重庆市2026届高三数学上学期1月月考试卷含解析

这是一份重庆市2026届高三数学上学期1月月考试卷含解析，共24页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 复数 的虚部为（ ）
A. 1 B. i C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案.
详解】 ，
则其虚部为 1.
故选：A.
2. 已知向量 ， ， ，且 ，则实数 为（ ）
A. -4 B. -3 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得 的值.
【详解】 ，
由于 ，
所以 .
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故选：A
3. 函数 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换可得 ，结合正弦函数最值分析求解.
【详解】因为 ，
当 ，即 时，函数取到最大值 .
故选：B.
4. 如图，已知正四棱锥 的所有棱长均相等， 为棱 中点，则异面直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取 为空间向量基底，用空间向量求异面直线的夹角的余弦.
【详解】以 为空间向量基底，不妨设 ，
则 ， .
又 ， ，
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， ，
所以
，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦为 .
故选：B
5. 甲､乙､丙､丁 4 名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配
1 名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ）
A. 30 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 56 种
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分
配方案数.
【详解】总分配方案种数为 ，甲､乙在同一足球场的分配方案种数为 ，则甲､乙不在同
一个足球场的分配方案种数为 ，
故选:A.
6. 记等比数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项和为 ，且满足 若 ，则
公比 q=（ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列前 n 项和公式列式计算得解.
【详解】等比数列 中， ，则 ，
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因 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
显然 ，否则 ；且 ，否则 ，
则 ，由 ，得 ，
所以 .
故选：C
7. 已知 ， ，且 ，则下列不等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式逐项判断 ABD，消元，化简，结合不等式性质判断 C.
【详解】因为 ， ，且 ，
由基本不等式可得 （当且仅当 时取等号），A 正确；
由基本不等式知 ，则 ，
即 （当且仅当 时取等号），B 正确；
由题得 ，
由已知 ，故 ，所以 ，
故 ，C 正确；
由基本不等式可得 ，
即 （当且仅当 时取等号），D 错误.
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故选：D.
8. 已知函数 若 ，且 ，若
，则满足条件的点 在平面直角坐标系中构成的图象为（ ）
A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】先确定函数 的解析式，再分析函数 的对称性，根据函数性质确定 的关系，可得问
题答案.
【详解】因为 ，
所以 .
又 ，所以 .
所以 .
因为 .
又 ，
所以 .
所以点 在平面直角坐标系中构成的图象为 1 个点.
故选：C
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若事件 A 与事件 B 相互独立， ， 则
B. 若样本数据 的方差为 10， 则数据 的方差为 90
C. 一个盒子中有 3 个黑球，2 个白球，1 个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个
红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D. 这 2026 个数的上四分位数是 507
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【答案】BC
【解析】
【分析】根据概率公式 ，结合独立事件的概率乘法公式可判断 A；根
据方差的性质可判断 B；根据互斥事件的概念可判断 C；根据百分位数的定义直接计算可判断 D.
【详解】对 A，因为事件 A 与事件 B 相互独立， ，
所以 ，
则 ，A 错误；
对 B，因为样本数据 的方差为 10，
所以数据 的方差为 ，B 正确；
对 C，因为不放回地抽取两次最多有一个红球，
所以事件“至少有一个红球”发生时，取到的球必然有两种颜色（红黑或红白），
此时事件“两个球颜色相同”不可能发生，故两事件互斥，C 正确；
对 D，因为 ，所以上四分位数是该组数据的第 个数，即 ，D 错误.
故选：BC
10. 如图，在正四棱柱 中， ，点 P 为线段 上一动点，则下列说
法正确的是（ ）
A. 直线 平面
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 若 Q 为线段 中点，则 与 垂直
D. 三棱锥 外接球的体积为
【答案】AC
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【解析】
【分析】对于 A，连接 ，先证明平面 平面 ，进而判断即可；对于 B，先证明
平面 ，而 ，可得 到平面 的距离等于 到平面 的距离，进而根据棱锥的体积公
式求解判断即可；对于 C，先证明 ， ，即可得到 平面 ，进而得到
即可判断；对于 D，三棱锥 的外接球半径等于正四棱柱 的外接球
半径，进而求出外接球半径，再根据球的体积公式求解判断即可.
【详解】A，连接 ，
在正四棱柱 中， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故 A 正确；
B，由于 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 ，
则 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
而 平面 ，所以 到平面 的距离为 ，
则三棱锥 的体积为 ，故 B 错误；
C，因为 Q 为线段 中点，所以 ，而 ，
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则 ，即 ，则 ，
而 ，所以 ，可得 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故 C 正确；
D，三棱锥 的外接球半径等于正四棱柱 的外接球半径，
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，
因此三棱锥 外接球的体积为 ，故 D 错误.
故选：AC
11. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，则下列说法中正确的
有（ ）
A. 点 F 的坐标为
B. 若点 A 在第一象限， 且 ， 则直线 AB 的斜率为
C.
D. 过点 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 M，N，若点 T 为 C 的曲线段 上任意一点，则
面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
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【分析】求出焦点坐标判断 A；设出直线 方程，与抛物线方程联立，利用，结合抛物线定义及数量积的
坐标表示求解判断 BC；求出直线 的方程，并求出点 到直线 的最大距离即可判断 D.
【详解】对于 A，抛物线 C： 的焦点 ，A 正确；
直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，由 消去 得 ，
设 ，则 ， ， ，
对于 B，由 ，得 ，即 ，则 ，
因此 ，解得 ，由 ，得 ，而 ，
则 ， ，因此直线 的斜率 ，B 正确；
对于 C， ，C 错误；
对于 D，设点 ，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
由 消去 得 ，即 ，则 ，
因此抛物线 在点 处的切线方程为 ，同理抛物线 在点 处的切线方程为
，
而这两条切线的交点为 ，则 ，即点 的坐标均满足方程 ，
由 消去 得 ，解得 ， ，
依题意，抛物线 在点 处的切线与直线 平行，
设抛物线 在点 处的切线方程为 ，由 消去 得 ，
则 ，解得 ，此时 ， ，即点 ，
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点 到直线 距离的最大值为 ，
因此 面积的最大值为 ，D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中 x 的系数为_________(用数字作答).
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式，令展开式中 的指数为 1，即可求出 的系数.
【详解】在 的展开式中，
通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中 的系数为： .
故答案为： .
13. 已知圆 ，点 P 为直线 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB，
点 A、B 为切点，则直线 AB 经过定点_________.
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【答案】
【解析】
【分析】设出 点坐标，得到以 为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线 的方程，再由
直线系方程求解．
【详解】圆 的圆心为 ，
设 ，
则以 为直径的圆的方程为 ，
即 ，
又圆 ，相减可得 ，
即 ，
令 ，解得 ，
所以直线 经过定点 ．
故答案为： .
14. 在正项数列{an}中， ，记 整数 m 满足
则数列 的前 m 项和为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件判断出 是以首项为 1 公差为 1 的等差数列，然后求出 的通项公式，进而
将 的表达式列出来并化简，根据对数函数的性质求出整数 ，最后根据裂项相消法求出结果即可.
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【详解】因为 ，所以 是以首项为 1 公差为 1 的等差数列.
得到 ，因为 为正项数列，所以 .
所以 .
因为整数 满足 ，
而 .
所以 .所以数列 的前 m 项和为
.
故答案为： .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图是函数 ， 一个周期内的图象，把 的图象上
所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移 个单位长度，得到函数
的图象.
（1）求函数 的解析式;
（2）在△ABC 中， 若 ， AB=2， BC=3， 求 AC.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）由图像得到函数 的 ， ，所以 ，再由 得到 ，
所以 ，由图像变换得到 .
（2）由 ，得到 ，再利用余弦定理得到 .
【小问 1 详解】
由图象可知 ，周期 ，因此 ;
，即 ，
所以 ,所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变得到 ，
将图像向右平移 个单位长度得到 .
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ,所以 ，
因为 ,所以 ,所以 ，所以 .
由余弦定理， ，
即 ，
所以 .
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16. 近期甲型 H3N2 流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵
抗力就会变弱，易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范.我校数学建模社团
成员共同研究了一天昼夜温差 大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系，他们记录了某周周一至周六
的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下：
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六
昼夜温差 t(℃) 4 7 8 9 14 12
新增流感就诊人数 y(位) y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆
参考数据： ，
（1）已知第一天新增流感就诊的学生中有 3 位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取 2 位，其中
男生人数记为 X，若抽取的 2 人中至少一位女生的概率为 求 X 的分布列和数学期望；
（2）已知两个变量 t 与 y 之间的样本相关系数 ，请用最小二乘法求出 y 关于 t 的经验回归方程
，据此估计昼夜温差为 13℃时，我校新增流感就诊的学生人数.
参考公式： ，
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 .
（2）经验回归方程为 ；当昼夜温差 13℃时，我校新增流感就诊的学生人数为 人.
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求出第一天新增流感就诊的学生总数，然后求出 的可能取值为 0，1，2 以
及对应的概率值，列出分布列，根据期望公式求出数学期望即可.
（2）根据条件中给的公式和相关系数先求出 ，然后得到 ，然后根据公式求出 ，进
而得到 ，从而求得经验回归方程和昼夜温差为 13℃时的函数值.
【小问 1 详解】
因为抽取的 2 人中至少一位女生的概率为 ，所以抽取的 2 人中全是男生的概率为 .
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设第一天新增流感就诊的学生共 人，则 ，化简得 .
解得 （舍去）或
所以由题意可知 的可能取值为 0，1，2，
所以 的分布列为
0 1 2
所以数学期望为 .
【小问 2 详解】
由题意可知 ， ，
所以
所以 .
因为 ，所以 ，
解得 .而 ，所以
所以 y 关于 t 的经验回归方程为 .
当昼夜温差 时，我校新增流感就诊的学生人数为 人.
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17. 在平面直角坐标系 中，已知动点 到点 的距离和 E 到直线 的距离之比是
常数 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的动直线(斜率 存在)与曲线 C 交于 ， 两点，在 x 轴上存在点 ，使得
,试问 是否为定值，若是，求出 的值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是， .
【解析】
【分析】（1）利用距离公式化简即可得到动点 E 的轨迹 C 的方程是 .
（2）法一：因为 结合角平分线逆定理得到 轴为 的角平分线，所以
，设直线 方程为 , ,联立方程，利用韦达定理求解即可得到 ；法
二：设直线 方程为 ，联立椭圆方程得到韦达定理式，代入 化简即可.
【小问 1 详解】
因为动点 到点 的距离和 E 到直线 的距离之比是常数 ，
所以 ，
两边平方得到 ；
化简得到动点 E 的轨迹 C 的方程是 .
【小问 2 详解】
法一：设过点 的直线方程为 ，
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联立方程 ，整理得到 ，
设 ，则 ；
因为 ，所以 ；
又因为 ，所以 ；
由角平分线逆定理得到， 轴为 的角平分线，
所以 ，即 ，
化简得到 ，即 ；
将 代入上式得 ；
化简得到
即
因为 ，所以 .
即 ；
整理得到 ；
即 ，解得 .
因此 是定值 4.
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法二：因为 ，
所以 ，即 ，所以 ．
显然过点 的动直线不与 轴重合，故设直线方程为 ，
设 ，
联立 ，可得 ，
，即 时，
由韦达定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
整理得 ，
所以 ，
化简得 ，
即 。
18. 如图， 四棱锥 中，底面 为矩形， ，侧面 为正三角形，且平面
平面 ，E 为棱 PA 上一点， ，平面 BCE 交棱 PD 于点 F.
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（1）求证： ；
（2）当 时，点 P 关于平面 BCE 的对称点为 Q，求 Q 点到平面 PCD 的距离.
（3）求直线 CD 与平面 BED 所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明 平面 ，再根据线面平行的性质求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，利用空间向量列方程可求得 ，进而利用点到平面的
距离公式求解即可；
（3）利用空间向量表示出直线 CD 与平面 BED 所成角的正弦值，进而求解即可.
【小问 1 详解】
在矩形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 .
【小问 2 详解】
设 的中点为 ，连接 ，
因为 为正三角形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴，以过点 垂直于 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 ，当 时， ，设 ，
则 ，
，
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设平面 BCE 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
因为点 P 关于平面 BCE 的对称点为 Q，
所以 ，且点 P 到平面 BCE 的距离与点 Q 到平面 BCE 的距离相等，
则 ，且 ，
即 ，且 ，
解得 或 （舍去）， ，即 ，则 ，
设平面 PCD 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
则 Q 点到平面 PCD 的距离为 .
【小问 3 详解】
由（2）知， ，
则 ，
即 ，
设平面 BED 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，得 ，
设直线 CD 与平面 BED 所成角为 ，
则 ，令 ，
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则 ，
令 ，则 ，
由于函数 开口向上，对称轴为 ，
则 时， 取得最小值 ，
则 的最大值为 ，即直线 CD 与平面 BED 所成角的正弦值的最大值为 .
19. 已知函数 .
（1）若 ，求函数 在区间 上的单调区间；
（2）若 ，函数 在区间 的零点从小到大依次构成数列 ；
（i）证明: 函数 在区间 有唯一零点，且 ；
（ii）令 ，判断并证明数列 的单调性.
【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
（2）（i）证明见解析；（ii）数列 是递减数列，证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的正负求解即可；
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（2）（i）首先利用导数说明函数 每一个零点所在区间，再结合诱导公式，以及函数的单调性，比较
大小后，即可证明；
（ii）首先设 ，利用分析法转化证明 ，根据条件得到
，并通过作差 构造函数
， ，利用导数分析单调性后即可证明.
【小问 1 详解】
当 时， ， ，
则 ，
令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
所以函数 在 上的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ， .
【小问 2 详解】
（i）当 时， ， ，
则 ，
所以对于任意 在区间 上单调递增，
又 ，当 时， ，
所以 在区间 内有唯一零点，则 ，
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所以 和 都在区间 内，
又 ，所以 ．
（ⅱ）数列 是递减数列，证明如下：
要证明数列 是递减数列，即证当 时， ，
即证当 时， ，即证 ，
记 ，则 ，所以只需证明当 时， ．
由（ⅰ）知 ，所以 ，且 ．
所以 ，则 ， ，
所以 ，
设函数 ， ，
则 ，
因为 在区间 上单调递增，
所以当 ，即 时， ，即 ，
所以 在 时单调递增，则 ，
即 ，所以 ．
又因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，
综上所述，数列 是递减数列．
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