江西省吉安市吉州区2025-2026学年第一学期期末检测九年级数学试题（有解析）

这是一份江西省吉安市吉州区2025-2026学年第一学期期末检测九年级数学试题（有解析），共35页。
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 如图所示的六角螺检，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
4. 一个盒子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球．现从中任取1个球，则取到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A B. C. D.
6. 如图，在菱形中，过点分别作边上的高，连接交于点,若点是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是______．
8. 计算2sin30°+2cs60°+3tan45°=_______．
9. 已知，则_____．
10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=___．
11. 如图，原点O是ABC和的位似中心，点A(1，0)与点(－2，0)是对应点，ABC的面积是，则的面积是________________．
12. 如图，在中，，，，点在上，且，点在的边上．当时，的长为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2） 化简：
14. 已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ．
15. 为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校美琦和雨清两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）美琦同学从A测温通道通过进入校园______事件．
（2）请用列表或画树状图的方法求美琦和雨清从不同类型测温通道通过进入校园的概率．
16. 请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．

17. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是－2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为调查广西北部湾某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了该市部分市民进行调查，要求被调查者从“：自行车，：电动车，：公交车，：家庭汽车，：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名市民，扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若随机调查了广西北部湾该市市民人，估计这人中乘坐公交车和电动车出行的共有多少人？
19. 课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则．
定理证明
（1）请完成这个定理的证明．
拓展应用
（2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长．
20. 图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cs82.30°≈0.134，可使用科学计算器)
图1 图2 图3
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. （1）如图1，在正方形中，点F，G分别在边，上，若，则，，之间的数量关系为：_______；（提示：以点D为旋转中心，将顺时针旋转）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中正方形改为菱形，，菱形的边长为8，G，F分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．
22. 阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知一元二次方程的两根，，则______，______；
（2）已知实数满足，，求值．
（3）已知实数满足、，且，求c的最大值．
六、（本大题共12分）
23. 在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究．
【观察猜想】如图①，和均为等边三角形，当点E、D分别在边上，易证：，．

【实践发现】如图②，将图①中的绕着点B逆时针旋转，连接、，线段与线段的数量关系为 ，直线与直线相交，所夹锐角为 °；
【类比探究】和均为直角三角形，．
（1）观察感知：如图③，当且点E、D分别边上，易证：；
（2）问题呈现：如图④，将图③中的绕着点B逆时针旋转，连接、．直线与直线交于点M．线段与线段的数量关系为 ， °；
（3）探究证明：如图⑤，当时，线段与线段的数量关系是什么？请说明理由，此时， °；
（4）拓展应用：在（3）的条件下，若，，将绕点B逆时针旋转一周，在整个旋转过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线的距离．2025—2026学年第一学期期末检测
九年级数学试卷
说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 如图所示的六角螺检，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从左面看到的图形即可得到答案．
【详解】解：从左面看是上面是个长方形，下面一个长方形，中间有一条竖线，
故选：D．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．
2. 已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可得，求出解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限，
∴，
解得．
故选：C．
3. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：连接，
∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴三点共线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
4. 一个盒子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球．现从中任取1个球，则取到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式计算是解题的关键．随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【详解】解：∵一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，
∴取到的是白球的概率为：
故选：C
5. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
6. 如图，在菱形中，过点分别作边上的高，连接交于点,若点是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作交于，可证得，又通过平行和角度关系可得，即和，即，设，则，，，根据比例关系即可求出的值．
【详解】解：如图所示：作交于，
，
，
，
，
，
同理：
，
，
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
本题考查了菱形性质及应用，相似三角形的判定和性质，作出辅助线，找出边之间的比例关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把、、分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即、、、，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故答案为：．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
8. 计算2sin30°+2cs60°+3tan45°=_______．
【答案】5
【解析】
【分析】2sin30°+2cs60°+3tan45°，
＝
＝5.
故答案为5.
【详解】本题考查了特殊角的三角函数值.牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.
9. 已知，则_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据比例的性质可得出，，，代入中，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=___．
【答案】9．
【解析】
【详解】∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3．
∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9．
考点：一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．
11. 如图，原点O是ABC和的位似中心，点A(1，0)与点(－2，0)是对应点，ABC的面积是，则的面积是________________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得△A′B′C′的面积是6．
【详解】解：∵点A（1，0）与点A′（-2，0）是对应点，原点O是位似中心
∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2
∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4
∴△A′B′C′的面积是6．
故答案是：6
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
12. 如图，在中，，，，点在上，且，点在的边上．当时，的长为______．
【答案】2或或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用平方根解方程等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据含角的直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出，分三种情况讨论∶当点在上时；当点在上时；当点在上时；分别求出的长即可．
【详解】解：，，，
，
，
，
；
当点在上时，
，
，
；
当点在上时，
如图作交于点，
，
，
，
在中，
，
或（舍去）；
当点在上时，
，，
，
或（舍去），
综上所述，的长为2或或，
故答案为：2或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2） 化简：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，涉及二次根式、零次幂、锐角三角函数值、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）先简化二次根式，计算零次幂、锐角三角函数值、负整数指数幂，再进行加减运算即可；
（2）先对括号内式子通分，将分式除法变为分式乘法，能因式分解的进行因式分解，再约分即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
14. 已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ．
【答案】（1）见解析 （2），方程的另一个根为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况；
（2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案．
【小问1详解】
证明：
无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根.
【小问2详解】
解：设方程的另外一个根为，则
解得：，
故的值为，方程的另一个根为．
15. 为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校美琦和雨清两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）美琦同学从A测温通道通过进入校园是______事件．
（2）请用列表或画树状图的方法求美琦和雨清从不同类型测温通道通过进入校园的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：共有A，B，C三个通道，每位同学都可随机选择其中的一条通过，
小明从A通道通过的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意画树状图如下：
由上图可知，共有9种等可能的结果，其中美琦和雨清从不同类型测温通道通过的有6种情况，
因此美琦和雨清从不同类型测温通道通过的概率是．
本题考查主要考查了用树状图法或列表法求概率、概率公式等知识点，解题的关键是通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况数是解题的关键．
16. 请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
【详解】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；
（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．

17. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是－2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）y=x+2；（2）6.
【解析】
【分析】（1）由点A、B的横纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点A、B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）先找出点C的坐标，利用三角形的面积公式结合A、B点的纵坐标即可得出结论．
【详解】（1）反比例函数y=，x=2，则y=4，
∴点A的坐标为（2，4）；
反比例函数y=中y=-2，则-2=，解得：x=-4，
∴点B的坐标为（-4，-2）．
∵一次函数过A、B两点，
∴
解得：．
∴一次函数的解析式为y=x+2．
（2））令y=x+2中x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴S△AOB=OC•（xA-xB）=×2×[2-（-4）]=6．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）找出点C的坐标；本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为调查广西北部湾某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了该市部分市民进行调查，要求被调查者从“：自行车，：电动车，：公交车，：家庭汽车，：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名市民，扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若随机调查了广西北部湾该市市民人，估计这人中乘坐公交车和电动车出行的共有多少人？
【答案】（1）；
（2）见解析 （3）人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．
（1）根据组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出组的人数，再根据扇形圆心角的度数部分占总体的百分比进行计算即可；
（2）根据组的人数，补全条形统计图；
（3）用总人数乘以样本中乘坐公交车和电动车出行人数占比即可．
【小问1详解】
解：被调查的人数为：(人)，
组的人数为：(人)，
组对应的扇形圆心角度数为：；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：(人)．
答：估计这人中乘坐公交车和电动车出行的共有人．
19. 课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则．
定理证明
（1）请完成这个定理的证明．
拓展应用
（2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证；
（2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解；
【详解】（1）如图1，延长到E使得，连接，，
图1
D为中点，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
；
（2）解：如图2，连接、，
图2
，点E是的中点，，
，
点F是中点，
，，
．
20. 图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cs82.30°≈0.134，可使用科学计算器)
图1 图2 图3
【答案】（1）平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°
（2）台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°
【解析】
【分析】（1）由题意得：cm，，根据，可求；
（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得，根据，可得的值，进而可求的值．
【小问1详解】
解：由题意得，cm，，
∴
∴
∴平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．
【小问2详解】
解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．
本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的余弦值求角度．解题的关键在于找出线段的数量关系．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. （1）如图1，在正方形中，点F，G分别在边，上，若，则，，之间的数量关系为：_______；（提示：以点D为旋转中心，将顺时针旋转）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为8，G，F分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，然后证明，可得，进而可以得结论；
（2）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，，然后证明，可得，然后证明，进而可以得结论；
（3）连接，根据菱形的性质可得，是等边三角形，然后证明，可得四边形的面积的面积的面积的面积，然后根据等边三角形的面积即可解决问题．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，
，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
；
故答案为：；
（2），理由如下：
是等腰直角三角形，，
，
如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，
，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
四边形是菱形，，
，是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
四边形的面积的面积的面积
的面积的面积
的面积
．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
22. 阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知一元二次方程的两根，，则______，______；
（2）已知实数满足，，求的值．
（3）已知实数满足、，且，求c最大值．
【答案】（1）；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案；
（2）当时，、是方程两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式；
（3）将、看作是方程两实数根；利用判别式的意义得到△，所以，解得，从而得到的最大值．
【小问1详解】
解：一元二次方程的两根，，
，；
【小问2详解】
解：当时，
实数、满足，，
、可看作方程的两根，
，，
原式，
当，则原式；
综上所述，原式的值为或2；
【小问3详解】
解：，，
将、看作是方程的两实数根，
△，，即，
，
，即，
的最大值为1．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程根的判别式，灵活应用根与系数的关系是解决关键．
六、（本大题共12分）
23. 在综合实践课上，老师组织同学以“图形旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究．
【观察猜想】如图①，和均为等边三角形，当点E、D分别在边上，易证：，．

【实践发现】如图②，将图①中的绕着点B逆时针旋转，连接、，线段与线段的数量关系为 ，直线与直线相交，所夹锐角为 °；
【类比探究】和均为直角三角形，．
（1）观察感知：如图③，当且点E、D分别在边上，易证：；
（2）问题呈现：如图④，将图③中的绕着点B逆时针旋转，连接、．直线与直线交于点M．线段与线段的数量关系为 ， °；
（3）探究证明：如图⑤，当时，线段与线段的数量关系是什么？请说明理由，此时， °；
（4）拓展应用：在（3）的条件下，若，，将绕点B逆时针旋转一周，在整个旋转过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线的距离．
【答案】[实践发现] 相等，60；[类比探究]（1）证明见解析；（2），；（3），；（4）或
【解析】
【分析】[实践发现]由题意知，，，，由旋转的性质可得，则，证明，则，，如图②，延长、，交于点，根据，计算求解可得直线与直线相交，所夹的锐角；
[类比探究]（1）如图③，过作于，则四边形是矩形，则，，进而结论得证；
（2）由题意知，由，可知，证明，则，，，根据，计算求解即可；
（3）同理（2）可得，，证明，则，，即，根据，计算求解即可；
（4）由（3）可知，，；由题意知，当点A、E、D三点共线时，分两种情况求解：①如图⑥，点A、E、D三点共线，，，由题意知，，由勾股定理得，即，解得或（舍去），则，根据点C到直线的距离为，计算求解即可；②如图⑦，点A、D、E三点共线，同理①可得，，，由勾股定理得，则，，根据点C到直线的距离为，计算求解即可．
【详解】[实践发现]解：由题意知，，，，
由旋转的性质可得，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
如图②，延长、，交于点，

∵，
∴直线与直线相交，所夹锐角为，
故答案为：相等，60；
[类比探究]（1）证明：∵，，
∴，
如图③，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（3）解：，理由如下：
同理（2）可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，；
（4）解：由（3）可知，，；
由题意知，当点A、E、D三点共线时，分两种情况求解：
①如图⑥，点A、E、D三点共线，

∵，，，，
∴，，
由题意知，，
由勾股定理得，即，
解得或（舍去），
∴，
∴点C到直线的距离为；
②如图⑦，点A、D、E三点共线，
同理①可得，，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴点C到直线的距离为；
综上所述，点C到直线的距离为或．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦、余弦、正切，等边三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．