2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合 ， ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.

【详解】由题意集合 ， ，

则，

故选：B

2．下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用基本初等函数的单调性即可得到答案.

【详解】在R上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在R上单调递增.

故选：D

3．已知幂函数的图像过点，则（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

【答案】A

【分析】根据幂函数定义，假设，代入点即可求出函数解析式，进而求解的值即可.

【详解】已知为幂函数，所以假设，

代入点，得，即.

故，即得.

故选：A

4．函数的图象不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】画出函数图象，结合图象即可得出答案.

【详解】解：画出函数的图象，

由图可知其图象不过第一象限.

故选：A.

5．利用二分法求方程的近似解时,若第一次确定的有解区间是,则第二次确定的有解区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设,先确定的符号,再根据的符号,确定第二次的有解区间即可.

【详解】设,

,

第二次确定的有解区间是.

故选:C.

6．不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将不等式两边均改为以2为底数的指数幂形式，根据指数函数单调性即可求解.

【详解】.

故选：B

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

8．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为，，，

所以，

故选：B

9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是（），空气的温度是（），经过t分钟后物体的温度T（）可由公式求得.把温度是的物体，放在的空气中冷却t分钟后，物体的温度是，那么t的值约等于（参考数据：，）（    ）

A．1.76 B．2.76 C．2.98 D．4.40

【答案】B

【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.

【详解】由题可知：，，，

代入方程得：，

即，两边取对数得：，

而，故，

解得：.

故选：B

10．已知点都在二次函数的图象上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据二次函数的对称轴、开口方向和单调性确定正确选项.

【详解】二次函数的对称轴为，开口向上，在上递减，

由于，则，

且，

所以.

故选：B

【点睛】本小题主要考查函数的单调性，属于基础题.

11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.若函数，则函数的零点个数不可能是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据的奇偶性以及时的解析式，可作出其图象，数形结合，讨论m的取值情况，即可判断函数的零点个数情况.

【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，,

作出的图象如图：

，

故当时，有3个零点；

当或时，的图象与x轴有两个交点，则函数有2个零点；

当时，的图象与x轴有4个交点，则函数有4个零点；

由于也为偶函数，结合图象可知，不可能有1个零点，

故选：A

12．已知函数称为黎曼函数，黎曼函数在高等数学中被广泛应用.下列关于黎曼函数的说法正确的是（注：p，q为互质的正整数（），即为已约分的最简真分数）（    ）

A．的值域为 B．的最大值为1

C．在上单调递增 D．的最大值为

【答案】D

【分析】根据黎曼函数的定义可知，的值域是不连续的，可判断A；若的最大值为1，则，这与为互质的正整数（）矛盾，排除B；取，而，可判断C；通过排除即可得出结果.

【详解】对于A，根据黎曼函数的定义可知，的值域是集合，是离散的数值，而不是，所以A错误；

对于B，若的最大值为1，即则，此时正整数并不存在，这与为互质的正整数且矛盾，排除B；

对于C，取特殊值代入，不妨取，而，根据函数单调性定义可知，在上不是单调递增的，所以排除C；

对于D，根据的值域是集合可知，的最大值为，即D正确；

故选：D.

二、填空题

13．已知，则_________.

【答案】

【分析】令，得，然后利用换元法计算即可.

【详解】令，得，因为，得，得

故答案为：

14．函数的值域是_________.

【答案】

【分析】根据指数函数的值域求解.

【详解】，由指数函数的值域知此函数的值域为.

故答案为：

15．设函数若，则_________.

【答案】3

【分析】分段讨论求解即可

【详解】当时，，

所以不满足题意；

当时，

满足题意；

所以；

故答案为：3.

16．已知函数在区间上恒有，则实数a的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据对数型符合函数的单调性即可求解．

【详解】若函数在区间上恒有，

则，解得．

故答案为：

三、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)2

(2)0

【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可。

（2）根据对数的运算法则计算即可。

【详解】（1）.

（2）.

18．已知集合，，全集为.

(1)求集合；

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解；

(2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解.

【详解】（1），

.

（2）由得，，

当时，由，可得，即；

当时，由，且，

可得，解得，

综上所述，实数m的取值范围为.

19．已知函数为奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)判断的单调性，并证明你的结论.

【答案】(1)

(2)单调递增，证明见解析

【分析】（1）根据奇函数的性质求解实数a的值即可；

（2）函数是定义域为的奇函数，根据函数单调性定义法的步骤证明即可.

【详解】（1）解：函数是定义域为的奇函数，

∴，则，经检验，满足题意

∴实数a的值为.

（2）解：在上单调递增.

证明如下：任取，且，

则，

∵在上单调递增且，

∴，∴，.

∴，即.

∴在上单调递增.

20．已知函数.

(1)当，时，求的最小值；

(2)若函数在区间具有单调性，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，二次函数的开口方向向上，由对称轴与区间的位置可确定最小值；

（2）函数在区间具有单调性，说明在对称轴的同侧即可.

【详解】（1）当时，，

∴函数的图像开口向上，且对称轴为直线.

又，

∴的最小值是.

（2）易知函数的图像开口向上，对称轴是直线，

又函数在区间具有单调性，

∴或，解得或.

∴实数a的取值范围为.

21．已知函数（且）.

(1)求函数的定义域；

(2)若时，函数的最大值比最小值大2，求的值.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】(1)根据对数的概念及真数的取值范围即可求解；(2)利用函数的单调性分类讨论求解.

【详解】（1）由得，∴的定义域为.

（2），

∵，

∴当时，.

①当时，∵函数单调递增，

∴此时，.

∴，解得.

②当时，∵函数单调递减，

∴此时，.

∴，解得.

综上，或.

22．中国早在宋代就发明了火箭，现代火箭技术的发展是人类探索深空宇宙的重要技术基础.在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V（单位：千米/秒）满足，其中W（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，m（单位：吨）表示它装载的燃料质量，M（单位：吨）表示它自身的质量（不包括燃料质量）.若不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响，解决下列问题：

(1)某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒.当它装载100吨燃料时，该单级火箭的最大速度为多少千米/秒？（精确到0.1）

(2)若某单级火箭装载的燃料质量与它自身质量之比的最大值为9，发动机的喷射速度为4千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过第一宇宙速度（7.9千米/秒），说明理由.（参考数据：，）

【答案】(1)3.3千米/秒

(2)能超过，理由见解析

【分析】（1）将，，代入，即可得解；

（2）由题意，再结合对数函数的单调性即可得出结论.

【详解】（1）解：∵，，，

∴.

∴该单级火箭的最大速度为3.3千米/秒；

（2）解：∵，

∴，

又∵单调递增，，

∴，

∴，

∵单调递增，∴，

∴，

∴该单级火箭的最大速度能超过第一宇宙速度.