广西桂林市2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学试卷含答案（word版+pdf版）

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二、多选题
三、填空题
12. 40
13. 1225
14. 10
四、解答题
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 由 l 与 l1 平行可知直线 l 的斜率 k=2 ,由点斜式得 l 的方程为: y−2=2x−1
即 2x−y=0 为所求直线方程. 分
(2)根据题中直线 l1 与圆相切可知:圆心 C 到直线 l1 的距离即为半径.
由点到直线的距离公式得: d=922+12=955,r=d=955 分
则圆 C 的标准方程为: x−42+y2=815 分
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上, ∴ 设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0 分
由已知得 2c=6,b=4 分
∴c=3,a2=b2+c2=16+9=25 分
∴ 所求椭圆的标准方程为: x225+y216=1 分
(2) ∵ 由已知得双曲线的焦点在 x 轴上
∴ 设双曲线的标准方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 分
∵ 双曲线的一个焦点坐标是 5,0,∴c=5,a2+b2=c2=25 分
又 ∵ 一条渐近线方程是 3x−4y=0,∴ba=34② 分
由①②可得 a2=16,b2=9 分
所以双曲线的标准方程为: x216−y29=1 分
(3) ∵ 抛物线焦点在 y 轴上， ∴ 设抛物线标准方程为: x2=±2pyp>0 分
∵ 抛物线焦点到准线的距离是 4,所以 p=4 ,即 2p=8 分
所以抛物线的标准方程为: x2=±8y 分

17. (本小题满分 15 分)
(1)证: 由已知得 BD⊥A′D,BD⊥CD ,且 A′D∩CD=D , 所以 BD⊥ 平面 A′CD ,又因为 A′C⊂ 平面 A′CD ,
所以 A′C⊥BD 分
(2)由平面 A′BD 与平面 CBD 垂直， BD⊥A′D,BD⊥CD ， 可知 DB、DA′、DC 两两相互垂直.
以 DB 为 x 轴,以 DC 为 y 轴,以 DA′ 为 z 轴建立空间直角坐标系

则 D0,0,0,B3,0,0,C0,1,0,A′0,0,1
BC=−3,1,0,CA′=0,−1,1,DC=0,1,0 分
设 n=x,y,z 是平面 A′BC 的一个法向量,则
n⊥BCn⊥CA′ ,所以 −3x+y=0−y+z=0
不妨取 x=3 ,得 y=3,z=3 ,所以 n=3,3,3 分
设点 D 到平面 A′BC 的距离为 d ,则 d=n⋅DCn=217
所以点 D 到平面 A′BC 的距离为 217 分
(3)易知平面 CBD 的一个法向量为 m=0,0,1 分
设平面 A′BC 与平面 DBC 的夹角为 θ ,则 csθ=n⋅mn⋅m=321=217
所以平面 A′BC 与平面 DBC 的夹角的余弦值为 217 分
18. (本小题满分 17 分)
解: (1)设 “该班进入决赛” 为事件 A ,则 PA=1−PA=1−1−353=117125 分
(2)比赛成绩 X 的所有可能取值为0、3、6、9 4 分
PX=0=1−123+1−1−123⋅133=17108 分
PX=3=1−1−123⋅C31231−232=736 分
PX=6=1−1−123⋅C322321−23=718 分
PX=9=1−1−123⋅233=727 分
故 X 的分布列如下表: 分
所以 EX=0×17108+3×736+6×718+9×727=214 分
(3)若甲参加初赛，乙参加决赛，则该班的比赛成绩为 9 分的概率为
P甲=1−1−p3q3=1− 分
若乙参加初赛，甲参加决赛，则该班的比赛成绩为 9 分的概率为
Pℤ=1−1−q3⋅p3=1−p3⋅ 分
P甲−P乙=1−q3q3−1−p3⋅p3=q3−p3−q6−p6 分
=q3−p3−q3−p3q3+p3=q3−p31−q3+p3
=q3−p3p+q3−q3+p3=q3−p3p3+3p2q+3pq2+q3−q3+p3
=q3−p33p2q+3pq2=3pqp+qq3−p3=3pqq3−p3 分
当 q>p 时,因为 q3>p3,pq>0 ,所以 P甲>P乙 ,所以安排甲参加初赛,乙参加决赛 分赛
当 q0 ,令 c2=a2−b2 分
由已知,得 c=1 ,令右焦点为 F1 ,得 F1 坐标是 1,0 分
根据椭圆的定义,得 2a=AF1+AF=1−12+322+1+12+322=4 分
∴a=2,b2=a2−c2=4−1=3 ,所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1 分
(2)(i)令直线 l 的方程为 y=kx+1 ，点 M 、 N 的坐标分别为 Mx1,y1 ， Nx2,y2 分
联立 y=kx+13x2+4y2=12 ,化简整理得 4k2+3x2+8k2x+4k2−12=0
得 x1+x2=−8k24k2+3,x1x2=4k2−124k2+3
则 MN=1+k2×x1+x22−4x1x2=1+k2×121+k24k2+3=12k2+14k2+3 分
又因为原点 O 到直线 l 的距离 d=k1+k2 分
所以 S△MON=12MN×d=6k1+k24k2+3=335 ,化简整理得 52k4+28k2−27=0
即 2k2−126k2+27=0 ,则 k2=12 ,即 k=±22 分
所以直线 l 的方程为: y=±22x+1 ,即 2x+2y+2=0 或 2x+2y+2= 分
(ii) 设 MN 的中点为 S ,则 SP 为 MN 的垂直平分线 13 分
∵x1+x2=−8k24k2+3,∴xs=−4k24k2+3 ,则 ys=3k4k2+3
直线 SP 的方程为: y−3k4k2+3=−1kx+4k24k2+3 分
令 x=0 ,则 t=−k4k2+3 ,得 xQ=−8k24k2+3,yQ=7k4k2+3 分
∵Q 在椭圆上, ∴3×−8k24k2+32+4×7k4k2+32=12 分
化简整理,得 23k2+27=0 ,该方程无实数解,所以不存在满足条件的点 P0, 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
D
B
A
C
C
题号
9
10
11
答案
ABC
ABC
BD
X
0
3
6
9
P
17 108
7 36
718
727