江西省吉安市安福县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷+解析）

这是一份江西省吉安市安福县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷+解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示的是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，从上面看到的图形是（ ）
A. B.
C D.
2. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，菱形的对角线与相交于点是的中点，连接，若，则长为（ ）
A 3B. 6C. 8D. 10
4. 智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7 若，则______．
8. 已知，分别是一元二次方程两个根，则的值为__________．
9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高____．
10. 如图，反比例函数的图象上有一点P，过点P向轴，轴作垂线，垂足为C、D，若，则____________．

11. 将矩形纸片ABCD如图那样折起，使顶点C落在处，测量得AB=4，DE=8，则为________________.
12. 如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为______．
三、解答题（本大题共3小题；每题6分，共18分）
13. （1）计算：；
（2）解方程：．
14. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
15. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长．
16. 如图，已知菱形，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，点E是边的中点，过点C作的中线；
（2）在图2中，，垂足为点M，过点C画出边上高．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
四、解答题（本大题共3小题；每题8分，共24分）
18. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
19. 如图，四边形中，平分，，为的中点．连接，．
（1）求证：；
（2）若，．求的值．
20. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A.音乐社团；B.体育社团：C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角______度，扇形统计图中所占百分比为______；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：）
（1）如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度；
（2）调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到）
22. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，．
（1）发现
①线段与线段之间的数量关系是________，
②直线与直线之间的位置关系是________
（2）探究
若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明．
（3）应用
在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）．
六、（本大题12分）
23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，．
①求证：；
②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
安福县2025—2026学年度上学期期末质量检测作业九年级数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 如图所示的是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，从上面看到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了俯视图的识别，正确理解俯视图是关键．根据俯视图的识别方法判断即可．
【详解】解：这个几何体从上面看到的图形为：
故选：D．
2. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得．
【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下：
由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果，
所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是，
故选：D．
3. 如图，菱形的对角线与相交于点是的中点，连接，若，则长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的判定与性质，先理解题意，结合菱形的性质，得是的中点，又因为是的中点，故是的中位线，因为，故，即可作答．
【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点
∴是的中点，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
即．
故选：B．
4. 智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，
由题意得，，
故选：．
5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先分别求解，再进一步比较大小即可．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴，，，
∴，
综上，．
故选：A
6. 如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是根据图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数符号及函数值的变化．
由开口方向得符号，由对称轴位置得的符号，由与轴交点得的符号，判断abc的符号；代入、得对应函数值，判断②③；根据二次函数的最值性质，判断④．
【详解】解：由图象知：图象开口向上，故；对称轴是直线，故，；与轴交于负半轴，故．
① ，，，则，正确；
② 当时，，由图象知时，，错误；
③ 当时，，由图象知时，，正确；
④当时，是最小值，故对任意，，即，正确．
综上，①③④正确，共3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了比例性质，由已知比例关系，利用分式的运算性质，将所求表达式变形后代入求解．
【详解】解：，
∴ ．
故答案为．
8. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可．
【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根，
由根与系数的关系得，，
则 ，
故答案为．
9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意可知：，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长．
【详解】解：由题意可得：，，，，
，
，
即，
解得：，
树高，
故答案为：．
10. 如图，反比例函数的图象上有一点P，过点P向轴，轴作垂线，垂足为C、D，若，则____________．

【答案】−4
【解析】
【分析】设点的坐标为，用、表示、的长，根据矩形的面积为4，列出算式求出的值．
【详解】解：设点的坐标为，
则，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．
11. 将矩形纸片ABCD如图那样折起，使顶点C落在处，测量得AB=4，DE=8，则为________________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由翻折的性质可知，．再根据正弦的定义求解即可．
【详解】由折叠的性质可知，．
∵AB=4，DE=8，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查矩形与折叠，锐角三角函数的定义．掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．
12. 如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为______．
【答案】5或或
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解题关键．
过点作于点，结合矩形的性质易得为等腰三角形，可得，进而可知为的中位线，可得，利用勾股定理可解得，若是等腰三角形，可分，和三种情况，分别求解即可．
【详解】解：如下图，过点作于点，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
当时，可有；
当时，则有，
此时；
当时，设，
则有，
在中，可有，
∴，解得．
综上所述，的长为5或或．
故答案为：5或或．
三、解答题（本大题共3小题；每题6分，共18分）
13. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和一元二次方程的解法是关键．
（1）先计算负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、计算零指数幂，再进一步计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
∴
则或
解得
14. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键．
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片，
∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种，
∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）．
15. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，由，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∵，即，
解得，，
∴，
16. 如图，已知菱形，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，点E是边的中点，过点C作的中线；
（2）在图2中，，垂足为点M，过点C画出边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先作出图形，再利用菱形的性质证明即可；
（2）先作出图形，再利用菱形的性质证明四边形是矩形即可．
【小问1详解】
解：如图，连结，交于点O，交于点，
∵四边形是菱形，
∴与互相平分，
即是的边上的中线，
又点E是边的中点，
∴为边上的中线，
连结并延长交于点，
则就是所求作的，过点C作的中线；
【小问2详解】
如图，∵四边形是菱形，
∴与互相平分，即，
∵，
∴，
连结并延长交于点，连结，
∵四边形是菱形，
∴四边形是中心对称图形，为对称中心，
∴与为对应点，
∴，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
即为边上的高，
即为所求作．
【点睛】本题考查了画三角形的高，利用矩形的性质证明，利用菱形的性质证明，无刻度直尺作图,画三角形的高等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为
（2）的面积为3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的性质．
（1）先将点代入到一次函数解析式中，求得点的坐标，进而求得k的值，即可解答；
（2）根据轴，得到点C的坐标，从而求得的长度，再根据一次函数的图象与轴相交于点，令，即可得到点A的坐标，从而求得的长度，最后由三角形面积公式即可解答．
【小问1详解】
解：点直线与反比例函数交点，
点坐标满足一次函数解析式，
，
，
，
，
，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：轴，，
，轴，
，
一次函数的图象与轴相交于点，
令，则，
，
，
，
的面积为3．
四、解答题（本大题共3小题；每题8分，共24分）
18. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔每个应涨价5元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【小问1详解】
解：设头盔销售量的月增长率为，
根据题意得： ，
解得（舍去），
答：头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设头盔每个涨价元，
根据题意得： ，
整理得，
解得，
要尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
19. 如图，四边形中，平分，，为的中点．连接，．
（1）求证：；
（2）若，．求值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．
（1）根据角平分线的性质可得，且，可证；
（2）由可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，且，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，则（负值舍去），
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
解得：，
∴．
20. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A.音乐社团；B.体育社团：C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角______度，扇形统计图中所占百分比为______；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）200；补全条形统计图见解析
（2）54，
（3）恰好选中甲、乙两名同学的概率为
【解析】
【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图；
（2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数，根据E类的人数和总人数求出扇形统计图中所占百分比即可；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：（人），
类型社团的人数为（人），补全条形统计图如图，
【小问2详解】
解：，
所占百分比为：．
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为：．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：）
（1）如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度；
（2）调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
（1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解；
（2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴端点D距离地面的高度为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
22. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，．
（1）发现
①线段与线段之间的数量关系是________，
②直线与直线之间的位置关系是________
（2）探究
若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明．
（3）应用
在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）．
【答案】（1）①；②；
（2）成立，证明见解析；
（3），或．
【解析】
【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果；
（2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果；
（3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果．
【小问1详解】
解：①∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，延长交于点，
，
∵，
∴，
由①可得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：（1）中结论还成立，证明如下：
∵四边形与四边形都为矩形，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
如图，延长，交于点，交于点，
∵，
∴
，
∴；
【小问3详解】
解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时，
，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时，
，
同理可得：，，
∴，；
综上所述，，或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
六、（本大题12分）
23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，．
①求证：；
②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①见解析；②点的坐标为或或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①求出的坐标，两点间的距离公式结合勾股定理逆定理，即可得出结论；②分点在轴正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过点和，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
当时，，解得或，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
点的坐标为；
，
顶点的坐标为，
①由两点间距离得，，
，
，，
，
是直角三角形，
；
②当点在轴正半轴上时，设点坐标为，
以点，，为顶点的三角形与相似，
或，
或，
或，
解得或，此时点的坐标为或；
当点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．