宁夏回族自治区普通高中2024-2025学年高二上学期期中学业质量监测数学试卷（解析版）

这是一份宁夏回族自治区普通高中2024-2025学年高二上学期期中学业质量监测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由交集的定义可知，
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，可得，
故选：B.
3. 下列函数，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据函数偶函数，可以排除AC选项，又函数存在零点，则排除B选项，D选项，函数为偶函数，且零点为.
故选：D.
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为指数函数的定义域为，且在定义域上单调递增，
所以当时，成立；当，成立；
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
5. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取5位某小区居民，他们的幸福感指数分别为8，5，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A. 这组数据的极差是5
B. 这组数据的平均数是8
C. 这组数据的众数是8
D. 估计这组数据的第80百分位数是8
【答案】D
【解析】根据题意，幸福感指数从小到大排序：5，8，8，9，10，
对于A，极差为，故A正确；
对于B，平均数为，故B正确；
对于C，根据众数的定义可知这组数据的众数为8，故C正确；
对于D，因为，所以这组数据的第80百分位数是，故D不正确；
故选：D.
6. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为角的终边与单位圆交于点，所以，
因为角是第二象限角，所以，
所以，
故选：C.
7. 已知m是一条直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或，故A不正确；
对于B，若，，则和相交，平行或，故B不正确；
对于C，若，，则或相交，故C不正确；
对于D，若，，则，故D正确；
故选：D.
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
，
所以，所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由不等式的性质可知当时，，故A正确；
当时，不成立，故B错误；
因为，，所以，C正确；
因为，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数和，则（ ）
A. 与有相同的对称轴B. 与有相同的最大值
C. 与有相同的最小正周期D. 与有相同的零点
【答案】BC
【解析】因为是由向右平移个单位可得，所以对称轴不相同，零点不同，与有相同的最小正周期为，与有相同的最大值为.
故选：BC.
11. 如图，在长方体中，点E，F分别在棱，上，M在上，，，，则（ ）
A. 直线，是异面直线
B.
C. 二面角的正弦值为
D. 平面截长方体的截面面积为
【答案】BD
【解析】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A，，，，，
所以，，所以，则，
所以，，，四点共面，所以直线，是异面直线不成立，故A不正确；
对于B，，所以，，
设平面的法向量m=x,y,z，则，即，
令，则，，所以，又，
所以直线平面，因为平面，所以，故B正确；
对于C，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，，所以，
，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，所以，
设二面角为，所以，
所以二面角的正弦值为，故C不正确；
对于D，由（1）知，，，四点共面，
则平面截长方体的截面为四边形，
又，，，所以四边形为平行四边形，
因为，，所以，，
所以平行四边形的面积为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，满足，，且，则________．
【答案】
【解析】由题意可知，
故答案为：.
13. 甲、乙两人独立地完成一项工作，已知各人能完成工作的概率分别是，，则两人都能完成这项工作的概率为______．
【答案】
【解析】设事件A为甲能完成工作，事件B为乙能完成工作，
由题意知，PB=23，
所以两人都能完成这项工作为事件，
根据独立事件的概率乘法公式可知.
14. 定义为a，b的最大值，函数的最小值为c．函数，如果函数有三个零点，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，在同一坐标系下画出，的图象，
由图可知，，
所以，则，
由函数有三个零点得方程有三个解，
所以函数y=gx和函数图象有三个交点，
如图所示：
当时，在上单调递减，在-1,0上单调递增，
所以时，有最小值，且，
当时，在0,+∞上单调递增，
因此当时，函数y=gx和函数图象有三个交点，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，
（1）求，的值；
（2）求不等式的解集．
解：（1）由题意得，；
（2）由得，即，
得，解得或，
所以不等式的解集为或x≥1.
16. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋起源于中国，至今已有的四千多年历史．为进一步弘扬中华优秀传统文化，大力传承和发展围棋运动，现面向全省征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组．
（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）现计划从第3组和第4组志愿者中，采用分层随机抽样的方法（按比例分配）抽取5名志愿者参加某地的宣传活动，再从这5名志愿者中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任负责人，求抽取的2名志愿者中恰有一人来自第4组的概率．
解：（1）由直方图知：，可得，
估计500名志愿者中年龄在的人数为人.
（2）因为,
故5名志愿者有2名来自第4组，令两人分别为、,
3名来自第3组，令三人分别为、、，
从这5名志愿者中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任负责人的基本事件有：
、、、、、、、、、，共10种，
其中有、、、、、，6种符合要求，
∴抽取2名志愿者中恰有一人来自第4组的概率为.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知．
（1）求B；
（2）若，再从条件①、条件②两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①：边上的中线；
条件②：角B的平分线与交于点M，．
（注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）
解：（1）因为，
由正弦定理可得，即，
因，，所以，
所以，即，
因为，，所以，即，
所以，即；
（2）若选择条件①，因为边上的中线，则，
因为
所以，则，
化简得，解得，
所以的面积为.
若选择条件②，因为角B的平分线与交于点M，，
所以的面积，
的面积，
的面积，
由得，解得，所以，
所以的面积为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的大小．
（1）证明：连接BD交AC与O，连接，如图所示：
因为M，O分别是边PD，BD的中点，则MO为的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：因为侧面底面， 平面底面，
，所以平面，所以，
因为侧面是正三角形，M是的中点，所以，
因为 ，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（3）解：过点P作PF垂直于AD，因为侧面底面， 平面底面，所以平面，又底面是正方形，在点建立空间直角坐标系，取的中点E，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为2，
则，，，
由第二问可知，即为平面的法向量，，，
，直线与平面所成角的大小为.
19. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为1分米，秒针均匀地绕点旋转，当时间秒时，点与钟面上12的点重合．将的长度用（分米）表示．
（1）当秒时，求的值；
（2）当时，将表示成的函数，求的解析式；
（3）设，（，），求时的取值范围．
解：（1）由题意作图如下，
，当时，
，在中，
由余弦定理得，.
（2）由（1）图可知：，
当时，，
在中，由余弦定理得，
，.
（3）由（2），
，，
当时，，
当时，
，
因为，所以，
所以，，所以，
当时，
，
因为，所以，
所以，，
所以.