海南省2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．
2．考查范围：必修第一册第一章、第二章．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合
B. 方程的解构成的集合与相等
C.
D. 方程的实数解构成的集合为
【答案】B
【解析】
【分析】A根据确定性判断；B写出解集即可判断；C注意点集的两个点不同；D注意的情况.
【详解】A：视力比较好的标准不明确，不能构成集合，错；
B：由，可得解为或，对应集合为，对；
C：显然表示不同的点，故集合不相等，错；
D：若时，集合为，不能写成，错.
故选：B
2. 命题：，使是素数，则命题的否定为（ ）
A. ，使不是素数B. ，是素数
C. ，不是素数D. ，使不是素数
【答案】C
【解析】
【分析】由特称命题的否定是存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，不是素数.
故选：C
3. 下列命题中真命题的序号为（ ）
①若，则，； ②若，则；
③存在不全等的三角形，使它们的面积相等； ④面积相等的两个三角形一定是全等三角形．
A. ②③B. ①④C. ①③D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】①由，等式成立，即可判断；②利用不等式的传递性判断；③④示例：两个直角三角形，直角边分别为和，即可判断.
【详解】①由，时，也成立，假命题；
②若，必有，而，故，真命题；
③两个直角三角形，直角边分别为和，则它们的面积相等，但三角形不全等，
所以存在不全等的三角形，使它们的面积相等，真命题；
④同③示例，知面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，假命题.
故选：A
4. 不等式的解集为，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】将或3代入不等式左侧判断与0的大小关系，即可确定元素与集合的关系.
【详解】由，故，
由，故.
故选：C
5. 定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（ ）
A. 若，则对于加法“＋”封闭B. 若，则对于减法“－”封闭
C 若，则对于乘法“×”封闭D. 若，则对于除法“÷”封闭
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误.
【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“＋”封闭，对；
B：任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“－”封闭，对；
C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“×”封闭，对；
D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故对于除法“÷”不封闭，错.
故选：D
6. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，得，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
7. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出集合，再根据集合的包含关系及交集的定义即可得解.
【详解】由，得，解得，
故，，
所以是的真子集，，
故B正确，ACD错误.
故选：B.
8. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
详解】由题设，又，，故，则，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以最小值为8.
故选：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】举出反例即可判断AB；根据不等式的性质即可判断CD.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，
所以，故C正确；
对于D，若，则，则，故D正确.
故选：CD.
10. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A. 有2个子集B. 中任意两个元素差的最小值为
C. D. 或
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算及子集的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，，所以有2个子集，故A正确；
对于B，，
则中任意两个元素差的最小值为，故B正确；
对于C，或x≥1，所以，故C错误；
对于D，且，
所以或x>1，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题设可得，则在上有两个不等的实数解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围，即可得答案.
【详解】由，则至少有一个元素属于，
由，则至少有一个元素不属于，
又，故，
由有两个不相等的实数解，
对于二次函数，开口向上且对称轴为，
所以Δ=1+4a>0(-2)2−2−a>032+3−a≥0，可得.
故选：BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式化为，即可求解集.
【详解】由题设，即，解集为.
故答案为：
13. 若，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】
分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
14. 若集合，，且，则实数_________．
【答案】0或1
【解析】
【分析】根据题设有，结合包含关系及，讨论参数求对应参数值，并判断是否同时属于集合，即可得答案.
【详解】由题设，又，且，
由于，讨论如下：
当，即时，，满足；
当，即时，，满足；
而或或时，，不满足.
所以0或1.
故答案为：0或1
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）应用作差法比较大小，即可证.
【小问1详解】
由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
【小问2详解】
由，而，
所以，即，得证.
16. 在中，．
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，求周长的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据，结合基本不等式有求最大值，再由求面积最大值，注意取值条件；
（2）根据题设有，结合求得，，注意等号成立条件，即得周长最小值.
【小问1详解】
由题设，，且，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即面积的最大值为.
【小问2详解】
由，即，
由，
即，当且仅当时取等号，
故，，它们取等号的条件均为，
所以周长，即周长的最小值为.
17. 已知二次函数fx=ax2+bx+c，，不等式的解集为或．
（1）求的解析式；
（2）设，不等式gx<0的解集为，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设有的解集为或，结合对应一元二次方程根与系数关系求参数，即可得解析式；
（2）由题设有的解集为，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围.
小问1详解】
由题设，则，
即的解集为或，
所以，可得，故；
【小问2详解】
由的解集为，
所以k−1>0Δ=4−16(k−1)≤0，可得.
18. 已知二次函数，方程有且仅有一个实数根．
（1）求，，的关系；
（2）若的图象过点，且图象的对称轴与轴正半轴相交．证明：方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设有且仅有一个实数根，有求参数关系；
（2）由题设及（1）得，对于有且，进而有，即可证结论.
【小问1详解】
由题设有且仅有一个实数根，
则，所以.
【小问2详解】
由题设，结合（1）有，
若的两个不同实根分别为，
所以，即，
由两根之和大于2，即，故，则，
所以，
综上，，
所以方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为.
19. 已知集合，．
（1）若，且，求实数，的值；
（2）若集合，均为非空集合，且，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题设有、，结合补集确定参数值，注意验证；
（2）根据题设有，再由，即可求范围.
【小问1详解】
由题设，则，又，即，
此时，，满足题设，
所以.
【小问2详解】
由且均非空，则，即，
所以，且，即，
所以，即.