【数学】安徽省蚌埠市2025-2026学年高二上学期期末模拟卷（C卷）（学生版+解析版）

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一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的方程是，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将原式化为：，斜率为 ，
即 ，倾斜角 ；
故选：A.
2. 已知函数，则（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】由题意知,所以，解得，则，故．
故选：B.
3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】B
【解析】因为直线与直线平行，
所以有，所以有，
又因为这两条平行线间距离为，
所以有，或舍去，
所以，
故选：B.
4. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，，，
故在基底下的坐标为．
故选：A.
5. 数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
故，，，……，，
上面式子相加得，
又，故.
故选：A
6. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，
由直线与圆相切，得，解得（负根舍去），
所以，，
圆的圆心，半径，
因为，所以圆和圆相交.
故选：A.
7. 已知点是双曲线：的左，右焦点，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若的面积为4，则双曲线的渐近线方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由点P是以为直径的圆与双曲线的一个交点，可得，
设，则,
所以的面积为，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故选：C.
8. 已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】∵，∴，∴，∴
∴
∴ ．
∵，∴，∴，
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部先对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 点在圆上，点在圆上，则（ ）
A. 两个圆的公切线有2条
B. 的取值范围为
C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上
D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为
【答案】BC
【解析】易知圆的圆心为，半径，
将圆化为，可知圆心为，半径，
对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误；
对于B，易知的最小值为，最大值为，
所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确；
对于C，显然两圆圆心都在直线上，
因此直线为两圆对称轴，故C正确；
对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误.
10. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A. B. 公比为2C. D.
【答案】ABD
【解析】设等比数列的公比为，则，,
由题意得，
因为，由，得，
即，解得或（舍去）
所以， 故，.
故选：ABD.
11. 设函数，则（ ）
A. 的极小值点为3B. 当时，
C. 当时，D. 有3个零点
【答案】AC
【解析】A、B、C:由，
可得在和上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，选项A正确；
当时，又，
所以，而在上单调递增，所以，选项B错误；
当时，，而在上单调递减，
所以，所以，选项C正确；
D：由的单调性可知，的极大值点是1，极小值点是3，
而，，，，，
所以有2个零点，选项D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为______．
【答案】
【解析】如图所示：
点关于的对称点为，
由，解得，所以，
因点A，P，M三点共线，则，
令，得，所以，
点P关于x轴的对称点，
因为点三点共线，则，
令，的，所以，
所以，
解得或（舍去），
故答案为：.
13. 已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则____.
【答案】
【解析】，
当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
.
故答案为：.
14. 已知左、右焦点为，的椭圆：（），圆：，点A是椭圆与圆的交点，直线交椭圆于点B.若，则椭圆的离心率是______.
【答案】
【解析】设：与x轴的交点为P，Q，不妨设，，，
根据阿波罗尼斯圆的定义，得到，又，则，
设与轴正方向形成的角为，则，，代入得 ，
在中，，
由余弦定理得，解得，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程．
解：（1）由题知，设点，
则，所以，
即，整理得，
所以曲线C的标准方程为．
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：，
与C的交点坐标为，，此时弦长等于，符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，
设曲线C的圆心到直线l的距离为d，
由（1）知曲线C的圆心为，
所以，
因为曲线C截l所得弦长等于，
所以，解得．
所以，解得．
所以直线l的方程为：．
综上，直线l的方程为：或．
16. 已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
解：（1）设的公比为，
因为，即，
且，可得，解得或（舍去）．
又因为，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
所以
，
所以.
17. 在平行四边形中，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且．
（1）求证：平面；
（2）点在线段上，且平面与平面所成角的余弦值为，求．
（1）证明：依题意，，，在中，，
在中，，，
则，
又，平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，则，
由（1）知平面，
而平面，则，
又平面，
于是平面，
过作，则平面，
直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
而平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
而，解得，则，
所以.
18. 已知函数．
（1）直接写出在处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）若恒成立，求实数a的取值集合．
解：（1），，
，，故切线方程为，即
（2），，
当时，，，故恒成立，单调递减.
.
（3）在上恒成立，，
必要性：，函数在的左右均大于等于，故是极值点，
，；
充分性：当时，，
根据（2），当时，单调递减.
当时，设，则，
，故单调递增，
，故单调递增，
综上所述：在上单调递减，在上单调递增，故，满足，故，实数a的取值集合为.
19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为．
（1）当直线过焦点时，证明：互相垂直；
（2）当时，设弦的中点为．
①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
②求的最大值．
（1）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，，
由于焦点，设直线的方程为，
联立，消去得，，且，
则
设，，则过点的切线方程为，
联立方程组，得。
则，解得，同理，
，所以互相垂直．
（2）①解：当时，设直线的方程为，
联立，消去得，，且，
则
直线与交于点，设，
抛物线在点A处的切线方程为，即，
同理，在点B处的切线方程为.
联立，解得，
将式代入化简得，
则点在定直线上.
②解;线段AB的中点为，
由（1）可得，，，
则.
，
又
将式代入得，，
则，
由，则.
的取值范围为.