宁夏回族自治区银川市永宁县2025-2026学年高三上学期期末学业水平质量监测卷数学试题（原卷版+解析版）

这是一份宁夏回族自治区银川市永宁县2025-2026学年高三上学期期末学业水平质量监测卷数学试题（原卷版+解析版），共19页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. “，”的否定为（ ）．
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知向量，，且，则（ ）．
A. B. C. D. 3
3. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
4. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ）．
A. 0B. 5C. 10D. 15
5. （ ）．
A. 5B. C. 1D.
6. 已知是两条直线，垂直的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数的图象为L，为了得到函数的图象，只要把L上所有的点（ ）．
A. 所有横坐标向左平移个单位长度B. 所有横坐标向右平移个单位长度
C. 所有横坐标向左平移个单位长度D. 所有横坐标向右平移个单位长度
8. 函数为奇函数，若函数与图像交点为，…，则（ ）．
A. nB. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知直线，圆，则下列说法正确是（ ）．
A. 圆C的圆心坐标为B. 直线l与圆C相交
C. 圆与圆C相切D. 圆C上存在4个点到直线l的距离为1
10. 下列说法正确的是（ ）．
A. 样本数据2、4、5、8、11的平均数为6
B 已知随机变量X服从正态分布，若-，则
C. 在线性回归分析中，相关系数r的值越小，变量间的相关性越弱
D. 永宁县派遣3名教师去3所不同的乡下学校支教，每位教师只去一所学校，每所学校只由一位教师支教，共有6种派遣方法
11. 在棱长为2正方体中，E、F、G分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ）．
A. 平面B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为D. 存在实数、使得
第二部分（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知双曲线方程为：，则离心率为______．
13. 棱长为的正方体，则其内切球的体积为______．
14. 已知函数，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且经过点，又.若对于任意，都有，则的最小值为______ .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
16. 已知数列前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
17. 已知函数的一个零点为．
（1）求a的值及的最小正周期；
（2）在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，且．求的周长．
18. 长方体中，，，M为中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
永宁县2025～2026学年第一学期期末高中学业水平质量监测卷
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. “，”的否定为（ ）．
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可求解.
【详解】由题意有：的否定为：，，
故选：B.
2. 已知向量，，且，则（ ）．
A B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行性质进行求解即可.
【详解】因为，所以满足，符合条件.
故选：C.
3. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的交集运算即可求解.
【详解】由题意得：，
故选：A.
4. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ）．
A. 0B. 5C. 10D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前n项和公式求解即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
故选：D
5. （ ）．
A. 5B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用复数的乘法和除法运算计算，最后求复数的模即可求解.
【详解】由，
所以，
故选：C.
6. 已知是两条直线，垂直的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由两直线垂直的充要条件求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】若两条直线，垂直，
则或，
所以是两条直线，垂直的充分不必要条件.
故选：A
7. 已知函数的图象为L，为了得到函数的图象，只要把L上所有的点（ ）．
A. 所有横坐标向左平移个单位长度B. 所有横坐标向右平移个单位长度
C. 所有横坐标向左平移个单位长度D. 所有横坐标向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】先使用诱导公式将转化为与同名的三角函数，设出使，即可求得的值，即图象向右平移的单位长度.
【详解】因为,
令，
令，解得，
故需要把L上所有的点的横坐标向右平移个单位长度.
故选：B.
8. 函数为奇函数，若函数与的图像交点为，…，则（ ）．
A. nB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别判断函数与的对称性，结合函数的对称性进行求解即可．
【详解】由函数为奇函数，所以，
所以，所以关于点对称，
又，所以关于点对称，
所以，
故选：C.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）．
A. 圆C的圆心坐标为B. 直线l与圆C相交
C. 圆与圆C相切D. 圆C上存在4个点到直线l的距离为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对于B，比较圆心到直线距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，比较两个圆心之间的距离与两圆半径之和与半径之差大小可判断选项正误；对于D，利用到直线的距离为1的直线与圆的位置关系可判断选项正误.
【详解】因为，所以，
圆C的圆心坐标为，故A正确；
圆心C到直线的距离为，
所以直线l与圆C相交，故B正确；
圆与圆C两圆心距离，
两圆半径之和为，半径之差为，
因为，故两圆相交，故C错误；
因为圆心C的到直线的距离为，所以，
圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）．
A. 样本数据2、4、5、8、11的平均数为6
B. 已知随机变量X服从正态分布，若-，则
C. 在线性回归分析中，相关系数r的值越小，变量间的相关性越弱
D. 永宁县派遣3名教师去3所不同的乡下学校支教，每位教师只去一所学校，每所学校只由一位教师支教，共有6种派遣方法
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算平均数即可判断A，利用正态分布的对称性即可判断B，根据相关系数的定义即可判断C，利用排列数即可判断D.
【详解】对于A，由，故A正确；
对于B，由服从正态分布，所以，故B正确；
对于C，在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，
变量间的相关性越强，越接近0，变量的相关性越弱，故C错误；
对于D，由已知有，故D正确；
故选：ABD.
11. 在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ）．
A. 平面B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥体积为D. 存在实数、使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】求证即可由线面平行判定定理判断A；由得是直线与所成角，再由余弦定理即可求解判断B；由等体积法计算即可得解判断C；用基底分别表示和，再建立等量关系求解即可判断D.
【详解】由题意可知，所以四边形平行四边形，
所以，又E、F、G分别为、、的中点，所以，
所以，又平面，在平面外，
所以平面，故A正确；
取中点，连接，则，且，
所以是直线与所成角且，故B错误；
由题可得三棱锥的体积为，故C正确；
因为，
，
令，所以存在实数、使得，故D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知双曲线方程为：，则离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线方程得到双曲线的值，进而可求离心率.
【详解】由题意得双曲线的方程为，其中，，，，
则，
故离心率.
故答案为：.
13. 棱长为的正方体，则其内切球的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设内切球的半径为，根据题意求出，利用球的体积公式即可求解.
【详解】设内切球的半径为，
所以，即，所以内切球的体积为，
故答案为：.
14. 已知函数，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且经过点，又.若对于任意，都有，则的最小值为______ .
【答案】##
【解析】
【分析】结合条件求出函数的解析式，由此可求，再求函数在的范围，由此可求的范围，由此可得结论.
【详解】因为函数，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，
所以函数的最小正周期为，又，
所以，故，
又的图象经过点，
所以，
又，故，
所以，故，
所以，
所以，
当时，，
所以，
所以当时，，
因为对于任意，都有，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）
（2）的极小值为，极大值为
【解析】
【分析】（1）求函数的导数后，将切点横坐标代入到函数与导函数中，分别求得切线的切点和斜率，进而可求此处的切线方程；
（2）求函数的导数后，令，即可求出函数的极值点，再结合函数增减性确定极大值和极小值即可.
【小问1详解】
由题意得，故，且有，
所以切线方程为，即，
故函数在点处的切线方程为.
【小问2详解】
由（1）得，
令，解得或，
当和时，，函数在区间和上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减，
所以当时，有极小值，并且极小值为，
当时，有极大值，并且极大值为.
16. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据关系求数列的通项公式；
（2）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求.
【小问1详解】
由题设，知，
当时，，
当时，，
经验证，满足，
．
【小问2详解】
，
数列是以首项为1，公比为2的等比数列，
，
．
17. 已知函数的一个零点为．
（1）求a的值及的最小正周期；
（2）在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，且．求的周长．
【答案】（1），．
（2）．
【解析】
【分析】（1）由函数零点求出，利用三角恒等变换化简得，利用周期公式即可求解；
（2）由，得，利用的面积为得，再由余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由题意：令，
化简得，解得．
故，
则的最小正周期为；
【小问2详解】
由（1）有：，,
由于，则，故，得，
所以，解得，
在中，由余弦定理可得
，
∴，
∴或（舍去），
∴的周长为．
18. 长方体中，，，M为中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件可证明，再由线面垂直判定定理及其性质可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量并根据线面角的向量求法计算可得结果.
【小问1详解】
连接，如图，
，，
因此，又，
则，可得；
又平面，而平面，
可得，又，平面，
故平面，又平面，
故.
【小问2详解】
以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则，
可得，，
显然，即可得，
又，平面，
所以平面，
即平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
故所求线面角的正弦值为.
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
【答案】（1）答案见解析；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
且，
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，令，即，解得，，
因为，所以，则，
所以当时，
当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，此时，
所以时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在单调递减；
当时上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）可知．
（ⅱ）由（1）在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，所以，则，
又，
又，
所以在上没有零点，
又，则，则，，
则，
所以，所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点．