重庆市2026届高三数学上学期第二次月考试题含解析

这是一份重庆市2026届高三数学上学期第二次月考试题含解析，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷满分 150 分，考试时间：120 分钟
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的并集即可．
【详解】由 A 中不等式变形得：x（x-3）＜0，
解得：0＜x＜3，即 A={x|0＜x＜3}，
∵B={x|-1＜x＜2}，
∴A∪B={x|-1＜x＜3}，
故选 B．
【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集 定义是解本题的关键．
2. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算列式，利用换底公式和特殊角的函数值求解即可.
【详解】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，即 ，
第 1页/共 20页
所以 ，所以 .
故选：C
3. 若双曲线 的离心率为 ，则它的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据离心率得出 ，再根据 关系得出渐近线方程即可.
【详解】双曲线 的离心率为 ，
所以 ，
则它的渐近线方程为 .
故选：D
4. 已知函数 的周期为 ，且在 上单调递增，则 可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求函数 的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除 A；求函数
的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除 B；证明 为函数 的周期，再判断函数
在 上的单调性，可判断 C；结合函数 定义域，排除 D.
【详解】对于 A， ，但 ， ，
所以函数 在 上不单调递增，不符合题意，故 A 排除；
第 2页/共 20页
对于 B， ，但 ， ，
所以函数 在 上不单调递增，不符合题意，故 B 排除；
对于 C， ，
所以函数 的周期为 ，
当 时， ，因为 ，
函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，同理可得函数 在 上单调递减，
所以函数 的最小正周期为 ，故 C 符合题意；
对于 D，函数 的定义域为 ， ，
所以函数 在 单调递增错误，不符合题意，故排除 D.
故选：C
5. 等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，由等差数列的前 项和公式和通项公式列式解方程即可得出答案.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： .
第 3页/共 20页
故选：A.
6. 用一个圆心角为 ，面积为 的扇形 （ 为圆心）围成一个圆锥（点 恰好重合），该圆
锥顶点为 ，底面圆的直径为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的面积及弧长求出母线及底面圆半径，再由余弦定理求解.
【详解】设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，
∵扇形的圆心角为
，解得 ，
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，
，
所以圆锥的轴截面 中， ， ，
由余弦定理可得 ，
故选：B
7. 函数 在 上单调递增，且对任意的实数 ， 在
上不单调，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ，由题意利用正弦函
数的单调性可得 ，所以 ，利用正弦函数的周期性可求 的周期 ，解得
，即可得解．
第 4页/共 20页
【详解】因为
，
又因为 ，且 ，则 ，
若 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
因为对任意的实数 ， 在 上不单调，
所以 的周期 ，所以 ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数 ， 在
上不单调与周期间的关系.
8. 已知函数 ，若 恒成立，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可得 与 周期相同，即 ，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为函数 恒成立，所以 与 同号或为 ，
则 与 周期相同，即 ，可得 ，
则 ，
所以 ，则 ，
第 5页/共 20页
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 .
故选：B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. “ ， ”的否定为“ ， ”
B. 若复数 ，则复数 在复平面内对应的点的坐标是
C. 若 ，则
D. 在 的展开式中，常数项为
【答案】AC
【解析】
【分析】选项 A，根据存在量词命题的否定，即可判断；选项 B，计算 的值，即得；选项 C，通过变角
得到 ，利用两角和差的正切公式计算得解；选项 D，根据展开式的通项结合条件
即得.
【详解】选项 A，根据存在量词命题的否定，可知“ ， ”的否定为“ ， ”，
故选项 A 正确；
选项 B，由 ， ，可知复数 在复平面内对应的点的坐标是 ，故选项 B
错误；
选项 C， ， ，故选项
C 正确；
第 6页/共 20页
选项 D，设常数项为 ，则 ，由 可得 ，所以
，故选项 D 错误.
故选：AC.
10. 已知 、 、 为复数， ，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B.
C. 若 ，则 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项 A，将 移项，提取公因式，即可得解；选项 B、C、D，设 ，
，代入已知进行计算求解即可.
【详解】选项 A， ， ， ， ，故选项 A 正确；
选项 B，设 ， ，
，
，
，故选项 B 正确；
选项 C，设 ， ，
， ，
第 7页/共 20页
， ，
，解此方程组不能得到 ， 不能得到 ，故选项 C 错误；
选项 D，设 ， ，
，
， ，故选项 D 正确.
故选：ABD.
11. 在 中， 是 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 可以是钝角三角形
B.
C. 若 ，则
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 A，由 ，利用三角恒等变换化简可得 ，
结合 分析得解；对 B，由 ，可得 ，结合角 的范围
求解；对 C，由 ，得 ，结合
求解判断；对 D，由题可得 必是锐角三角形，问题转化即证
，即证 .
【详解】对于 A，
第 8页/共 20页
，
即 ，
所以
所以 ，
即得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故 ，则 ，
所以 ，
故 为直角三角形，故 A 错误；
对于 B，由 ，则 ，所以 ，
由于 ，故 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，则 ，
所以 ，
其中 ，
又 ，
故 ，故 C 正确；
对于 D， ，所以 必是锐角三角形，
即证 ，
又 ，即证 ，即 ，成立，故 D 正确.
第 9页/共 20页
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，利用 求解即可.
【详解】当 时，因为 ，所以 ，解得 ；
当 时， ，所以 ，
即 ，所以数列 是首项 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为： .
13. 已知 .则 的值是____.
【答案】2
【解析】
【详解】由题设得 ，
即
故
14. 若函数 的最小值为 1，则实数 a 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】把函数 化成 ，再令
，利用导数可求出取到最小值时的 的值，再由 关于 的方程有解，可求出 .
第 10页/共 20页
【详解】 ，
令 ，原式可化为 ， ，
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减，
则 时， 取得最小值 1，所以 有解，即 有解.
记 ， ，
当 ， ， 在 单调递增，
当 ， ， 在 单调递减.
故 ，且当 ， ， ， ，
所以 ，得 ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题：
15. 已知向量 ， ，函数 .
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若 在区间 上的最大值为 3，求 的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的运算和辅助角公式将 化为单角单函数的形式，利用正弦型函数的最小正周
期和单调递减区间得到答案；
（2）由 在区间 上的最大值为 3，得到 在区间 上的最大值为 ，
从而 ，得到 的最小值.
第 11页/共 20页
【小问 1 详解】
，
最小正周期 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
因为 ，所以
因为 在区间 上的最大值为 3，
所以 在区间 上的最大值为 ，
所以 ，即 ，所以 的最小值为 .
16. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 与 C 交于 两点，O 为坐标原点， 的面积为 ，求 t 的值.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
第 12页/共 20页
【分析】（1）根据题意可得 ，进而解出 即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出 的面积，建立方程即可求解.
【小问 1 详解】
由题意，得 ，解得 ，
则椭圆 C 方程为 .
【小问 2 详解】
设 ，
联立 ，得 ，
则 ，解得 ，
且 ，
所以 ，
点 到直线 的距离为 ，
第 13页/共 20页
则 ，解得 或 ，满足 ，
则 或 .
17. 某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了 300 名消
费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）.
低收入群体（ 20 万/ 中收入群体（20 万/年—50 高收入群体（ 50 万/ 车型
年） 万/年） 年）
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 70 30 70 50 40 40
PHEV 20 80 60 60 60 20
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率.
（1）从该市全体消费者中随机抽取 1 人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率 ；
（2）假设该市 社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为 ，从 社区的全体消费者中
随机抽取 1 人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小；
（3）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记 为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV
）的人数，求 的分布列和数学期望 .
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用给定数表，求出频率估计概率.
（2）根据给定条件，利用全概率公式列式计算，进而比较大小.
（3）求出 的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
【小问 1 详解】
第 14页/共 20页
由表可知 300 名调查者中愿意购买纯电动版人数为 180 人，频率为 ，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取 1 人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为 .
【小问 2 详解】
低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 ；
中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 ；
高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 ．
利用全概率公式可得： ．
【小问 3 详解】
用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽 1 人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计
，
从全市高收入群体中随机抽取 1 人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率 ，
的可能取值为 0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
常数期望 ．
18. 已知 分别为 三个内角 A，B，C 的对边，且满足 ， .
第 15页/共 20页
（1）求 B；
（2）若 ，求 ；
（3）在（2）条件下，如图，若 D，E 为线段 上的两个动点，且满足 ，求 的取值范
围.
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和两角和 正弦公式可得 ，即可求出 B；
（2）由三角形的面积公式和余弦定理可得： ， ，由此可求出 ；
（3）由正弦定理可得 ， ，设 ，用 表示出 和三角形的面积
公式，由二倍角的正弦和余弦公式化简，结合三角函数的性质即可得出答案.
【小问 1 详解】
由正弦定理可得： ,
在 中， ，
∴
∴ ，
又在 中，因为 ，所以 ，
∴ ，∴
∵ ，∴ .
第 16页/共 20页
【小问 2 详解】
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又 ，
所以 代入 可得： ，
解得： 或 ，
所以 或 .
【小问 3 详解】
如图可知：∵ ，所以 ，故 ， ，
由正弦定理可得： ,
故 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
在 中，由正弦定理可得
则
在 中，由正弦定理可得
则 ．
∴ 的面积
.
第 17页/共 20页
∵ ，则
∴ ，即 .
∴ ．
19. 已知常数 ，设 .
（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）是否存在 ，且 依次成等比数列，使得 依次成等差数列？
请说明理由；
（3）求证：“ ”是“对任意 ， ，都有 ”的充要
条件.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 处的导数值和函数值，由直线的点斜式方程可得切线方程；
（2）先化简 依次成等比数列以及 依次成等差数列的关系式，然后讨论
两种情况，由此可求结果；
（3）通过换元法，将“ ”等价转化为“ ”，然
后分别从充分性和必要性两个方面进行证明即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ，
所以 ，又 ，所以切点为 ，
所以切线方程为 ，即切线方程为 .
【小问 2 详解】
若 依次成等比数列，则 ，
第 18页/共 20页
若 依次成等差数列，则 ，
所以 ，
所以 ，
当 时，显然成立，
当 时，则 ，联立 ，得 ，
所以 ，即 ，所以 ，与 矛盾，
综上所述， 时，存在 满足条件；当 时，不存在 满足条件.
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
又
，
令 ，
上式
，
令 ，则 恒成立，
第 19页/共 20页
所以 在 上单调递减，所以 ；
充分性：若 ，则 ，则 恒成立，故充分性满足；
必要性：要使得 对任意 恒成立，即 对任意 恒
成立，
因为 可取任意正数，且对 时有 ，
若要使得 对任意 恒成立，则必有 ，故必要性满足；
所以“ ”是“对任意 ， ，都有 ”的充要条件．
第 20页/共 20页