陕西省渭南市蒲城县2025-2026学年高一年级上学期期末数学试题（有解析）

这是一份陕西省渭南市蒲城县2025-2026学年高一年级上学期期末数学试题（有解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上从出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1 rad，则经过3秒，M的位置为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若函数，则的零点所在区间是
A. B. C. D.
5. 若将函数图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（ ）
A. 增函数B. 减函数
C. 先增后减的函数D. 先减后增的函数
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 若，则函数的最小值为2
C. 不等式的解集是.
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则第二象限角
B.
C. 函数的最小正周期为
D. 函数单调递增区间为，
11. 已知函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称
C. 方程在区间有5个不等实根
D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. =__________.
13. 已知函数，且的最大值为，则的最小正周期为________；的最大值为________.
14. 已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且.
（1）求的解集；
（2）若函数的两个零点为，，求的值.
16. 已知函数
（1）求的定义域；
（2）若且，求与的值.
17. 已知函数
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）若，求的解集.
18. 已知奇函数的定义域为．
（1）求值；
（2）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）解不等式：．
19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）当，方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集定义计算求解.
【详解】因为集合，，故.
故选：B.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由诱导公式和两角差正弦公式即可求解.
【详解】由题可得
.
故选：D
3. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上从出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1 rad，则经过3秒，M的位置为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意角的定义写出M的位置坐标，再由诱导公式化简.
【详解】由题意，得M的位置为，即为.
故选：B
4. 若函数，则的零点所在区间是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的单调性与连续性，利用零点存在性定理判断即可．
【详解】解：函数，在时是连续增函数，
因为，，
所以，由零点存在性定理可知，函数的零点在，即存在使得．
故选：B．
5. 若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得，
再将图象向右平移个长度单位，得.
故选：A
6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数的性质和对数函数的性质进行比较即可.
【详解】，
因为在上递增，且，
所以，所以，即，
因为在上递增，且，
所以，所以，即，
所以.
故选：D
7. 当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】联立函数解析式可得题设所求为当时方程的所有根之和，分区间、讨论求解即可.
【详解】时，函数与图象所有交点横坐标之和为方程的所有根之和，
当时，方程即，即，
因为，所以，所以；
当时，方程即，即，
因为，所以，所以.
综上，当时，方程的所有根之和为.
故选：B
8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（ ）
A. 增函数B. 减函数
C. 先增后减的函数D. 先减后增的函数
【答案】A
【解析】
【分析】先由题设求出函数的周期，接着由函数对称性和单调性即可分析求解.
【详解】由题可得，
所以是周期为2的函数，又函数是定义域为的偶函数，
所以函数图象关于y轴对称，则由周期为2可得函数关于直线对称，
因为在上是减函数，则在上是增函数，
所以由函数周期为2可得在上的单调性与在上的单调性相同，则在上是增函数.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 若，则函数的最小值为2
C. 不等式的解集是.
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】求出不等式解集即可判断A；由和对勾函数在上单调递增即可分析判断B；由不等式恒成立得到或，解之即可得解判断D.
【详解】不等式的解集即为不等式的解集，
所以原不等式解集为，故A错误；
若，则，因为对勾函数在上单调递增，
所以函数的最小值为，故B错误；
解不等式得即，
所以不等式的解集是，故C正确；
当时，不等式恒成立，则或，
所以或，则的取值范围是.故D正确.
故选：CD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为第二象限角
B.
C. 函数的最小正周期为
D. 函数的单调递增区间为，
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数值符号与角的终边位置可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项；利用正切型函数的单调性可求出函数的单调递增区间，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，可得，
所以，为第二或第三象限角，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，函数的最小正周期为，C对；
对于D选项，对于函数，
由得，
所以，函数的单调递增区间为，，D错.
故选：BC.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 图象关于直线对称
B. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称
C. 方程在区间有5个不等实根
D. 在上单调递增
【答案】CD
【解析】
【分析】先由函数图像的最值和周期信息求出函数解析式，接着计算即可判断A；求出平移后函数解析式即可判断B；求出方程的解即可分析求解判断C；求出函数单调递增区间即可判断D.
【详解】由图可知，，
所以函数，
又，
所以，
所以，所以函数，
因为，所以函数的图象不关于直线对称，故A错误；
将的图象向左平移个单位长度得到的函数为，
该函数图象不关于原点对称，故B错误；
方程，则或，
即或，
所以当时有，所以方程在区间有5个不等实根，故C正确；
令，
所以函数的单调递增区间为，
则函数在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.
故选：CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. =__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由根式与指数式互化以及对数运算性质即可求解.
【详解】
故答案为：
13. 已知函数，且的最大值为，则的最小正周期为________；的最大值为________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用辅助角公式和，即可求出的最小正周期，结合条件得，再由重要不等式，即可求解.
【详解】因，其中，
所以最小正周期，又的最大值为，则，
所以，又，当且仅当时取等号，所以的最大值为，
故答案为：，.
14. 已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】将题设等价转化为直线与函数的图象有三个不同的交点，数形结合求出参数k的取值范围，再由根式与指数式互化即可计算.
【详解】设，若存在三个不同的实数使得，
则直线与函数的图象有三个不同的交点，
当时，，函数的值域为，函数单调递增；
当时，，函数的值域为，
且时，函数单调递减，时，函数单调递增，作出函数的图象如下图所示，
由图可知要使直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围为，
不妨记则，，则.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且.
（1）求的解集；
（2）若函数的两个零点为，，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知列方程求得，再解一元二次不等式求解集；
（2）由题意得，求出其零点，代入目标式求值即可.
【小问1详解】
由题设，可得，所以，
所以，故解集为；
【小问2详解】
由（1）得，
令，可得，
所以.
16. 已知函数
（1）求的定义域；
（2）若且，求与的值.
【答案】（1）的定义域为；
（2），.
【解析】
【分析】（1）由分母不为0列三角函数不等式，解三角函数不等式即可得解；
（2）先化简函数解析式，即可依次求出，再由商数关系和倍角公式即可求解.
【小问1详解】
由题，
所以的定义域为；
【小问2详解】
函数 ，
若且，则，
所以，
所以，.
17. 已知函数
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）若，求的解集.
【答案】（1）；对称中心为 ；
（2）函数的单调递减区间；
（3）的解集为.
【解析】
【分析】（1）先化简函数解析式，接着由周期公式即可求周期，令即可求对称中心；
（2）令，解该不等式即可得解；
（3）不等式化为即，进而得到，解该不等式即可得解.
【小问1详解】
由题可得
，
所以的最小正周期为；
令，
所以的对称中心为 .
【小问2详解】
令，得，
所以函数的单调递减区间；
【小问3详解】
若，即，即，
则，
所以，
所以的解集为.
18. 已知奇函数的定义域为．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）解不等式：．
【答案】（1），
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用“奇函数定义域关于原点对称”及“定义域含0时，奇函数满足”这两个结论，联立求解的值．
（2）先化简函数表达式，再通过任取定义域内两点、作差、结合指数函数的单调性判断差值符号，从而证明函数的单调性．
（3）先利用奇函数性质将不等式转化为，再结合函数的单调性去掉函数符号，转化为绝对值不等式求解．
【小问1详解】
奇函数的定义域关于原点对称，故．
又在时有意义的奇函数满足，∴，
将代入：．
∴，；
【小问2详解】
结论：在上单调递增．
证明：
由（1）得．
任取，且，则：
∵单调递增，且，故，即；
又，，因此，即．
故在上单调递增；
【小问3详解】
由奇函数性质，不等式可化为：
，
又在上单调递增，故：
（第二个不等式恒成立，只需考虑第一个不等式），
解：．
∴的取值范围是．
19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）当，方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析；
（2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围；
（3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围．
【小问1详解】
设的最小正周期为，由题意得，得周期，
所以，得，
因为，所以，
所以，
因为的图象过点，所以，得，
因为，所以，
故．
【小问2详解】
，
即有解，
由，得，
所以，所以，
所以，即．
【小问3详解】
，设，则，
由“方程在区间上恰有三个实数根”，
得“方程在区间上恰有三个实数根”，
则的图象如下：
即，
由图得，，，
即，
综上．
关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.