重庆市北碚区2026届高三数学上学期12月月考试题含解析

这是一份重庆市北碚区2026届高三数学上学期12月月考试题含解析，共24页。试卷主要包含了 考试结束后， 将答题卡交回 等内容，欢迎下载使用。
2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3. 考试结束后， 将答题卡交回 (试题卷学生保存， 以备评讲).
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 若，则 （ ）
A. 1B. C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，再根据复数除法运算求出，进而求出模长即可．
【详解】，
则，
．
故选：B．
2. 已知幂函数的定义域为，则（ ）
A. B. 或3C. 3D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的知识求得正确答案.
【详解】是幂函数，所以，
解得或，
当时，，定义域是，不符合题意.
当时，，定义域是，符合题意.
故选：C
3. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求出角，再根据三角形内角和定理即可得解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以.
故选：D.
4. 已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先确定交点的坐标，再求出垂线与渐近线的交点，利用的长度求得，最后结合双曲线的、关系计算离心率.
【详解】双曲线中，令，得非负半轴交点.
过x轴垂线为，双曲线第一象限的渐近线为，将代入得.
由，得.
双曲线中，，即，
故离心率.
故选：B
5. 已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（ ）
A. 2B. 1 或 2
C. D. 1 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和公式列出关于公比的方程，求解出符合条件的公比值即可.
【详解】当时，等比数列的前项和，此时，，.
代入中得，，整理得，即.
又等比数列中，所以.
当时，等比数列的前项和，
则，，.
代入中得，.
因为， ，可化为，
整理得，又，所以，
解得或，又且，所以.
故选：A.
6. 正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将正六棱台还原成正六棱锥，再利用正六棱锥的结构特征及体积公式计算得解.
【详解】将正六棱台还原成正六棱锥，则正六棱锥的下底面是边长为4的正六边形，侧棱长为，
其高，以正六棱台上底面为底面的正六棱锥底面边长为2，
侧棱长为，其高，
因此该正六棱台体积.
故选：C
7. 已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质将转化为，再利用求出的值即可.
【详解】等差数列前项和，，
所以，
由等差数列性质知，，
所以.
又，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
令等差数列的公差为，等差数列的公差为，
则①，②，③，
由②得，，由③得，，
代入①中，整理得，，所以，故.
故选：C.
8. 若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导，问题化为导函数在上有两个变号零点，令，与在上有两个交点，结合二次函数的性质求参数范围.
【详解】由题设，令，
又在上有两个极值点，即在上有两个变号零点，
令在上单调递减，且，
根据二次函数性质知只需与在上有两个交点，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，在上，在上，
综上，与有两个交点，则.
故选：B
二、多选题: 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
D. 在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断.
【详解】依题意，，解得，
函数的周期，
解得，则，由，得，
而，则，解得，
因此，
对于A，，A正确；
对于B，的最小正周期为，B错误；
对于C，，，
因此所得到的图象关于点对称，C正确；
对于D，当时，，
因此在上单调递减，D正确.
故选：ACD
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，其长半轴、短半轴、半焦距的长分别为 ，满足 ，过点的动直线与椭圆交于两点，且的周长为，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 当 时，是直角三角形
C. 使得中一角为的直线共有条
D. 当时，直线的斜率为
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，由椭圆的定义，利用求解；选项B，由，解出，求出，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形；选项C，设短轴的一个端点为，根据题意可以得到为等边三角形，当点为短轴的一个端点时，为等边三角形，利用数形结合即可得到答案； 选项D，求出椭圆的标准方程，设，由求出用表示的式子，用表示的式子，再将代入椭圆，联立方程组解出和，利用斜率公式求出直线的斜率.
【详解】
选项A，设椭圆的半焦距为，由椭圆的定义得到
，解得，
，，，，
，选项A正确；
选项B，，，，
，直角三角形，选项B正确；
选项C，设短轴的一个端点为，如图，此时，
又，等边三角形，
当点为短轴的一个端点时，为等边三角形，满足题意，
此时这样的直线有条，除此之外，再没有使得中一角为的直线，
故使得中一角为的直线共有条，则选项C正确；

选项D，，，椭圆的标准方程为，
设，，，
，，
，，
在椭圆上，，
将代入，
得到，解得，
直线的斜率为，故选项D错误.
故选：ABC.
11. 已知数列，该数列的特点是:前两个数均为 1，从第三个数起， 每一个数都等于它前面两个数的和. 人们把这样的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列 (当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618 ). 在现代物理、准晶体结构等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以 4 所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若数列为等比数列，则
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题中给出的信息，运用列举法分别求出数列中的项，发现数列是周期为6的周期数列，然后利用周期性即可判断选项A、B，利用等比数列的等比中项建立方程即可判断选项C，利用，列举后相加，由数列的定义整理化简后即可判断选项D．
【详解】由题意可知，.
由题意得
所以数列是周期为6的周期数列．
∵，∴，A选项正确；
，，
∴，B选项错误；
数列前3项为，
则，即，
则，则，∵，∴，C选项正确；
∵，，，，
，
，
，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据，求出，再结合投影向量的定义得出答案.
【详解】因为，则，解得，
由于，所以在方向上的投影向量即为，
则在方向上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
13. 已知函数 为奇函数，则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数定义得到，再对的取值进行讨论进而得到最小值.
【详解】为奇函数，所以，
代入得，在定义域内，
化简得：，
即，由得：，
因为奇函数的定义域关于原点对称，由可知，
定义域端点为和，
为使定义域关于原点对称，必有，即，
又，，
所以，
当且仅当b2a=2ab即，，即时成立；
综上 的最小值为.
故答案为：
14. 已知正四面体的棱长为，则正四面体的内切球的半径为_____，若点是该内切球面上的一动点，则的取值范围为_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将正四面体放入正方体内，将内切球半径转化为点到平面的距离，进而建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解第一空，先利用空间向量的减法法则得到，再利用球的方程结合空间向量的坐标运算求解第二空即可.
【详解】如图，作出符合题意的图形，将正四面体放入正方体中，
将棱作为正方体的面对角线，以为原点建立空间直角坐标系，连接，
由正四面体性质得正四面体的内切球球心为其几何中心，
由正方体性质得正四面体的几何中心与正方体的几何中心重合，
而正方体的几何中心是体对角线的中点，设正方体边长为，
因为正四面体的棱长为，
所以，解得，
由题意得，，，，
则，，由中点坐标公式得，
设面的法向量为，可得，
令，解得，得到，
而，由题意得点到面的距离即为内切球半径，
设点到面的距离为，，
由点到平面的距离公式得，
由空间向量的减法法则得，
由题意得内切球的方程为，
则，
化简得，
而点是该内切球面上的一动点，则，
可得，，
得到
，
而点是该内切球面上的一动点，则，
可得，
解得，则，
故答案为：；
四、解答题:本大题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，长方体中，是底面中心，.
（1）证明:；
（2）若直线与直线所成角的余弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明两直线的方向向量垂直即可；
（2）结合（1）利用向量法求解即可.
【小问1详解】
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
设，
则，
故，
则，所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，，
因为直线与直线所成角的余弦值为，
所以，
解得（舍去），
所以.
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .
（1）求;
（2）若,设中边上的高分别为 ,求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对化简利用和差公式得到，再由三角形三角关系化简得到，结合同角的平方公式求出.
（2）先利用锐角三角函数得到，再由正弦定理化简得到，利用余弦定理和基本不等式求出，从而得到，进而求出的最大值为.
【小问1详解】
因为，
所以；
即
即
即得，即
因为，即得到 ；
又因为,所以.
【小问2详解】
因为分别为边上的高，所以,
所以；
由正弦定理,所以，；
所以；
因为,，所以
所以由余弦定理得，即；
即，所以，即
所以，当且仅当时等号成立；
所以；
即当且仅当时，的最大值为 .
17. 赌博是一种违法行为，"十赌九输"在现代科技的加持下几乎是必然的事情. 近年来警方在各类赌博案件中发现了"密码骰子"、"定点骰子"、"可控骰子"等多种作弊骰子， 庄家可以操控骰子点数牟取非法利益. "反赌宣传日"活动中，小明、小宇参与游戏研究一个高科技作弊骰子的特质， 该骰子可以设置某一点数(下称 "作弊点数")的概率更高， 其余五个点数的概率相同. 记 "作弊点数"的概率为常数，点数 "1""2""3"为小点数，点数 "4""5""6"为大点数.
（1）游戏一:两人将"作弊点数"设置为"6"，每局游戏中抛掷一次骰子，如果为大点数则小明胜，否则小宇胜. 记3局游戏中小明获胜的次数为随机变量，若，求的分布列与期望;
（2）游戏二:每局游戏中，由小明设置"作弊点数"，随后抛掷两次骰子，如果两次均为大点数或均为小点数则小明胜，否则小宇胜. 试证明: 无论设置哪个"作弊点数"，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率.
【答案】（1）分布列见解析；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出每个点数出现的概率，进而求出小明胜的概率和小宇胜的概率，然后分别求出的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求出期望；
（2）分为“小明设置的为大点数中的任意一个”和“小明设置的为小点数中的任意一个”两种情况，分别求出小明胜的概率均为，再证明，即可证明小明获胜的概率大于小宇获胜的概率.
【小问1详解】
记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中，
则，，
则小明胜的概率为，小宇胜的概率为，
的取值有，
，
，
，
，
所以的分布列为：
，
所以的期望为.
【小问2详解】
假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件，
则，，
则小明获胜的概率；
假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件，
则，，
则小明获胜的概率，
所以无论设置哪个"作弊点数"，小明获胜的概率均为定值.
又，
因为，则，即小明获胜的概率大于，
所以小明获胜的概率大于小宇获胜的概率.
18. 已知函数 .
（1）当 时，求 过点 的切线方程；
（2）已知函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围；
（3）若函数 ，且对任意非零实数 ，都有 ，求 的值.
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，设出切点坐标，求出切点处的斜率，进而可求得切线方程.
（2）对函数求导，令其等于0，然后得到新函数，对其求导判断单调性，求出范围，然后化简进而根据二次函数的单调性求出范围即可.
（3）对函数二次求导，讨论的范围判断函数的单调性，进而可求得使得不等式恒成立的的值.
【小问1详解】
当时，，求导得，
设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，将代入得，
化简得，解得或.
当时，切线方程为，即；
当时，切线方程为，即
【小问2详解】
因为，令，则.
令，求导得，因为，
所以时；时，；当时，，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，
因为有两个极值点，即有两个根且，
所以,，由得，
将代入得.
令，求导得，
所以在上单调递增，
而，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
，求导得.
令，求导得，
当时，即，此时在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以当时，；当时，；
此时在上单调递减，在上单调递增，又，
所以在上和在上均大于0，即，
若异号，则，那么不等式不成立，所以.
当时，即，，此时在上单调递增；
当时，即，，此时在上单调递减；
而，令其等于0，则.
此时在上恒成立，当且仅当时取等号，
即在上恒成立，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，又，所以在上小于0，在上大于0，
即时，；时，；
那么对任意非零实数，都有不等式恒成立，故.
19. 平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的标准方程；
（2）按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点.
(i) 求证: 数列 和 均为等比数列;
(ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: .
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设出动点的坐标，得出以线段为直径的圆的圆心与半径，利用圆心到轴的距离等于半径，建立方程化简即可；
（2）（i）通过直线与抛物线联立，结合韦达定理得出，再结合题干，来证明等比数列即可；
（ii）同（i）推导得出为等比数列以及它们的通项，化简得出的表达式，对于右边可以放缩为等比求和来证明，对于左边可以放缩为裂项求和来证明.
【小问1详解】
设动点的坐标为，则的中点为，
以为直径的圆的半径，
因为该圆与轴相切， 所以，
化简得，
所以曲线的标准方程为.
【小问2详解】
（i）过且斜率为的直线方程为：
代入得，
由韦达定理：①,
设直线的方程为 ，代入得,
则,可得②，
同理，由 ，可得③,
则直线的斜率
直线的方程为：，
代入化简得（*），
将②③代入 ，结合①可得
，
代入（*）式，化简得，
由于，满足，
则，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i）可得，，
，
，
，
代入得，
化简得，
所以是首项为，公比为2的等比数列，.
其中，
.
,
,
由于,
，
所以
综上得证.