坐标，从而可求面积判断正误，对于D，求出切线的斜率，再结合两角差的正切构建关于的横坐标的方程，求出解判断其正误.
【详解】对于A，过作准线的垂线，垂足为，且垂线与轴交于，
则，
而，故，当且仅当即时等号成立，
故的最大值为，故A正确.
对于B，设切线的切点分别为，
因为，故两条切线的斜率分别为，
且，，
由可得即，
而即，故.
直线方程为，
令，解得，故，故B错误；
对于C，设切点坐标分别为，，
由B中的解析可得，，
故，且，故或，
故或，
则三角形的面积为，故C错误；
对于D，
设点，设切线与轴的交点为，由B中分析可得，
故，而，
故
，
故，，故(舍去负根)，
故，故D正确.
故选：AD
12．6
【分析】根据二项式通项公式结合条件即得.
【详解】由题可得展开式通项公式为，
令，解得，则有，其系数，
所以．
故答案为：6.
13．
【分析】依题意可得甲队在前五场比赛中，赢3场输2场，第六场赢，分三个主场全胜、两个客场全负，三个主场2胜1负、两个客场1胜1负，三个主场1胜2负、两个客场2胜三种情况利用相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】甲队在前五场比赛中，赢3场输2场，第六场赢．
又前五场中甲队有三个主场，两个客场，第六场为客场．
甲队三个主场全胜，两个客场全负以获胜的概率是；
甲队三个主场2胜1负，两个客场1胜1负以获胜的概率是；
甲队三个主场1胜2负，两个客场2胜以获胜的概率是；
综上所述，甲队以获胜的概率.
故答案为：
14．
【分析】易知是的一个零点，当时，转化为两个函数的交点问题，作出函数图象分类讨论即可得解.
【详解】易知，当时，，所以是的一个零点.
所以时，有3个零点，即有3个根，
即和的图象有3个交点．
设，，则和的图象有3个交点．
当时，和的图象有且仅有1个交点，不合题意，应舍去．
函数恒过定点且对称轴为，作出和的大致图象，
当，若与的图象相切，，
设切点，则，解得．
和的图象有3个交点，则．
当，时满足题意，解得，
综上所述，．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）使用退步作差即并验证首项后即可求得数列的通项公式；
（2）先确定，再设出后使用错位相减即可求数列的前n项和.
【详解】（1）当时，，即，
当时，，解得，
当时，，，
则，
由可得：，即，
因为，满足公比为，
所以数列是首项，公比为的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）由题意得，则设，
则，
，
，
即，
化简得．
故数列的前n项和.
16．(1)不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联
(2)
【分析】（1）运用列联表进行独立性检验，通过计算卡方统计量与临界值比较，判断两个分类变量之间是否存在关联；
（2）使用全概率公式计算未达标总概率，再通过贝叶斯公式反推在未达标条件下选择特定项目的条件概率.
【详解】（1）零假设为：是否喜欢健身操与年龄无关联．
根据列联表中的数据，计算得到，
所以根据小概率值的独立性检验，不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联．
（2）设表示“选动感单车”；表示“选瑜伽”；表示“选普拉提”；表示“未达到目标”．
，，，，
，
，
小邹训练没有达标的条件下，他选择瑜伽的概率为:
．
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）在平面内过点P作于点H，连接，利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）过点H作的平行线交于点G，易得，以H为原点，建立空间直角坐标系，设A，B，C，P在同一个球的球心坐标为，半径为，利用两点间的距离公式建立方程组，求出球心即可求解；
（3）设，，利用线面角求出，进而得点的坐标，求平面与平面的法向量，再利用夹角公式即可求解.
【详解】（1）在平面内过点P作于点H，连接，
在梯形中，由，，，
易得，则，，即．
在中，由余弦定理，得
．
，且，，又，
平面，
平面，∴平面平面；
（2）过点H作的平行线交于点G，易得，
以H为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由已知，得，，，，，
再设A，B，C，P在同一个球的球心坐标为，半径为，
则有，
求解可得，即球心坐标为，所以点O在平面内；
（3）设，，由，得，则．
，易知平面的法向量为
直线与平面所成角的正弦值为，
解得，，
平面中，，设平面的法向量为，
则，令，则，，所以平面的法向量为，
在平面中，，，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
平面与平面所成角的余弦值为
.
18．(1)是定值
(2)
【分析】（1）将双曲线和椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式、直线斜率公式进行运算证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质，结合弦长公式、（1）中的结论进行求解即可.
【详解】（1）联立椭圆与双曲线有：消y得：，且
，
关于的二次方程判别式，得，，
且有，，从而，
得为定值．
（2）取中点M，作于H．
由，
，
由（1），
则，
得．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)最小值为2
【分析】（1）先求导，再求，进而求切线方程，由切线过点即可求解；
（2）由，记，即证，利用导数研究单调性求即可；
（3）设，分和两种情况讨论即可；
【详解】（1）由已知，，
所以，，
则在点处的切线为：，
即，所以，；
（2）若，则，，
所以，
记，则，
易知时，，函数递增；时，。函数递减，
；
（3）设，，
1° 当时，，易知，且时，，
时，，则1为的极大值点，
而，，
则存在，使，即应为另一极值点，知时不成立；
2° 当时，，由
知时，，恒成立，得在上单调递减，
又，，所以在内存在唯一零点，
即在内存在唯一极值点；
当时，，所以，则，单调递减，
无极值；
当时，，则，单调递减，无极值．故符合要求．
综上：正整数a的最小值为2，使存在唯一的极值点．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
B
D
B
D
B
ACD
ABC
题号
11









答案
AD









运算量付费
租赁方式付费
租赁最少费用
A公司
120万元
B公司
180万元
C公司
220万元