内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分.
一、单选题
1. 已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
2. 直线与直线之间的距离为（ ）
A. B. C. 2D. 3
3. 经过两点的直线的斜率是12，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 1
4. 在等差数列中， ， ，则的值为（ ）
A 27B. 30C. 33D. 36
5. 等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（ ）
A. 9或10B. 8C. 9D. 10或11
6. 设和是双曲线两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）
A. 2B. 1C. D.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 等比数列中，，则（ ）
A. -4B. 2C. 4D. 4
二、多选题
9. 设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
10. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ）
A. B. C. 2D. 4
11. 已知直线：和圆：，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆相交
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 存在使得直线与直线：垂直
三、填空题
12. 过点且斜率为的直线一般式方程为______．
13. 已知数列满足，，则______．
14. 已知，，则______．
四、解答题
15. 已知数列分别是等差、等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16. 已知点，，是平面内一个动点，且，
（1）求动点的轨迹方程；
（2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围．
17 已知数列中，.
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
18. 已知椭圆C： (a>b>0)右焦点为F(1，0)，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线y＝x－1与椭圆交于MN两点.求MN长度.
19. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的正弦值.
集宁二中2025-2026学年上学期高二年级期末考卷
数学
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分.
一、单选题
1. 已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】令,解得,故选.
2. 直线与直线之间的距离为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据两平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】因为，即，
所以与之间的距离为，
故选：A
3. 经过两点的直线的斜率是12，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由斜率公式可得答案.
【详解】由题可得，由斜率公式，
.
故选：A
4. 在等差数列中， ， ，则的值为（ ）
A. 27B. 30C. 33D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得,,则可得,再由求解即可.
【详解】由题,因为,则；
因为,则；
所以,
所以,
故选:B
【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的定义的应用.
5. 等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（ ）
A. 9或10B. 8C. 9D. 10或11
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】，
∴，
关于n的二次函数，其对称轴为，
∵，∴当或时，最大．
故选：A．
6. 设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不妨设点在第一象限，根据双曲线的定义得到，再由，得到，进而求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得，则，
因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，
由双曲线的定义可得，
又因为，可得，即，
又由，
可得，解得，
所以的面积为.
故选：B

7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果.
【详解】设，则，由椭圆的定义，得，
因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以，
中，，即，
所以离心率，
故选：A．
8. 等比数列中，，则（ ）
A. -4B. 2C. 4D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列的性质直接求解.
【详解】等比数列中，所以.
又，所以或.
因为，所以.
因为，所以4.
故选：C
二、多选题
9. 设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据焦点到准线的距离为p求解.
【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，
所以，
根据四个选项可得，满足，
故选：AB
10. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等比数列的通项即可求解.
【详解】因为在等比数列{}中，，
设等比数列的公比为，则，所以，
故选：.
11. 已知直线：和圆：，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆相交
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 存在使得直线与直线：垂直
【答案】BD
【解析】
【分析】求得直线恒过定点，即可判断A；判断点在圆内，即可判断B；当直线与直线垂直时，所截得的弦长最短，求出最短弦长，即可判断C；求出的值，即可判断D.
【详解】对于A，由，
可得，
令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为直线恒过定点，且点在圆：内，
所以直线与圆相交，故B正确；
对于C，当直线与直线垂直时，所截得的弦长最短，
此时圆心到直线的距离，
由弦长公式可得此时弦长为，故C错误；
对于D，因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以当时，直线与直线垂直，故D正确．
故选：BD.
三、填空题
12. 过点且斜率为的直线一般式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意写出直线的点斜式方程，化简即可得解．
【详解】由直线的点斜式方程，可得，整理得.
故答案：.
13. 已知数列满足，，则______．
【答案】70
【解析】
【分析】利用累加法，结合等差数列求和即可得到通项，从而可求解.
【详解】因为，所以，
累加可得：
，
则．
故答案为：70
14. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算求解.
【详解】由，，得，
所以.
故答案为：
四、解答题
15. 已知数列分别是等差、等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式.
（2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和.
【小问1详解】
设的公差为，的公比为，
则，所以；
所以，则，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
则.
16. 已知点，，是平面内的一个动点，且，
（1）求动点的轨迹方程；
（2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出点坐标，求出坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解；
（2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系列不等式求解即可.
【小问1详解】
设，则，，
因为，可得，即
所以动点的轨迹方程为.
【小问2详解】
由圆，可得圆，圆心，半径，
又由圆心，半径为3，
圆与动点的轨迹有两个公共点，即两圆相交，
所以，
解得.
17. 已知数列中，.
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
【答案】（1），
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求.
（2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式.
【小问1详解】
因为，
所以，
【小问2详解】
因为，所以，
即，
又因为，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.
所以，
所以.
18. 已知椭圆C： (a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线y＝x－1与椭圆交于MN两点.求MN长度.
【答案】（1）＋＝1；
（2）.
【解析】
【分析】（1）依题设条件求出的值，即得方程；
（2）将直线与椭圆方程联立消元，利用韦达定理和弦长公式即可求得弦长.
【小问1详解】
由已知得c＝1，＝，所以a＝2，，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
【小问2详解】
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消去得：7x2－8x－8＝0，
由韦达定理得
则,
即MN长度为.
19. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行；
（2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离；
（3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值.
【小问1详解】
证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则.
设平面的一个法向量为，又，
，所以
令，解得，所以平面的一个法向量为，
又，所以，
又平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知
设平面的一个法向量为，所以
令，解得，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
即点到平面的距离为.
【小问3详解】
由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
又
所以，
即二面角的正弦值为.