湖南省浏阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 已知斜率为 的直线经过点 ， ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】应用斜率的两点式列方程求参数值.
【详解】由题设 ，可得 .
故选：B
2. 已知直线 ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. 3 C. -1 D. 3 或-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行公式计算求参.
【详解】当 或 时两直线不平行，
当 且 时，
因为 ，
所以 ，
故选:A．
3. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 4，则 （ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义即可求解.
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【详解】 点 在抛物线 上， 抛物线开口向右， ，
又点 到抛物线焦点的距离为 4， ， .
故选：C.
4. 如图，在空间四边形 中， ， ， ，且 ， ，则 等于
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解.
【详解】根据题意，
.
故选：A
5. 某物体运动时，位移 （米）与时间 （秒）之间的关系式为： ，且
，则该物体在 2 秒末的瞬时速度为（ ）
A. 1 米/秒 B. 2 米/秒 C. 4 米/秒 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由导数的定义及瞬时速度的概念可得.
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【详解】由题意可得
，
所以 ，所以该物体在 2 秒末的瞬时速度为 1 米/秒.
故选：A
6. 在一个数列中，如果 ，都有 （ 为常数），那么这个数列叫做等积数列， 叫做
这个数列的公积.已知数列 是等积数列，且 ，公积为 8，则 （ ）
A. 4719 B. 4721 C. 4723 D. 4724
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题干已知条件及递推公式逐项代入进行计算即可发现数列 是以 3 为最小正周期的周期
数列，然后根据周期数列的性质即可计算出数列 的前 2024 项的和．
【详解】依题意，由 ， 及 ，
可得当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
数列 是以 3 为最小正周期的周期数列，
， ，
，
．
故选：B
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7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标
系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为点 与点 连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记 ，则 为直线 的斜率，
故当直线 与半圆 相切时，斜率 最小，
设 ，则 ，解得 或 （舍去），
即 的最小值为 .
故选：C.
8. 已 知 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， 点 是 右 支 上 一 点 ，
．若点 到直线 的距离为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率.
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【详解】
如图所示，由已知得 ，且 ， ，
则
又由双曲线定义可知 ，即 ，而 ，
可得 ，即 ，解得 （舍）或 ，
所以离心率 ，
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 在空间直角坐标系中，向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量模长的坐标表示可得 ，可知 A 正确；由 可知 ，显然满足
，可得 B 正确；当 时代入计算可得 ，即 C 错误；代入 利用向量数量积
的坐标表示可知 ，可得 D 正确.
【详解】由 可知 ，即 A 正确；
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当 时，则 ，满足 ，因此 ，即 B 正确；
当 时，易知 ，所以 ，可知 C 错误；
当 时，可得 ，满足 ，可知 ，即 D 正确
.
故选：ABD
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ， 为抛物线上一个动点， ，则
（ ）
A. 的坐标为
B. 的最小值为 2
C. 若 ，则过 与抛物线相切的直线的方程为
D. 的最小值为 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用抛物线的性质求解焦点判断 A，举反例判断 B，联立方程组，令判别式为 0 求解切线斜率，进
而得到切线方程判断 C，利用抛物线的定义求解最小值判断 D 即可.
【详解】对于 A，由抛物线性质得 的坐标为 ，故 A 正确，
对于 B，当 的斜率不存在时，可得 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ， ，
得到 ， ，则 ，
得到 的最小值不可能为 2，故 B 错误，
对于 C，若 ，设切线方程为 不为 ，
联立方程组 ，可得 ，
此时 ，解得 ，
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则 ，即 ，故 C 正确，
对于 D，如图，作出符合题意的图形，作 垂直于准线，
由抛物线定义可得 ，
当且仅当 三点共线时取等，此时 ，可得 ，
则 的最小值为 3，故 D 正确.
故选：ACD
11. 如图，在边长为 2 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（
）
A.
B. 的最小值为
C. 三棱锥 的体积是定值
D. 存在点 使直线 与直线 夹角的余弦值为
【答案】AB
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
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则 ，
所以 ，
设 ，则 .
对于选项 A：因为 ，故 ，故 A 正确;
对于选项 B:结合题意易得：
，
当 时， 取得最小值为 ，故 B 正确;
对于选项 C:因为 平面 平面 ，
则 平面 ，
所以三棱锥 的体积为 ，故 C 错误；
对于选项 D:因为 ，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
因为 ，则 ，故不存在点 使直线 与直线 夹角的余弦值为 ，故 D 错误.
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故选:AB.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ， ， 成等比数列，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等比中项的定义列方程，求出 ．
【详解】 ， ， 成等比数列， 或 ．
而当 时， ，不合题意 ．
故答案 ：
13 若圆 与圆 相交于点 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆相交的性质，求得两圆的公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求得其中一个圆
的圆心到此直线的距离，再利用弦长公式进行计算即可.
详解】圆 ，即 ;
圆 ，即 ,
两圆相减得直线 ： ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
到直线 的距离直线 ，
弦长为 ，
故答案为：
14. 已知函数 ，若 ，则函数 的最小值为______;若 ，都有
，则实数 的取值范围为______.
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【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】导数法判断 单调性；即可求出最小值；由题意易知， 在
单调递增，从而 ，即可解题.
【详解】若 ，则 ，
∴ ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
∴ .
若 ，都有 ，
则 ，
∴ 在 单调递增，
∴ 在 恒成立，
∴ 即 ，
又 ，
当且仅当 时，等号成立；
∴ .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 C 方程为 .
（1）求圆 C 的圆心坐标及半径；
（2）求直线 被圆 C 截得的弦长.
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【答案】（1）圆心坐标为 ，半径为 2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）写出圆的标准方程即得解；
（2）求出圆心到直线的距离即得直线 被圆 C 截得的弦长.
【详解】（1）由题得圆 方程为 ，
所以圆的圆心坐标为 ，半径为 2.
（2）由题得圆心到直线的距离为 ，
所以直线 被圆 C 截得的弦长为 .
【点睛】结论点睛：直线被圆所截得到的弦长 （其中 为圆的半径， 为圆心到直线的
距离）.
16. 数列 的前 项和为 ，且 ，在等差数列 中， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 与 之间的关系可得数列 的通项公式；利用等差数列的通项公式列方程组可得
数列 的通项公式.
（2）利用错位相减法可求得 .
【小问 1 详解】
当 时， ，即 ；
当 时，由 得 ，
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则两式相减得 ，即 ， ，
综上可知， 是首项 ，公比 的等比数列，
则 ，即 .
设等差数列 的公差为 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即 .
故 ， .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
则 ①，
②，
① ②得 ，
整理得
，
即 ，所以 .
17. 已知椭圆 ，其中离心率为 ，长轴长为 4.
（1）求椭圆 的标准方程；
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（2）过点 的直线 交椭圆 于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由长轴长为 4，得出 ，由离心率为 ，求出 ，再根据 即可得出椭圆的
标准方程；
（2）由题意知直线 的斜率存在，画出图形，设直线 ，联立直线与椭圆方程化简写出韦达
定理，利用弦长公式求出 ，再求出原点到直线的距离 ，表示出三角形的面积，解出参数，求出
即可.
【小问 1 详解】
因为长轴长为 ，所以 ，
由离心率为 ，可得 ，
从而 ，
故椭圆 方程为 .
【小问 2 详解】
由题意知当直线的斜率存在设为 ，记 ，
如图所示：
故设直线 ， ，
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联立 ，
整理得： ，
由
解得： ，
由韦达定理得： ，
所以
，
又原点 到直线 的距离为：
，
则
，
即 ，解得： 满足题意，
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所以 .
18. 如图，在四棱锥 P–ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E 为 PD
的中点，点 F 在 PC 上，且 ．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面 PAD；
（Ⅱ）求二面角 F–AE–P 的余弦值；
（Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 ．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由．
【答案】(Ⅰ)见解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角 F-AE-P 的余弦值；
(Ⅲ)首先求得点 G 的坐标，然后结合平面 的法向量和直线 AG 的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】(Ⅰ)由于 PA⊥平面 ABCD，CD 平面 ABCD，则 PA⊥CD，
由题意可知 AD⊥CD，且 PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 PAD.
(Ⅱ)以点 A 为坐标原点，平面 ABCD 内与 AD 垂直的直线为 x 轴，AD,AP 方向为 y 轴，z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系 ，
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易知： ，
由 可得点 F 的坐标为 ，
由 可得 ，
设平面 AEF 的法向量为： ，则
，
据此可得平面 AEF 的一个法向量为： ，
很明显平面 AEP 的一个法向量为 ，
，
二面角 F-AE-P 的平面角为锐角，故二面角 F-AE-P 的余弦值为 .
(Ⅲ)易知 ，由 可得 ，
则 ，
注意到平面 AEF 的一个法向量为： ，
其 且点 A 在平面 AEF 内，故直线 AG 在平面 AEF 内.
19. 已知 ，函数 ．
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（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在 a，使得 对任意 成立，求实数 b 的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）
【解析】
【分析】（I）求出 在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程；
（II）令 ，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点，利用导数求出
的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令 ，题目等价于存在 ，使得 ，即 ，
利用导数即可求出 的最小值.
【详解】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：
所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
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当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在 a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数 b 的取值范围 .
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 与 仅有一个交点；第三问解题的关键
是转化为存在 ，使得 ，即 .