海南省海南中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题所给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. sin330∘= ( )
A. −32 B. 32 C. −12 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式求解.
【详解】 sin330∘=sin360∘−30∘=sin−30∘=−sin30∘=−12 ,
故选: C
2. “ α 为锐角” 是 “ αa>b D. a>c>b
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数,对数函数,正弦函数的性质判断 a,b,c 的范围,比较 a,b,c 的大小即可.
【详解】由指数函数性质得 a=e0.1>e0=1 ,
由对数函数性质得 b=ln13c>b ,故 D 正确.
故选: D
7. 已知函数 fx=lg5x,01 的值域为 R ,其中 a>0 且 a≠1 ,则实数 a 的取值范围是 ( )
A. (1,2] B. 1,3 C. (2,3] D. (2,4]
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算分段函数在每段上的值域,再取并集,根据并集为 R 即可求出范围.
【详解】因 y=lg5x 在 (0,1] 上单调递增,故 lg5x∈(−∞,0] ,
若 00 在 0,2π 上有且仅有三个零点,
则 2π0,ω>0 中, A=−2=2 ,故 A 错; 设该函数的最小正周期 T 满足 T4=7π12−π3=π4,∴T=π,ω=2πT=2ππ=2 ,故 B 正确, C 错; ∴fx=2sin2x+π3,f−π6=2sin2×−π6+π3=0 ,则 −π6,0 是 fx 的图象的对称中心, D 正确;
故选: BD.
11. 已知 fx 是定义在 R 上的奇函数， f1+x 为偶函数，且当 02 ,画出函数 fx 的图像,如图所示,
由函数 fx 的图像知: 当 t0 ,
因为 α∈0,π ,可得 sinα>0 ,则 csα>0 ,所以 sinα+csα>0
则 sinα+csα=sinα+csα2=1+2sinαcsα=1+2425=75 ,
联立方程组 sinα−csα=15sinα+csα=75 ,解得 sinα=45,csα=35 ,所以 tanα=sinαcsα=43 .
【小问 3 详解】
解: 因为 csβ=31010 ,且 β∈0,π2 ,所以 sinβ=1−cs2β=1010 ,
所以 tanβ=sinβcsβ=13 ,则 tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=43+131−43×13=5359=3 .
16. 已知函数 fx 对于任意实数 x,y∈R ,都有 fx+y=fx+fy−2 ,且 f2=4 .
(1)求 f1 的值;
(2)令 gx=fx−2 ，求证:函数 gx 为奇函数；
(3)求 f−2026+f−2025+⋯+f−1+f0+f1+⋯+f2025+f2026 的值.
【答案】(1) f1=3 ；
(2)证明见解析; (3) 8106.
【解析】
【分析】( 1 )利用恒等式赋值，即可求解；
(2)利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明；
(3)利用 fx+f−x=4 ，再利用加法交换律和结合律即可求和.
【小问 1 详解】
当 x=y=1 时, f1+1=f1+f1−2=4 ,则 f1=3 ;
【小问 2 详解】
当 x=y=0 时, f0+0=f0+f0−2 ,则 f0=2 ;
设 y=−x ,则 f0=fx−x=fx+f−x−2=2 ,则 fx+f−x=4 ,
所以 g−x=f−x−2=4−fx−2=−fx−2=−gx ,
即 g−x=−gx ,所以函数 gx 为奇函数.
【小问 3 详解】
由 (2) 知, fx+f−x=4,f0=2 ,则
f−2026+f−2025+⋯+f−1+f0+f1+⋯+f2025+f2026
=f−2026+f2026+f−2025+f2025+⋯+f−1+f1+f0
=4×2026+2=8106.
17. 某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资. 为避免物资浪费或不足, 运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律:
①每年相同的月份，游客人数基本相同；
②2 月份游客人数最少，8 月份游客人数最多，相差约 400 人；
③2 月份游客约为 100 人，随后逐月增加直到 8 月份达到最多.
(1)若一年中游客人数与月份之间的关系为 fx=Asinωx+φ+BA>0,ω>0,φ0,ω>0,φ0 且 a≠1 ,所以 a=4 .
【小问 2 详解】
①因为 gx 是 L4 型函数,所以 gx⋅g2−x=4 ,
当 x=1 时， g1⋅g1=4 ，又 gx>0 ，所以 g1=2 ；
令 x=2−22 ,得 g2−22⋅g2−2−22=4 ,
所以 g22=4g2−22=114 ,
又当 x∈(1,4] 时， gx=−lg2x2+m⋅lg2x+2 ，
所以 g22=−lg2222+m⋅lg222+2=−94+32m+2=32m−14=114 ,解得 m=2 ,
所以当 x∈1,4 时, gx=−lg2x2+2lg2x+2 ;
当 x∈[−2,1) 时, 2−x∈(1,4] ,所以 gx=4g2−x=4−lg22−x2+2lg22−x+2 . 综上, gx=−lg2x2+2lg2x+2,10 ,所以 g1=2 ,满足 gx≥1 ;
当 x∈(1,4] 时, gx=−lg2x2+m⋅lg2x+2≥1 恒成立,
令 lg2x=t ,则 t∈(0,2] ,此时 −t2+mt+2≥1 恒成立,所以 m≥t−1t 恒成立,
而函数 y=t−1t 在 (0,2] 上单调递增,则 t−1t≤32 ,当且仅当 t=2 时取等号,所以 m≥32 ;
故 x∈1,4 时, gx≥1 恒成立时 m 的取值范围为 m≥32 .
当 x∈[−2,1) 时, gx=4g2−x=4−lg22−x2+m⋅lg22−x+2 ,
当 x=1 时, 4−lg22−x2+2lg22−x+2=2 ,故该式对 x=1 成立,
由 gx≥1 ,得 0u−2u 在 u∈(0,2] 恒成立.
又函数 y=u−2u 在 u∈(0,2] 上单调递增,所以 u−2u≤1 ,当且仅当 u=2 时取等号,所以 m>1 .
当 −u2+mu+2≤4 在 u∈(0,2] 恒成立时,即 m≤2u+u 恒成立,
又 u+2u≥2u⋅2u=22 ,当且仅当 u=2 时取等号,所以 m≤22 ,
故 x∈[−2,1) 时, gx≥1 恒成立时 m 的取值范围为 1