2021-2022学年陕西省渭南市蒲城中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市蒲城中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】试题分析：斜率为，截距，故不过第二象限.

【解析】直线方程.

2．直线与平行，则的值等于

A．-1或3 B．1或3 C．-3 D．-1

【答案】D

【详解】试题分析：直线可化为，斜率为在y轴上截距两直线平行，则直线斜率存在，即直线可化为斜率为在y 轴上截距为则由得即，解得故选D．

【解析】直线方程与直线平行间的关系．

3．在空间直角坐标系，点关于xOy平面的对称点B的坐标为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由空间直角坐标中的点关于面对称求对称点坐标.

【详解】由与关于xOy平面对称，且，

所以.

故选：C

4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（    ）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【答案】D

【分析】利用三视图的成图原理，即长对正、宽相等、高平齐，可得四个几何体的三视图。

【详解】对①，三视图均相同；

对②，主视图与侧视图相同；

对③，三个视图均不相同；

对④，主视图和侧视图相同。

故选：D.

【点睛】本题考查三视图的成图原理，考查空间相象能力，属于容易题。

5．用与球心距离为的平面去截半径为2的球，则截面面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析: 用与球心距离为的平面去截半径为的球，则截面圆的半径为所以，故选B．

【解析】1、球的截面圆；2、圆的面积公式．

6．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是（　　）

A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．任意四边形

【答案】A

【分析】根据题意，不妨设该面截空间四边形ABCD的四边得到四个交点E、F、G、H，AC∥平面EFGH，BD不平行于平面EFGH，利用线面平行的性质可得AC∥EF，AC∥GH，则GH∥EF，然后只需要判断EH与FG是否平行，即可得答案．

【详解】解：根据题意，不妨设该面截空间四边形ABCD的四边得到四个交点E、F、G、H，AC∥平面EFGH，BD不平行于平面EFGH.

因为AC∥平面EFGH，AC平面ABC，且平面ABC平面EFGH=EF，

所以AC∥EF，

同理可得：AC∥GH，

所以GH∥EF；

下面证明EH与FG不平行.

假设EH∥FG,由FG平面BCD，平面，得EH∥平面BCD，

又因为EH平面ABD，且平面ABD平面BCD=BD，

由线面平行的性质可得：EH∥BD，

又EH平面EFGH，平面

所以BD∥平面EFGH，

与题设BD不平行于平面EFGH矛盾，

所以EH与FG不平行，

所以四边形EFGH是梯形.

故选：A．

【点睛】7．棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．

【详解】因为四个面是全等的正三角形，

，

则表面积

故选：A.

8．已知是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线，那么下列情形可能出现的是

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【详解】∵m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，

A. ，，则m⊥α，

这与m是平面α的一条斜线矛盾；

故A答案的情况不可能出现．

B. ，，

则m∥α，或m⊂α，

这与m是平面α的一条斜线矛盾；

故B答案的情况不可能出现．

D. ，，

则m∥α，或m⊂α，

这与m是平面α的一条斜线矛盾；

故D答案的情况不可能出现．

故A，B，D三种情况均不可能出现．

故选C.

9．若直线与圆相切，则的值为（　　）

A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．1 D．﹣1

【答案】D

【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线的距离等于半径，求得的值即可．

【详解】圆的方程可化为，

表示以为圆心、半径等于1的圆，

圆心到直线的距离，解得：，

故选：．

10．圆上的点到直线的距离的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可.

【详解】圆的圆心坐标，到直线的距离是，

所以圆上的点到直线的距离的最小值是，

故选：B．

11．两个圆与的公切线有且仅有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数

【详解】将两圆化为标准式可得

即两圆的圆心分别是,,半径分别是2，2

两圆圆心距离：，说明两圆相交，

因而公切线只有两条．

故选：B．

12．点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是（    ）

A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交

【答案】C

【分析】先根据点在圆内，得到，再计算圆心到直线的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案．

【详解】M在圆内，且不为圆心，则，

则圆心到直线的距离为，

所以相离．

故选：C．

二、填空题

13．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为___cm2.

【答案】

【详解】圆柱的侧面积为

14．若直线与直线互相垂直，那么的值等于  ▲ ．

【答案】

【详解】由题意，所以

15．如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有：

①AC⊥β；

②AC与α，β所成的角相等；

③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；

④AC∥EF，

那么上述几个条件中能成为增加的条件的序号是_____（填上你认为正确的所有序号）

【答案】①③

【详解】分析：①因为AC⊥β，且EF⊂β所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF⊂α所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．

②此时AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．

③因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上，所以EF⊥AC．因为AC∩CD=C，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．

④若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．

详解：①因为AC⊥β，且EF⊂β所以AC⊥EF．

又AB⊥α且EF⊂α所以EF⊥AB．

因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，

因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．

所以①可以成为增加的条件．

②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．

③AC与CD在β内的射影在同一条直线上

因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．

所以EF与CD在β内的射影垂直，

AC与CD在β内的射影在同一条直线上

所以EF⊥AC

因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，

因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．

所以③可以成为增加的条件．

④若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．

所以④不可以成为增加的条件．

故答案为①③．

点睛：本题是个开放性的命题，解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理，准确把握定理中的条件，结合几何体的特征灵活解题，属于中档题．

16．直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于     ．

【答案】

【详解】圆标准方程为，圆心，半径为5，

圆心到直线的距离为，

因此所截弦长为．

故答案为.

17．已知直线与直线平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线的方程为______．

【答案】或

【分析】设出与直线平行的直线的方程，求出直线其与两坐标轴的交点坐标，写出面积表达式计算参数即可得到所求方程.

【详解】设与直线平行的直线的方程为．当时，；当时，．

∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴，∴．∴直线的方程为．

故答案为：或

三、解答题

18．设某几何体及其三视图：如图（尺寸的长度单位：m）

(1)O为AC的中点，证明：BO⊥平面APC；

(2)求该几何体的体积；

(3)求点A到面PBC的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)4

(3)

【分析】（1）根据三视图，结合两个平面垂直的性质可得答案；

（2）根据三视图，可得三棱锥的高以及底面的高和底，利用体积公式，可得答案；

（3）余弦定理求的cos∠PBC，利用同角三角函数的基本关系求得sin∠PBC，求出S△PBC，利用，求出点A到面PBC的距离h的值．

【详解】（1）证明：由三视图可知，平面PAC⊥平面ABC，BO⊥AC，∴BO⊥平面APC．

（2）过P点在面PAC内作PE⊥AC交AC于E，

由俯视图可知：CE＝1，AE＝3，又BO＝3，AC＝4，∴，

由左视图可知：，∴．

（3）∵PC＝＝，BE＝＝，∴PB＝＝，

BC＝＝，

∴cos∠PBC＝＝＝＝．

∴sin∠PBC＝＝，

∴．

设点A到面PBC的距离为h．∵，

∴h＝＝＝．

19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（－1，5）、B（－2，－1）、C（4，3），M是BC边上的中点。

(1)求AB边所在的直线方程；

(2)求中线AM的长

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，，由点斜式得直线方程；

（2）由中点坐标公式求得中点坐标，由两点间距离公式计算可得．

【详解】（1）由两点式写方程得，即.

或直线的斜率为，

直线的方程为，即

（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，

故，

20．光线从原点O（0，0）出发，经过直线m：8x+6y=25反射后通过点P（﹣4，3），求反射光线所在直线的方程．

【答案】y=3．

【详解】试题分析：根据反射定律可得点（﹣4，3）关于直线l的对称点M（a，b）在入射光线所在的直线上，利用垂直及中点在对称轴上这两个条件，求出点M的坐标，再求反射光线所在的直线方程．

解：根据反射定律可得点（﹣4，3）关于直线l的对称点M（a，b）在入射光线所在的直线上，

所以，

化简得，

解得，

即M（，）；

所以直线OM的方程为y=x，

联立直线8x+6y=25，可得交点为（，3），

所以反射光线所在直线的方程为y=3．

【解析】确定直线位置的几何要素．

21．已知圆心在直线上的圆过点和，求圆的方程，并判断点，是在圆上，圆内，还是圆外？

【答案】圆的方程为，点在圆外，点在圆内．

【分析】求出的中垂线方程，联立方程组求出圆心坐标，计算圆的半径，从而得出圆的方程，然后利用点与圆的位置关系的判定方法进行判断即可．

【详解】的中点为（0，﹣4），直线的斜率为.

∴线段的中垂线方程为.

联立方程组 ，解得，即所求圆的圆心，

∴圆的半径，

∴圆的方程为，

因为，故点在圆外，

因为，故点在圆内．

22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．

【详解】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，

∵AD⊂平面ABC，

∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴AD⊥平面BCC1B1，

∵AD⊂平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点

∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，

∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴A1F⊥平面BCC1B1

又∵AD⊥平面BCC1B1，

∴A1F∥AD

∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，

∴直线A1F∥平面ADE．